逻辑学全套课件

邏輯學Logic1.1邏輯是什麼

邏輯簡史與邏輯類型

邏輯的語源學邏各斯、Logic、名學、辯學等。“邏輯”的多義性

客觀規律；思維規律、規則；看問題的視角、方法；邏輯學等

邏輯學簡史

先秦名辯

名學和辯學的合稱。主要指先秦諸子關於名和辯的邏輯思想和理論，泛指中國古代的邏輯思想。整個先秦邏輯思想就是一個以正名為重點，包括名、辭、說、辯在內的古代邏輯學說。第一章引論

邏輯是探求區分好論證與壞論證的方法和規則的科學。邏輯使人嚴謹。《墨經》之《小取》，是中國古典邏輯的一個名家代表人物綱要，比較集中完整地討論了邏輯的基本內容。墨經》是墨家創始人墨翟思想的發展。後期墨家在邏輯理論方面作出了重要貢獻。他們對“故”、“理”、“類”古代邏輯的三個基本範疇下了明確的定義，並對“名”、“辭”、“說”作了深入研究。論述了“辟”（比喻）、“侔”（附比）、“援”（類比）、“推”（間接的歸納與演繹）四種形式的推理(見後期墨家邏輯)。這些思想，在中國古代邏輯史上佔有重要地位。印度因明從古代論辯術發展而來。先是五支論式，後發展為三支論式（宗、因、喻）。在分析正確論證和推理的同時，十分注重論證的“過”和反駁的“過”。因明於唐代傳入我國並得到發展。墨子

西方邏輯

西方邏輯學創始人。《工具論》6篇奠定了邏輯的基礎。主要貢獻是對三段論的系統研究。斯多葛學派於三段論之外，研究了命題邏輯。提出理想語言和推理是計算的思想而成為現代邏輯的先驅。批判了形式邏輯，研究了辯證思維，構造了辯證邏輯的體系。《新工具》針對亞氏的演繹邏輯而提出歸納和訴諸自然和經驗。三表法。揭示了思維的辯證矛盾。證明了狹謂詞演算的有效公式皆可證；如果一個初等數論的形式系統一致，則它是不完全的；這種系統的一致性在本系統中不能證明，更不能用有窮方法證明。他的這些工作正面或反面地，或是部分地解答了20世紀以來數學基礎問題爭論的最根本或最重要的問題現代歸納邏輯的發展有兩個方向：“經典”數理統計方向和由J.M.凱因斯和F.P.拉姆齊開創，流行於50～80年代初期的貝葉斯運動。20世紀中葉以來，美國的P.J.科恩用模態邏輯作為處理歸納推理的工具。科恩指出，支持度可列為不同的等級，不同等級的支持度，就是證據給予假設不同等級的必然性，一個被證明了的理論就是由較低級的必然性達到較高級的必然性。把概率作為一個邏輯概念來處理，區別於以相對頻率為根據的統計概率。邏輯概率是一切不具有演繹必然性的歸納推理的基礎，關於邏輯概率的理論就是歸納邏輯。它可給出假說的相對於給定證據的確認度嚴格的因果陳述只是概率陳述的極限情況，科學中尤其是量子力學中的因果概念，並不一定要求概率接近於1。一切科學陳述均是概率陳述，科學的邏輯是取值為區間0～1上的全部實數的概率邏輯

邏輯的類型SusanHaackPhilosophyofLogics列出的邏輯的範圍TraditionalLogic

三段論ClassicalLogic

二值命題、謂詞演算（狹義數理邏輯）ExtendedLogics

模態、時態、規範、認知、擇優、祈使、問句邏輯DeviateLogics

多值、直覺、量子、自由邏輯InductiveLogics

歸納邏輯N.RescherTopicsinPhilosophicalLogic

邏輯分支一覽表A.基礎邏輯1傳統邏輯2經典現代邏輯3非經典現代邏輯B.元邏輯1邏輯語法學2邏輯語義學3邏輯語用學a邏輯語言論和自然語言邏輯b修辭學分析c語境蘊涵d非形式謬誤理論e邏輯的非古典應用4邏輯語言學a結構理論（形態學）b意義理論C有效性理論C.數學發展方面1算術2代數3函數論4證明論5概率論邏輯6集合論7數學基礎論D.科學發展方面1物理應用a量子論邏輯b物理或因果模態理論2生物應用a伍傑方式的發展b控制論邏輯3社會科學應用a規範邏輯b價值邏輯c法律應用E.哲學發展方面1倫理應用a行為邏輯b義務邏輯c命令（祈使）邏輯d優先邏輯和選擇邏輯（效益、價值、對策和決策的邏輯問題）2形而上學的邏輯應用a存在性邏輯b時序邏輯（時態、變化、過程邏輯）c部分與整體邏輯d本體學e構造性邏輯（邏輯還原主義等）f（唯名論與唯實論之爭意義下的）本體論邏輯3認識論應用a問（答）邏輯b認識論邏輯（相信、知道、相干）c假設邏輯（反事實的假設推理）d資訊和資訊過程的邏輯e歸納邏輯4歸納邏輯a證實和確證的邏輯b概率邏輯邏輯形式：具有不同內容的思維（命題和推理）所共同具有的形式或結構

