高考数学二轮复习 每日一题 规范练（第四周）文-人教版高三数学试题

每日一题规范练(第四周)[题目1](本小题满分12分)在单调递增的等差数列{bn}中，前n项和为Sn，已知b3＝6，b2，eq\r(S5＋2)，b4成等比数列．(1)求{bn}的通项公式；(2)设an＝eq\f(bn,2)(eq\r(e))bn，求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)设等差数列{bn}的公差为d，因为b2,eq\r(S5＋2)，b4成等比数列，b3＝6，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝6，,5b1＋\f(5×4,2)d＋2＝（b1＋d）（b1＋3d），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝2，,d＝2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝10，,d＝－2.))因为数列{bn}单调递增，所以d＞0，所以b1＝2，d＝2，所以{bn}的通项公式为bn＝2n.(2)因为an＝eq\f(bn,2)(eq\r(e))bn，所以an＝nen.所以Sn＝1·e1＋2e2＋3e3＋…＋nen，所以eSn＝1·e2＋2e3＋3e4＋…＋nen＋1，以上两个式子相减得，(1－e)Sn＝e＋e2＋e3＋…＋en－nen＋1，所以(1－e)Sn＝eq\f(e－en＋1,1－e)－nen＋1，所以Sn＝eq\f(nen＋2－（n＋1）en＋1＋e,（1－e）2).[题目2](本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若23cos2A＋cos2A＝0，且△ABC为锐角三角形，a＝7，c＝6，求(2)若a＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，求b＋c的取值范围．解：(1)因为23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－所以cos2A＝eq\f(1,25)，又A为锐角，所以cosA＝eq\f(1,5)，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2－eq\f(12,5)b－13＝0，解得b＝5(负值舍去)，所以b＝5.(2)法一在△ABC中，由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝2，所以b＋c＝2(sinB＋sinC)＝2[sinB＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))]＝2[sinB＋(eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB)]＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6))).因为0＜B＜eq\f(2π,3)，所以eq\f(π,6)＜B＋eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)，所以eq\f(1,2)＜sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))≤1，则b＋c∈(eq\r(3)，2eq\r(3)]．法二由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－3＝bc⇒(b＋c)2－3＝3bc≤eq\f(3,4)(b＋c)2，当且仅当b＝c时取等号，所以(b＋c)2≤12，则b＋c≤2eq\r(3).又三角形的两边之和大于第三边，所以b＋c＞a＝eq\r(3).故b＋c的取值范围是(eq\r(3)，2eq\r(3)]．[题目3](本小题满分12分)已知四棱锥S­ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD为正三角形．(1)点M为线段AB上一点，若BC∥平面SDM，eq\o(AM,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))，求实数λ的值；(2)若BC⊥SD，求点B到平面SAD的距离．解：(1)因为BC∥平面SDM，BC⊂平面ABCD，平面SDM∩平面ABCD＝DM，所以BC∥DM.又AB∥DC，所以四边形BCDM为平行四边形，所以CD＝MB，又AB＝2CD，所以M为AB的中点．因为eq\o(AM,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))，所以λ＝eq\f(1,2).(2)因为BC⊥SD，BC⊥CD，所以BC⊥平面SCD，又BC⊂平面ABCD，所以平面SCD⊥平面ABCD.如图，在平面SCD内过点S作SE垂直于CD交CD的延长线于点E，连接AE，又平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以SE⊥平面ABCD，所以SE⊥CE，SE⊥AE，在Rt△SEA和Rt△SED中，AE＝eq\r(SA2－SE2)，DE＝eq\r(SD2－SE2)，因为SA＝SD，所以AE＝DE，又易知∠EDA＝45°，所以AE⊥ED，由已知求得SA＝AD＝eq\r(2)，所以AE＝ED＝SE＝1.连接BD，则V三棱锥S­ABD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3)，又V三棱锥B­SAD＝V三棱锥S­ABD，S△SAD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以点B到平面SAD的距离为eq\f(V三棱锥B­SAD,\f(1,3)S△SAD)＝eq\f(2\r(3),3).[题目4](本小题满分12分)某服装批发市场1～5月份的服装销售量x与利润y的统计数据如下表：月份12345销售量x(万件)36478利润y(万元)1934264146(1)从这五个月的利润中任选2个，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于30”(2)已知销售量x与利润y大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up14(^))＝eq\o(b,\s\up14(^))x＋eq\o(a,\s\up14(^))；(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？解：(1)由统计图表知，所有的基本事件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m，n均不小于30”为事件A，则事件A包含的基本事件为(34，41)、(34，46)、(41，46)共3故所求事件的概率为P(A)＝eq\f(3,10).(2)由前4个月的数据可得，eq\o(x,\s\up14(－))＝5，eq\o(y,\s\up14(－))＝30，xiyi＝652，xeq\o\al(2,i)＝110.所以eq\o(b,\s\up14(^))＝＝eq\f(652－4×5×30,110－4×52)＝5.2.则eq\o(a,\s\up14(^))＝30－5.2×5＝4，所以线性回归方程为eq\o(y,\s\up14(^))＝5.2x＋4.