高考数学一轮复习坐标系课件人教版选修

选修4-4坐标系与参数方程

第一讲坐标系回归课本1.极坐标系的概念(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径,θ称为点M的极角.2.极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).它们之间的关系为:3.圆的极坐标方程(1)圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r.(2)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ.(3)圆心在点 处且过极点的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ.4.直线的极坐标方程(1)直线l过极点,且极轴到此直线的角为α,则直线l的极坐标方程是θ=α.(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴,则直线l的极坐标方程为ρcosθ=α.(3)直线l过点 且平行于极轴,则直线l的极坐标方程为ρsinθ=a.考点陪练1.(2010·北京)极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是()A.两个圆 B.两条直线C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线解析:由(ρ-1)(θ-π)=0可得ρ=1或θ=π.ρ=1表示圆,θ=π(ρ≥0)表示一条射线,故选C.答案:C答案:C答案:D4.(2010·广州质检)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ 则曲线C1与C2交点的极坐标为________.5.已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ,则该圆的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是________.类型一 平面直角坐标系下图形的变换解题准备:解决这类问题时,关键注意变换时点的坐标之间的对应关系.[反思感悟]解答本题的关键:①是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;②是明确变换前后点的坐标关系,利用方程思想求解.类型二 坐标系的相关概念解题准备:坐标系是联系几何与代数的桥梁,但极坐标系与平面直角坐标系不同,在直角坐标系中,点与直角坐标是一一对应的;但极坐标系中,平面上的点与极坐标之间不是一一对应的.如果规定ρ≥0,0≤θ≤2π,可使平面上的点与极坐标之间一一对应,但仍不包括极点.[分析]在极坐标系内,判断点是否在直线上与在直线坐标系内是不同的,不能只是简单地将点的坐标代入,当点的坐标代入不能满足方程,我们还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.类型三 极坐标方程与直角坐标方程的互化解题准备:进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,[反思感悟]本题全面考查直线的极坐标方程的基础知识及极坐标方程与直角坐标方程的互化,源于教材(人教A版),是教材知识点的交汇,从抽样看,常见错误:互化公式用错,三角变换基本公式不过关,对直线的极坐标方程不熟悉是导致错解的重要原因.类型四 简单曲线的极坐标方程及应用解题准备:简单曲线的极坐标方程都可以利用极坐标中ρ与θ的具体含义求出,也可以利用极坐标方程与直角坐标方程的互化来得到极坐标方程.当然,因为建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同.【典例4】过原点的一动直线交圆x2+(y-1)2=1于点Q,在直线OQ上取一点P,使P到直线y=2的距离等于|PQ|.用极坐标法求动直线绕原点一周时P点的轨迹方程.[分析]根据题意画出图形,如图所示,以O为极点建立极坐标系,由|PQ|=|PR|建立等式关系,求出点P的极坐标轨迹方程,再化为直角坐标方程即可.

[解]以O为极点,Ox为极轴,建立极坐标系,如图所示,过P作PR垂直于直线y=2,则|PQ|=|PR|.设P(ρ,θ),Q(ρ0,θ),则有ρ0=2sinθ.∵|PR|=|PQ|,∴|2-ρsinθ|=|ρ-2sinθ|.∴ρ=±2或sinθ=±1①①为所求轨迹的极坐标方程,化为直角坐标方程为x2+y2=4或x=0.[反思感悟]用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接､简单的解法,但在解题时关键是极坐标要选取适当,这样可以简化运算过程,转化为直角坐标时也容易一些.错源 极坐标表达不准致误【典例】已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0),则曲线C1与C2交点的极坐标为________.

[评析]在极坐标系中,有序实数对的集合{(ρ,θ)|ρ,θ∈R}与平面点集不是一一对应的.给出一个有序数对(ρ,θ),在平面坐标系中可以唯一确定一个点,但极坐标系中的一点,它的极坐标不是唯一的,若点M不是极点,(ρ,θ)是它的一个极坐标,那么M有无穷多个极坐标(ρ,θ+2kπ)与(-ρ,θ+(2k+1)π),k∈Z.技法 求曲线的极坐标方程的步骤求曲线的极坐标方程的步骤:①建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;②由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上