操作定義：用抽象字母代換命題或推理中的具體內容所得到的東西

邏輯形式實踐感性認識感覺知覺表像理性認識概念判斷推理思維形式

認識與思維

普通邏輯的研究對象研究思維的邏輯形式及其基本規律以及人們認識現實的簡單的邏輯方法思維的特徵：間接性、概括性、與語言不可分離一切反動派都是紙老虎

所有團員都是青年所有我班學生都是大學生

所有商品都是勞動產品SP以上四個命題具有不同的內容，但用抽象字母替換其具體內容後，所得到的結構是：

所有S是P一切反動派都不是紙老虎

所有團員都不是青年所有我班學生都不是大學生

所有商品都不是勞動產品所有S不是P類似地，以下命題也具有不同的內容但它們有共同的邏輯形式與這些邏輯形式屬於同類的還有命題的邏輯形式

有的S是P有的S不是P如：有的人是團員

有的人不是大學生

如果一個物體摩擦，

那麼這個物體生熱如果你能辦成這件事，那麼我從４樓跳下去還有另外一類命題pq按照操作定義，得出它們的邏輯形式是

如果ｐ那麼ｑ其中替換內容的字母用了小寫的p、q等只有ｐ才ｑ只有耕耘，才有收穫只有發燒，才會患肺炎要麼武松死，要麼老虎死生存，還是死亡？要麼ｐ要麼ｑ這商品品質好，而且價格低小張學習好，而且品德高尚P且q或者ｐ或者ｑ或者老張是導演，或者老張是演員他或者吃米飯，或者吃麵條並非ｐ並非人是由石頭變來的並非人人有自知之明推理的邏輯形式

推理由命題組成，如果用相同的字母替換相同的具體內容，就可得到推理的邏輯形式

所有團員是青年，所以，有的青年是團員

SP

PS

所有哲學家是思想家，亞裏士多德是哲學家，所以，亞裏士多德是思想家MPSMSP所有M是P，所有S是M，所以，所有S是P

所有S是P，所以，有的P是S

不同類型的命題可組成不同類型的推理如：如果一個人患肺炎（p），那麼他發燒（q），小張不發燒（非q），所以，他未患肺炎（非p）

如果p，那麼q

非q

所以，非p要麼你交錢（p）

，要麼你交命（q）你交了錢（p）所以，你不用交命（非q）

要麼p，要麼qP

所以，非q以上均為演繹推理的邏輯形式，還有歸納推理形式，可參閱教科書p.9任何一個邏輯形式都包括：邏輯常項

和

邏輯變項所有

S是

P常項變項

邏輯規律：同一律、矛盾律、排中律。（第9章詳論）至此，我們知道了

邏輯方法：定義、劃分、限制、概括等。（第4章詳論）思維的邏輯形式邏輯的基本規律簡單邏輯方法

有效性與可靠性有效性和可靠性是評價推理標準的概念。

有效的：

當其前提為真，結論必定為真（或不可能為假）時，一個推理形式是有效的；否則，便是無效的。普通邏輯的對象所有S是P，所以，有的P是S這個推理形式可以保證，無論將S或P代以何種具體內容，前提為真時，結論不可能假。換言之，你構造不出一個實例，使得具有這一形式的推理擁有真的前提和假的結論。這實例叫該形式的反例。所有S是P，所以，所有P是S這個推理形式是有反例的。即，用具體內容代換變項S和P後，即使前提為真，結論也是可能為假的。試以團員代換S，青年代換P，就有：所有團員是青年所以，所有青年是團員。該推理前提真而結論假。因此，原推理形式無效。

有效與無效是推理形式的性質，是前提與結論之間的邏輯關係，與前提和結論事實上的真假無直接關係。前提結論有效性真真不定真假無效假真不定假假不定我們所能確定的只是兩點：1.前提真而結論假，則推理無效；2.前提真，推理有效，則結論必真。

可靠的：當前提為真，結論較大可能為真時，一個推理形式是可靠的；否則，是不可靠的。有效性主要適用於演繹推理的評估；可靠性適用於歸納推理的評估

邏輯與語言

邏輯形式與語言形式

研究邏輯形式都通過語言形式進行；不同的語言形式可表達同一邏輯形式；同一語言形式也可表達不同的邏輯形式任一S是P沒有S不是P每一S是Pｐ或ｑ，但二者不相容ｐ或ｑ，但二者相容所有S是Pｐ或者ｑ（邏輯形式）（邏輯形式）（語言形式）（語言形式）

自然語言與人工語言

對象語言與元語言自然語言：歷史發展過程中形成的、日常使用的語言，如漢語、英語等。特點：語義的豐富性和模糊性。人工語言：人為構造的表意符號系統，即符號語言。特點：語義的單一性和精確性。傳統邏輯用自然語言，現代邏輯用人工語言，如對象語言：作為討論對象的那種語言。對象語言一般指稱客觀事物。元語言：用來討論對象語言的那種語言。常指稱語言本身。太陽是恒星太陽是恒星是一句真話對象語言元語言為了區分對象語言和元語言，需要給高一層的語言加引號。有元元語言，元元元語言，ｎ元語言。