(3)由题意得，当x＝8时，eq\o(y,\s\up14(^))＝45.6，|45.6－46|＝0.4＜2，所以利用(2)中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．[题目5](本小题满分12分)已知动圆C与圆E：x2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)外切，并与直线y＝eq\f(1,2)相切．(1)求动圆圆心C的轨迹F；(2)若从点P(m，－4)作曲线F的两条切线，切点分别为A、B，求证：直线AB恒过定点．(1)解：由题意知，圆E的圆心E(0，1)，半径为eq\f(1,2)，设动圆圆心C(x，y)，半径r.因为圆C与直线y＝－eq\f(1,2)相切，所以d＝r，即y＋eq\f(1,2)＝r.①因为圆C与圆E外切，所以|CE|＝eq\f(1,2)＋r，即eq\r(x2＋（y－1）2)＝eq\f(1,2)＋r.②联立①②，消去r，得x2＝4y.所以圆心C的轨迹F是以E(0，1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线．(2)证明：已知直线AB的斜率一定存在．不妨设直线AB的方程为y＝kx＋b.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝kx＋b，))整理得x2－4kx－4b＝0，其中Δ＝16(k2＋b)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.③由抛物线的方程可得y＝eq\f(1,4)x2，所以y′＝eq\f(1,2)x.所以过A(x1，y1)的抛物线的切线方程为y－y1＝eq\f(1,2)x1(x－x1)，又y1＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)，代入整理得y＝eq\f(1,2)x1x－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1).切线过P(m，－4)，代入整理得xeq\o\al(2,1)－2mx1－16＝0，同理可得xeq\o\al(2,2)－2mx2－16＝0，所以x1，x2为方程x2－2mx－16＝0的两个根，所以x1＋x2＝2m，x1x2＝－16.联立③④，得b＝4，k＝eq\f(m,2).则直线AB的方程为y＝eq\f(m,2)x＋4，所以直线AB恒过定点(0，4)．[题目6](本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－a)ex－eq\f(1,2)ax2＋a(a－1)x(x∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切处为l，l与x轴的交点坐标为(2，0)，求a的值；(2)讨论f(x)的单调性．解：(1)f′(x)＝(x－a)ex＋ex－ax＋a(a－1)，所以f′(0)＝(a－1)2，又f(0)＝－a，所以切线方程为y＋a＝(a－1)2(x－0)，令y＝0得x＝eq\f(a,（a－1）2)＝2，所以2a2－5a＋2＝所以a＝2或a＝eq\f(1,2).(2)f′(x)＝(x－a)ex＋ex－ax＋a(a－1)＝[x－(a－1)](ex－a)，当a≤0时，ex－a≥0，x∈(－∞，a－1)，f′(0)＜0，f(x)为减函数，x∈(a－1，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)为增函数．当a＞0时，令f′(x)＝0，得x1＝a－1，x2＝lna，令g(a)＝a－1－lna，则g′(a)＝1－eq\f(1,a)＝eq\f(a－1,a)，当a∈(0，1)时，g′(a)＜0，g(a)为减函数，当a∈(1，＋∞)时，g′(a)＞0，g(a)为增函数，所以g(a)min＝g(1)＝0，所以a－1≥lna(当且仅当a＝1时取“＝”)，所以当0＜a＜1或a＞1时，x∈(－∞，lna)，f′(x)＞0，f(x)为增函数，x∈(lna，a－1)，f′(x)＜0，f(x)为减函数，x∈(a－1，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当a＝1时，f′(x)＝x(ex－1)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．综上所述，当a≤0时，f(x)在(－∞，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数，当0＜a＜1或a＞1时，f(x)在(lna，a－1)上为减函数，在(－∞，lna)和(a－1，＋∞)上为增函数；当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．[题目7]1.(本小题满分10分)[选修4­4：极坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(1,2)－\f(\r(2),2)t))(t为参数)，椭圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝sinα))(α为参数)．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))).(1)求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标；(2)直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△APQ的面积．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝sinα))化为直角坐标方程得eq\f(x2,4)＋y2＝1.因为A的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，所以x＝2coseq\f(π,3)＝1，y＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3).故点A在直角坐标系下的坐标为(1，eq\r(3))．(2)将eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(1,2)－\f(\r(2),2)t))代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，化简得10t2－6eq\r(2)t－11＝0.设此方程两根分别为t1，t2.则t1＋t2＝eq\f(3\r(2),5)，t1t2＝－eq\f(11,10)，所以|PQ|＝eq\r(（t1＋t2）2－4t1t2)＝eq\f(8\r(2),5).因为直线l的一般方程为x＋y－1＝0，所以点A到直线l的距离为d＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2).所以△APQ的面积为eq\f(1,2)×eq\f(8\r(2),5)×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(4\r(3),5).2．(本小题满分10分)[选修4­5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，其中a∈R.(1)若a＝4，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥4对于x∈R恒成立