第5章-标量湍流

第五章标量湍流本章将讨论不可压缩流体中温差较低或被输送物质的浓度较小的传热和传质过程。在这个过程中，流体运动是主动的，标量输运是被动的。

本章主要内容5.1均匀湍流中的被动标量输运5.2标量湍流的结构5.3湍流普朗特数5.4标量湍流的结构函数方程5.5标量湍流扩散的拉格朗日随机模型5.1均匀湍流中的被动标量输运被动标量输运的控制方程谱空间中标量脉动的输运均匀湍流场中标量输运规律

被动标量输运的控制方程谱空间中标量脉动的输运

均匀脉动速度场中的湍流输运过程可用谱分解描述谱空间中标量脉动的输运把展开式(5.3a)和(5.3b)代人式(5.2),得谱空间中标量输运方程如下：右边第一项是脉动速度携带标量的对流输运项；右边第二项是分子扩散项。

谱空间中标量脉动的输运定义：标量脉动的谱标量的拟能谱

脉动标量谱的输运方程

用脉动标量谱来表示，上式可写作标量能谱的输运方程

是对流作用在谱空间的贡献，称作标量能量的传输谱；是分子耗散项，它和波数平方及扩散系数成正比。其中，谱空间中标量脉动的输运均匀湍流场中标量输运规律

为了对比湍流的动量输运和标量输运，把湍流运动方程和标量输运方程写成无量纲形式，并加以比较：贝克来数

它表示标量输运过程中对流输运和扩散输运的量级比

表示对流占绝对优势；表示分子扩散占绝对优势。

均匀湍流场中标量输运规律标量能谱的经典理论

分别分析各种输运过程的标量能谱

惯性-对流标量输运惯性-扩散标量输运粘性-对流标量输运粘性-扩散标量输运5.2标量湍流的结构标量梯度方程

方程表明：标量脉动梯度和标量脉动不同，除了被流体质点携带，在流场中迁移(方程左边)、分子扩散(方程最后一项)以外；标量梯度的变化还来自脉动速度场的变形和旋转作用，变形作用将改变标量梯度的大小；旋转作用只改变标量梯度的方向，对其大小没有影响。

标量能量方程

说明:标量脉动能量的输运过程中，有分子扩散和耗散项；耗散项和脉动标量梯度的平方成正比：

方程左端表示标量梯度平方的质点导数，或标量耗散的质点导数，它来自右端各项的贡献：标量脉动梯度与脉动应变率的相互作用、标量湍流耗散的扩散，以及标量脉动梯度自身的耗散。

标量梯度片状结构的实例

第一个实例是在各向同性湍流中由平均等梯度标量场产生的均匀标量湍流场；第二个实例是槽道湍流中的非均匀标量湍流场，在槽道两个壁面上施加恒定的温度差。

标量梯度片状结构的实例

假设标量湍流梯度等值面表面积为

，它包容的体积等于

，做一个当量的圆盘，其体积和表面积分别等于

和

，当量圆盘的厚度定义为片状结构的当量厚度。槽道湍流中片状结构的长宽比大于各向同性湍流中片状结构的长宽比它有一个强压缩(第3主轴，负值)、一个强拉伸和一个弱拉伸。强压缩导致片状结构，一个强拉伸和一个弱拉伸产生长宽比比较大的片状结构。5.3湍流普朗特数定义湍流普朗特数和湍流施密特数如下：湍流普朗特数由于不同分子普朗特数的标量输运机制不同，因此湍流普朗特数和分子普朗特数有关，而不应当采用目前工程中常用的常数湍流普朗特数的模型。以各向同性湍流中加平均等梯度标量和槽道湍流加恒定温差为例来研究湍流普朗特数。由于在槽道垂直方向湍流的泰勒雷诺在变化，因此湍流普朗特数也沿槽道垂直方向变化可以看到：当分子普朗特数在0.3～1.2之间变化时，同一泰勒雷诺数下湍流普朗特数改变达20％。和各向同性湍流中的情况相同，槽道湍流中湍流普朗特数也和分子普朗特数的倒数成线性关系湍流普朗特数是分子普朗特数倒数的线性函数雷诺平均湍流普朗特数与分子普朗特数的倒数呈线性关系，既在无剪切的各向同性湍流场中存在，也在有剪切的湍流场中存在，它是充分发展湍流场中标量输运的特性。5.4标量湍流的结构函数方程

——Yaglom方程

如果结构函数中的位移长度位于惯性子区，上式表示惯性子区中标量能量的传输特性。如果贝克来数很小，上式右边第一项可以忽略，这时表示标量能量的串级关系，惯性子区标量能量通量和标量能量耗散性平衡。5.5标量湍流扩散的拉格朗日随机模型5.5.1标量点源的湍流扩散5.5.2湍流场中质点位移的均方根公式5.5.3标量点源的湍流扩散系数标量点源的湍流扩散

点源标量的定义假定在各向同性湍流场中某一局部很小的体积中恒定地注入染色物质，由于它的体积很小，以至于可以认为它是一个质点，并称它为点源标量。标量点源的湍流扩散实际计算结果表明，欧拉方法不可能获得在点源附近(称为近场)的浓度分布，因为，欧拉方法不可能准确计算浓度梯度非常大的对流、扩散过程。另一方面，点源扩散的物理过程的本质是湍流脉动携带质点的迁移过程。标量扩散的拉格朗日描述和处理方法更具物理本质。湍流场中质点位移的均方根公式在第1章中已经导出质点位移的Taylor公式：定义湍流场中质点位移的均方根公式利用上式可得以下结果

(1)初始的扩散过程，由于在短时间内，质点位移和当时的速度与时间乘积成正比，经系综平均后，质点位移的均方根和脉动速度均方根与时间的乘积成正比。（2）长时间的扩散过程标量点源的湍流扩散系数

在点源的远场，质点群的湍流扩散和拉格朗日积分时间尺度成正比，在均匀各向同性湍流中湍流扩散系数等于常数。第1章中已经论述过，在均匀湍流场中，欧拉统计量和拉格朗日统计量相等，因此，用欧拉描述法计算点源的空间扩散时，有湍流扩散系数。对于标量和粒子群的扩散过程，可以用拉格朗日描述方法建立