所有S是P

x（SxPx）太陽是恒星“太陽”是兩個漢字“‘太陽’是兩個漢字”是對的1.2學習邏輯的意義

邏輯的性質工具性，普遍性，抽象性，非政治性

學習邏輯的意義培養批判性思維習慣與能力思維創新的前提理解、論說的基礎工具

批判性思維是以鑒別一個人思維的力量與弱點的方式來思考其思維的能力，它以一種改良的形式重鑄思維。這種對思維的反思包括，識別思想的基本要素：目的、問題、資訊、假設、解釋、概念、含意、觀點等，以及使用諸如清晰性、準確性、精確性、相關性、深度、廣度和邏輯性等等普遍智力規範和標準評價這些要素的能力。

任何學科理論都有目標和關於那些目標的邏輯結構集：假設、概念、主題、資料、理論、主張、含意、推論（後承）等等。某些概念在邏輯上比其他的更基本。每一學科都依賴概念、假設和理論，做出主張，給出理由和證據，避免矛盾等等。每一學科都應用著邏輯。

學習邏輯的方法重點是理解；作業是手段；文本分析是關鍵作業：p20.二本章概要：邏輯是研究思維的邏輯形式及其基本規律以及簡單邏輯方法的科學。任何邏輯形式都包括邏輯常項和邏輯變項。變項符號有兩類，一類代表詞項（S、P），一類代表語句（p、q）。邏輯形式的性質主要由邏輯常項決定。邏輯有三大源流。邏輯是工具性質的科學。學習邏輯可以提高批判性思維能力。學好邏輯的關鍵是對實際會話和文本進行邏輯分析。2.1概述

第二章命題邏輯命題：通過語句反映事物情況的思維形式。特徵：有真假＝真值判斷：被斷定了的命題。特徵：主觀斷定。語句：表示事物情況的聲音或筆劃。命題和語句的關係：內容與表達形式。1）任何命題都通過語句表達；2）但並非一一對應：有些語句不表達命題（疑問、祈使、感歎等）；數句一命題；一句數命題

命題、判斷、語句

命題邏輯把命題分析為構成複合命題的成分即簡單命題，簡單命題的真值組合決定整個複合命題的真值。命題形式：命題的邏輯形式＝命題形式

命題形式及其種類模態命題（帶有“必然”、“可能”等）簡單命題（變項＝概念）複合命題（變項＝命題）聯言選言假言關係命題（支命題與聯結詞）（主、謂項與量詞、聯項）（關係者項、量詞與關係項）性質命題負命題非模態命題另一種分類命題分類

推理：從一個或幾個已知命題推出一個新命題的思維形式。例，有的大學生是男性，所以，有的男性是大學生。

推理分類

推理及其分類前提推理標誌詞結論

結構必然性推理（演繹推理）

或然性推理歸納推理類比推理簡單命題推理複合命題推理性質關係聯、選、假、負定義：反映若干事物情況同時存在結構：聯言支（若干情況）聯結詞（同時存在）公式：p且q且rp∧q∧r（合取式）自然語句：雖然，但是；既，又；不僅，而且；儘管，可是；逗、句、分號例：物美價廉＝這件商品品質好而且這件商品價格便宜

情況組合符號物美價廉之真假

1.物美價廉p,q真t2.物美價不廉p,¬q假f3.物不美價廉¬p,q假f4.物不美價不廉¬p,¬q假f

聯言命題pqp∧qtttfftfftfff真值：支支真，∧真；任一支假，∧假p∧q的真值表pqpq2.1聯言命題及其推理省略式：省略主項、謂項，主謂項；教科書p30.末例

聯言推理定義：前提或結論為聯言命題的推理；依據聯言命題性質進行的推理種類：分解式

依據合取式定義反過來，合取真則支支真。

組合式

依據合取式定義，支支真則合取真p∧q→pp∧q→q（p，q，r）→p∧q∧r定義：反映若干可能事物情況至少有一種存在結構：選言支（若干可能情況）聯結詞（至少有一存在）

選言命題pqp∨qtttfftfftttf真值：支支假，∨假p∨q的真值表

情況組合符號命題真假1.不可靠有錯誤p,q真t2.不可靠無錯誤p,¬q真t3.可靠有錯誤¬p,q

真t4.可靠無錯誤¬p,¬q

假f2.3選言命題及其推理

相容選言命題定義：選言支可同真

結構：p或qp∨q（∨為相容析取）自然語句：或，或；可能，也可能；也許，也許例

“此報告或材料不可靠，或計算有錯誤”

定義：選言支不同真結構：選言支（可能情況）聯結詞（不能同時存在）要麼p，要麼qp∨q∨r（∨為不相容析取）自然語句：不是，就是；或，或，二者不可兼得等pqp∨qtttfftfffttf真值：至少有一存在，但不能同時存在即至少且至多有一存在，也即唯一支真

唯一支真，∨真p∨q的真值表

情況組合符號命題真假

1.虎死，松死p,q假f2.虎死，松未死p,¬q真t3.虎未死，松死¬p,q真t4.虎未死，松未死¬p,¬q假f

例析

“要麼武松打死老虎，要麼老虎吃掉武松”.

．

．．．．．

不相容選言命題

選言支窮盡問題

選言支窮盡的命題一定是真命題，但一個真的選言命題不一定是選言支窮盡的定義：根據選言命題性質進行的推理依據p∨q的性質，至少有一支真，所以（（p∨q）∧¬p）→q（（p∨q）∧¬q）→p（(p∨q∨r）∧¬

p）→（q∨r）但有

選言推理

相容選言推理（（p∨q）∧p）→¬q（（p∨q）∧q）→¬p無效式（（p∨q）∧¬p）→q（（p∨q）∧p）→¬q

不相容選言推理依據

p∨q性質，至多至少有一支真

肯定否定式根據至多有一支真．．對多個支的不相容析取，肯定其一則可否定其餘，即．（p∨q∨r）∧p）→（¬（p∨q））（p∨q∨r）∧p）→（¬q∧¬r）（（p∨q∨r）∧¬p）→（q∨r）但否定其一，不能肯定剩餘的每一個，只能肯定剩餘的析取式．．．．．．．否定肯定式根據至少有一支真．2.4假言命題及其推理

假言命題定義：反映一事物情況是另一事物情況的存在條件的命題

前件

後件聯結詞

如果一個人患了肺炎，那麼這個人發燒關鍵是前後件關係是否反映兩種情況之條件關係

充分條件假言命題定義：反映一事物情況是另一事物情況的存在的充分條件命題

有p必有q，無p未必無q1、p，q2、¬p，q3、¬p，¬q4、從未有p而¬qP是q的充分條件1，42，3結構：若p則qpq自然語句：假使，那麼；倘若，則；只要，就；要是，就；當，便；一旦，就；如果，則例析

“如果一個物體摩擦，那麼這個物體生熱”

情況組合符號命題真假1.摩擦，生熱p,q真t2.摩擦，不生熱p,¬q假f3.不摩擦，生熱¬p,q真t4.不摩擦，不生熱¬p,¬q真t真值：前（件）真而後（件）假，則假

前（件）假，或後（件）真，則真pqp

qtttfftfftftt

必要條件假言命題定義：反映一事物情況是另一事物情況的存在的必要條件命題

結構：只有p才qpq自然語句：只有，才；除非，不；沒有，就沒有例析

“只有一個人年滿18歲，他才有選舉權”

真值：前（件）假而後（件）真，則假

前（件）真，或後（件）假，則

真pqp

qtttfftffttft有p未必有q，無p必定無qP是q的必要條件

1，23，41、p，q2、p，¬q3、¬p，¬q4、從未有¬p而q

情況組合符號命題真假1.年滿18，有選舉權p,q真t2.年滿18，無選舉權p,¬q真t3.未滿18，有選舉權¬p,q假f4.未滿18，無選舉權¬p,¬q真t

充分必要分條件假言命題定義：反映一事物情況是另一事物情況的存在的充分且必要條件命題

結構：當且僅當p才qp

q自然語句：當且僅當；如果，則；如果不，則不例析pqp

qtttfftfftfft

情況組合符號命題真假1.偶數，被2整除p,q真t2.偶數，不被2整除p,¬q假f3.不是偶數，但被2整除¬p,q假f4.不是偶數，不被2整除¬p,¬q真t“一個數是偶數，當且僅當它能被2整除”有p未必有q，無p必定無q充分條件有p必有q，無p未必無q必要條件充要條件有p必有q，無p必無q（P等值於q）真值：前後件同真假，則

真

條件命題的轉換（p

q）≡（qp）≡（¬q

¬p）（p

q）≡（qp）≡（¬p

¬q）p

q（p

q）≡（q

p）

≡（p

q）∧（¬p¬q）（p

q）∧（pq）

（p

q）∧（qp）

如果摩擦，則生熱只有生熱，才摩擦如果未生熱，則未摩擦只有發燒，才患肺炎如果患肺炎，則發燒如果不發燒，則未患肺炎一個數能被2整除，當且僅當它是偶數一個數是偶數，當且僅當它能被2整除一個數能被2整除，當且僅當它是偶數

假言推理根據假言命題性質的推理

充分條件假言推理根據前件是後件的充分條件；後件是前件的必要條件（（pq）∧p）q（（pq）∧¬q）¬p肯定前件式有p必有q否定後件式無q必無p

P是q的充分條件q是p的必要條件（（pq）∧q）p（（pq）∧¬p）¬q肯定後件式有q不必有p否定前件式無p不必無q

必要條件假言推理根據前件是後件的必要條件；後件是前件的充分條件（（pq）∧¬p）¬q（（pq）∧q）p否定前件式無p必無q肯定後件式有q必有pP是q的必要條件q是p的充分條件（（pq）∧p）q（（pq）∧¬q）¬p肯定前件式有p不必有q否定後件式無q不必無p根據pq等值於qp，¬p¬q

因此，兩個有效式相當於（（qp）∧¬p）¬q（（qp）∧q）p（¬p

¬q）∧¬p）¬q（¬p

¬q）∧q

）p

充要條件假言推理根據前件是後件的充分條件；前件是後件的必要條件後件是前件的充分條件；後件是前件的必要條件（（p

q）∧p）q（（p

q）∧¬p）¬q肯定前件式有p必有q否定前件式無p必無qP與q互為充分條件互為必要條件（（p

q）∧¬q）¬p（（p

q）∧q）p肯定後件式有q必有p否定後件式無q必無p只要對前後件進行一致的肯定或否定，充要條件推理就是有效的根據轉換，三種假言推理中，充分條件假言推理是基本的

假言易位推理

假言聯鎖推理（pq）

（¬q¬p）（pq）

（q

p）

充分條件假言易位推理

必要條件假言易位推理

充要條件假言易位推理（p

q）

（q

p）兩個以上假言命題作前提

充分條件（p

q）∧（qr

）（pr）（p

q）∧（qr

）（¬r

¬p）肯定式否定式

必要條件肯定式否定式（p

q）∧（qr

）（rp）（p

q）∧（qr）（¬p

¬r）

混合條件肯定式否定式（p

q）∧（qr）（pr）（p

q）∧（qr）（¬p

¬r）2.5負命題及其推理

負命題定義：否定某個命題的命題一元聯結詞任何一個命題形式都可以加上否定詞“並非”（¬）形成其負命題結構：聯結詞“並非”支命題一個自然語言：並非；並不是；是假的；是不對的例析

並非我班所有同學都是中共黨員p

¬ptfft

p真值：負命題真，當且僅當原命題假

因此有

雙重否定律：p≡¬

¬pP

¬p¬

¬ptffttf

負命題的等值推理

聯言命題負命題推理¬（p∧q）

（¬p∨¬q）否定合取得析取，分配否定到變項

充分條件假言命題負命題推理

相容選言命題負命題推理

不相容選言命題負命題推理¬（p∨q）

（¬p∧¬q）否定析取得合取，分配否定到變項德摩根定律．．¬（p∨q）

（

p∧q）∨(¬p∧¬q）．¬（pq）

（p∧¬q）

必要條件假言命題負命題推理

充要條件假言命題負命題推理¬（pq）

（¬p∧q）¬（p

q）

（p∧¬q）∨（¬p∧q）

負命題的負命題推理¬（¬p）

p·2.6複合命題的其他推理

假言選言推理（二難推理）定義：假言、選言命題構成，假言前提為2者是二難推理形式：簡單構成式、簡單破壞式、複雜構成式、複雜破壞式pr¬prp∨¬p總之，rpqpr¬q∨¬r總之，¬ppqrsp∨r總之，或q或s簡單構成式結論不帶析取肯定前件式前件不同後件同簡單破壞式結論不帶析取否定後件式後件不同前件同複雜構成式結論帶析取肯定前件式前後件均不同pqrs¬q∨¬s總之，或¬p或¬r複雜破壞式結論帶析取否定後件式前後件均不同破斥錯誤的二難推理推理形式評估前提審查（充分條件存在否？選言支窮盡否？）構造相反的二難推理

假言聯言推理定義：假言命題與聯言命題構成；結論為聯言命題形式：肯定式、否定式pqrsp∧r∴q∧spqrs¬q∧¬s∴¬p∧¬r實際是一次分解式，兩次肯定前件式，一次組合式實際是一次分解式，兩次否定後件式，一次組合式p∧rpqrsq∴p，rprs

∴q∴s∴q∧s¬q∧¬spqrs¬p

∴

¬q，¬s¬q¬s¬r

∴¬p∴

¬r∴¬p∧¬r

反三段論

如果從若干前提得出一個結論的推理是有效的，那麼，若結論為假，則一定至少有一前提為假。如果知道其中的一個前提真，則剩餘那個前提一定為假。三段論：（p∧q

）

r反三段論：（（p∧q

）

r）（¬r∧p）

¬q

）（（p∧q

）

r）（¬r∧q）

¬p

）試展開已知（p∧q

）

r再假定¬r∧

p則有¬r，p（分解式得到），（p∧q

）

r

¬（p∧q

）

（¬p∨¬q）

¬rp∴¬（p∧q

）∴¬q（（p∧q

）

r）∧（¬r∧p）

¬q

不同於

歸謬推理一個命題包含邏輯矛盾，則該命題為假。或，一個命題推出p，又推出p的矛盾命題（¬p

），則該命題假。（（pq

）∧（p

¬q））¬p展開pq，p

¬q，即是p（q∧¬q），而（q∧¬q）恒假，即

¬（q∧¬q）恒真，恒真命題可作為前提使用，因此就有P（q∧¬q）

¬（q∧¬q）

∴¬p本章概要：命題是有真假的語句。它包括簡單命題和複合命題。複合命題形式有聯言命題、選言（相容和不相容）、假言（充分、必要、充要）和負命題形式。它們有不同的真值性質。各種複合命題的推理正是根據這些性質進行的推理。複合命題的定義、結構、真值、推理有效式密切相關。二難推理、假言聯言推理、反三段論和歸謬推理是從這些複合命題推理的基本形式衍生出來的。3.1重言式第三章命題的自然推理

真值形式與真值函項

真值形式從自然語言來看邏輯形式，有時需要考慮真假關係之外的因素，如支命題之間的相關性，語句的順序等。如

①如果摩擦，則生熱；明天或者有雨，或者無雨②如果2＋2＝5，那麼男人就不是男性；或者拉登已死，或者明天下雨第②組至少是令人奇怪的，因為從常識來看，支命題之間缺少相關性。

情有可原，理無可恕；理無可恕，情有可原支命題順序不同，意義不同。

可以用類似於幾何證明的方法證明所有複合命題的邏輯真理。檢驗複合命題推理的有效性就變成一種邏輯演算。但邏輯學難以對付諸如相關性、順序等影響命題真假的因素。邏輯研究撇開邏輯聯結詞在自然語言中的非真值意義，僅從複合命題與支命題之間的真假制約關係來考慮邏輯聯結詞，這樣，邏輯聯結詞就成為真值聯結詞；命題的邏輯形式也就成為真值形式。真值聯結詞真值形式僅僅反映支命題與複合命題之間的真值關係的邏輯聯結詞僅僅反映支命題與複合命題之間的真值關係的命題形式基本真值聯結詞¬

否定∧合取

∨析取

蘊涵

等值基本真值形式真值形式是命題形式的一部分“不但，而且”等不是真值形式。在命題邏輯中，命題形式也就是真值形式。命題形式的定義(ⅰ)任何命題變項是命題形式，如，p，q，p1(ⅱ)若A與B是命題形式，則¬A、A∧B、A∨B、AB、A

B也是命題形式（ⅲ）只有符合(ⅰ)、(ⅱ)的才是命題形式5種基本真值形式

¬p

否定式p∧q合取式

p∨q析取式p

q蘊涵式p

q等值式

真值函項與函數類比

函數講的是數值關係，一個函數的值依賴於其中變數的值y＝f（x），即y的值f（x）由x的取值決定。真值函項講的是真值（真假）關係，一個真值形式的值依賴其變項的值，如p∧q的值，由p和q的值決定。

每一真值形式都是真值函項；真值形式與真值函項的數目並不一樣多，真值形式的數目無限，真值函項數卻是確定的；不同的真值形式，表達相同的真值函項；真值函項是對公式中變項的真假組合的真值斷定，變項組合數2n，對每一組合有真假兩種斷定，故真值函項數為22n。當n（變項數）為1時，其真假組合為2，對真假組合的斷定有4種可能，即真值函項有4個；變項數為2，則真值函項有16個；變項數為3，則真值函項為256個。Pf1

f2

f3

f4tttffftftf真值函項是確定的，但真值形式是無窮的。

f1

永真式（重言式）

f4

永假式（矛盾式）

f2

f3

可滿足式（可真可假）永真式表達邏輯規律，永假式的否定也是永真式，邏輯主要研究重言式

p∨¬ppp¬（p∧¬p）p∨pp∧p¬（¬p）¬p

p

¬p

¬p∨¬pp∧¬p¬（pp）

¬（p∨¬p）

若變項數為2，則真值函項總數是16，但其真值函項的種類仍是3類，即重言式、矛盾式和可滿足式：

f1

是重言式，

f16

是矛盾式，

f2—f15是可滿足式

f1

f2

f3

f4pqf1f2f3f4f5f6f7f8f9f10f11f12f13f14f15f16ttttttttttfffffffftfttttffffttttffffftttffttffttffttfffftftftftftftftftf

f1

p∧q

p;pp∨q;(p∧q)

∨(p∧¬q)∨(¬p∧q)

∨(¬p∧¬q)等f2

p∨q;¬(¬

p∧¬q)

等

f3

¬

p

¬q

；q

p；p∨¬q等

f4

p∨(q∧¬q)；p∧（q∨¬q)等

f5

pq；¬p∨q；¬q

¬p等

f6

q∨(p∧¬p)；q∧（p∨¬p)等

f7

p

q;(p

q)

∧(¬

p

¬q)f8

p∧q;

¬(¬

p∨¬q)

f9

f8的矛盾式

f10f7的矛盾式

f11

f6的矛盾式

f12f5的矛盾式

f13

f4的矛盾式

f14f3的矛盾式

f15f2的矛盾式

f16f1的矛盾式

隨著變項數目的增加，函項數也增加，當變項數目為3時，函項數目達到256個。但不管函項數是多少，重言式的函項只是一個，矛盾式的函項也是一個，其餘均是可滿足式。真值函項有3類，那麼，表達真值函項的真值形式也有3類：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）和可滿足式（可真可假式）。當然，每一類真值函項包括很多的真值形式，而同一類真值函項的真值形式是等值的。

通過研究真值函項，使我們看到無窮的真值形式中的同一的和本質的東西，即不同形式的真值形式（公式）表達相同的真值函項。而且，可以把紛繁的真值形式加以歸類，因為有多少真值函項，就有多少真值形式的類，使邏輯研究集中於規律性的東西上。邏輯主要研究重言式。

重言式重言式是邏輯真理的表現形式，是關於複合命題的邏輯規律其中的重言蘊涵式、重言等值式表達有效推理常見的重言式（邏輯規律）見教科書p83－843.2命題的真值判定方法

真值表方法

真值表的作用定義作用：5個基本真值形式的真值表定義了5個真值形式。如，什麼是合取式？回答是，每一支命題為真，則它為真的那種真值形式，這正是合取式的真值表反映的情況。pqp∧qtttfftfftfff判定作用：1、判定一個公式的性質（重言式，矛盾式或可滿足式）；2、判定任意多個公式的關係（等值或矛盾等）；3、判定一個推理是否有效，即它是否一個重言的蘊涵式或等值式。

真值表的作法分解公式。把一複雜公式分解為支命題和命題變項。如（（p∧q

）

r）（（¬r∧p）

¬q）先找到主聯結詞，即最大括弧外的聯結詞。蘊涵號

得到（（p∧q

）

r）和（¬r∧p）

¬q）再行分解得到p∧q

和r；¬r∧p和¬q按變項－最簡單公式－複雜公式順序排列p，q，r，¬q，¬r，p∧q

，¬r∧p，（p∧q

）

r，（¬r∧p）

¬q，最後是總公式（（p∧q

）

r）（¬r∧p）

¬q）可以堅持一條原則：一公式的支命題在前，該公式在後，因此順序也可排為p，q，r，¬q，¬r，p∧q

，（p∧q

）

r，

¬r∧p,（¬r∧p）

¬q，只要保證，被判定的公式的支命題在先已經賦值即可。然後畫表，先畫一個偏十字或表格，將分解後的公式成分由簡到繁寫進表（（p∧q

）

r）（（¬r∧p）

¬q）的真值表作法第一步：分解公式，畫表

3個變項，其真假組合共有23＝8種可能因此有8行；變項有3個，整個公式可分解為7部分，共有10列。pqr¬q¬rp∧qp∧qr¬r∧p¬r∧p

¬q(p∧q

）

r）

（¬r∧p）

¬q第二步：由簡到繁填入欲賦值的公式pqrtttttftfttfffttftffftfff第三步：給變項賦值（技巧：先給最後一個變項按一真一假賦值，再給第2個變項按兩真兩假賦值；再給第一個變項按四真四假賦值）pqr¬q¬rp∧qp∧qr¬r∧p¬r∧p

¬q(p∧q

）

r）

（¬r∧p）

¬qtttffttfttttffttftfttfttfftftttffttfttttfttffftfttftfftftfttffttfftfttfffttftftt第四步：依次按照5個基本真值形式的真值表給每個子公式賦值第五步：根據真值表中的總公式即最後一列的賦值，對公式做出判定。此總公式下每一行均為真，故該蘊涵式為重言式，即一個有效推理形式。判定多個公式的性質或關係pq¬p¬qp∧q¬

（p∧q）¬p∨

¬qp∨

¬pp

¬qttfftfftftfftfttttfttffttttffttftttt可以看出：第5列與第6列取值完全相反，二者為矛盾關係第6列與第7列取值完全相同，二者為等值關係第6列與第9列取值完全相同，二者為等值關係第8列每一行取值均為真，是重言式

123456789

簡化的真值表方法（歸謬賦值法）

僅適用於蘊涵式是否重言式的判定。蘊涵式表達一個推理形式，因此也是一種判定複合命題推理是否有效的方法。由於其他的公式可以轉換成蘊涵式，所以，這是一種有一定普遍性的方法。原理：一個公式或真或假；否定一個矛盾式，就得到一個重言式；否定一個重言式，就得到一個矛盾式；假設一個公式為假，如果至少一個變項的賦值必定出現矛盾（既賦真，又賦假），則表明原來的假設是錯誤的，否定假，就得到真，即原公式是重言式。步驟：1、寫出被判定公式的橫式（如有必要將其轉換成蘊涵式）；2、假設該蘊涵式為假；3、依次按照基本真值形式的定義，給每一變項賦值；4、看得到賦值後的任一變項是否必然矛盾；5、若至少有一變項的賦值必然矛盾，則原公式是重言式，它表達的推理是有效的；否則不是重言式，相應的推理是無效的。第一步：（（pq）∧¬q）¬p（（pq）∧¬q）¬pF第二步：假設蘊涵式為假（（pq）∧¬q）¬p第三步：給變項賦值

(1)

(2)(3)

TFF（（pq）∧¬q）¬p（（pq）∧¬q）¬p

F

T

F

TT

F

FF

TT

T

T

FF（（pq）∧¬q）¬pF或者另一種可能T

T

T

TT

F

FF

T第四步：判定。變項p的賦值矛盾，所以該公式是重言式，對應的推理是有效的。

（（p∧q

）

r）（¬r∧p）

¬

q）1

F2

TF3

TF4

TT

T5

FF6

TF

F變項q的賦值必然出現矛盾，故該蘊涵式（推理）是有效的。若使得q不出現矛盾，則p必定出現矛盾；若使p、q不出現矛盾，則r必定矛盾。總之，三個變項必有一個出現矛盾，因此，賦值後變項出現矛盾是必然的。3.2命題的自然推理

自然推理系統的構成

初始符號命題變項符號p，q，r…，p1，p2，pn5個基本真值聯結詞

形成規則(ⅰ)任何命題變項是命題形式，如，p，q，p1(ⅱ)若A與B是命題形式，則¬A、A∧B、A∨B、

AB、A

B也是命題形式（ⅲ）只有符合(ⅰ)、(ⅱ)的才是命題形式

推理規則10條

建立證明的規則從給定的前提或假設出發，運用推理規則，得到所要求的結論。在這一過程中，除了用到上述東西而外，再無其他東西。

推理規則（1）重現律AA（2）蘊涵消去律

_A,ABB（3）蘊涵引入律

+

[A]

AB（4）合取引入律∧+A，BA∧B…B（5）合取消去律∧_A∧BA∧BAB（6）析取引入律∨

ABA∨BA∨B（7）析取消去律∨

[A][B]A∨BCCC……（8）否定引入律¬＋

[A]B∧¬B¬A（9）否定消去律¬－

¬

¬AA（10）等值引入律

＋

[A][B]BAA

B………＋－例11.pq2.qr/∴pr3.PAP4.q1,3_5.r2,4_6.pr3,5+

例21.pq2.¬q/∴¬p

3.PAP4.q1,3_5.q∧¬q2,4∧+6.¬p3,5¬+

例3pq2.rs3.p∨r/∴q∨s4.PAP5.q1,4_6.q∨s5,∨+7.rAP8.s2,7_9.q∨s8,∨+10.q∨s3,—9∨_

[p][r]p∨rq∨sq∨s

q∨s

……證明邏輯公式，就是證明無前提公式（前提均為假設）例4證明pp1.pAP/∴pp2.p1,重現律3.pp1,2+

例5證明p¬¬p例6證明p∨q

q∨p1.pAP2.¬pAP3.p∧¬p1,2∧+4.¬¬p2,3¬+5.p¬¬p1,4+1.p∨qAP2.PAP3.q∨p2,∨+

4.qAP5.q∨p4,∨+

6.q∨p2－5,∨_7.p∨q

q∨p1,6

+例7證明(p(q

s))

(q

(ps))1.p(q

s)AP2.qAP3.pAP4.q

s1,3

_5.s2,4

_6.ps3,5+7.q

(ps)2,6+8.p(q

s))

(q

(ps)1,7+

本章概要：現代邏輯運用形式語言研究命題邏輯。僅從真值角度來看，命題形式就是真值形式。真值形式和其變項的關係是函數關係，真值形式是真值函項的表達形式。基本真值聯結詞有5個：否定、合取、析取、蘊涵、等值。基本真值形式包括否定式、合取式、析取式、蘊涵式和等值式。真值函項的個數是22n個（n是變項的數目）。真值函項有三類：永真式（重言式）、永假式（矛盾式）和可滿足式。同一真值函項的真值形式是等值的。矛盾式的否定是重言式，重言式的否定是矛盾式。重言式即是邏輯規律。重言蘊涵式表達有效推理。由於真值形式的值唯一地由其變項的真值組合決定，因此其值可以用機械的方法加以判定。根據有效推理是一重言蘊涵式這一性質，可以用歸謬賦值法來確定一個推理是否有效。其要點是：假設蘊涵式假，進行推導，如果必然得到至少一個賦值矛盾的變項，則蘊涵式是有效推理形式。現代邏輯的命題邏輯是一個形式系統，所有邏輯真理，或是該系統的推理規則（10條）之一，或是其一個定理。對一個定理的證明僅利用前提、假設、推理規則來進行。4.1概念及其特徵第四章概念

複合命題的性質及其推理的有效性通過分析構成它的命題成分就可揭示出來。但是，那些簡單命題及其構成的推理的特性，用如此的辦法並不能奏效。如，“所有團員是青年，所以，有些青年是團員”，這一推理的有效性，就不能用前邊分析複合命題及其推理的方法顯示出來。因為，“p，所以q”是無效的，而事實上這一推理是完全合乎邏輯的。其實，這一推理的有效性是建立在兩個命題裏的概念之間的關係上的。這樣，我們就需要研究概念的種種問題，以便我們能夠分析另一類推理即簡單命題的推理。

概念是思維之網的紐結。我們對世界的認識成果都通過概念而鞏固起來。

何謂概念概念是反映對象特有屬性或本質屬性的思維形式。反映：表明概念是一種主觀的形式，但有客觀的內容。對象：客觀的事物、現象；人的感覺、表像，思想意識，情感意志等，總之，一切可以成為人的認識對象的東西。屬性：性質和關係。特有屬性：該對象所有，其他對象不具有的屬性。非特有屬性是並不為某對象專有的屬性。借助特有屬性，可以把一對象和其他對象區別開來。特有屬性反映為初級概念，此時把握的還是對象的偶然的性質，如“人”的初級概念、“金”的初級概念。本質屬性：特有屬性中根本性的、基礎性的，決定其他特有屬性的那些特有屬性。本質屬性反映為深刻的概念即科學概念，它把握的是對象的必然的性質，如科學的“人”的概念、“金”的概念。對象的特有屬性是多種多樣的，本質屬性也是多方面的。

概念與語詞、詞項

語詞是概念的物質外殼。任何概念都是通過語詞表達的。它們二者的關係是思維和語言關係的具體表現之一。但是，概念和語詞並不是一一對應的：1）並非所有語詞都表達概念。虛詞中的某些不表達概念。因為這些詞並不反映對象的特有屬性，如“嗎”、“呢”；2）數詞一概念。如，父親、爸爸、大、爹、爹地、father

同義詞3）一詞數概念。如，“道”

多義詞歧義

詞項是概念和語詞的統一，換句話說，詞項就是表達概念的語詞。除去不表達概念的語詞，所有的語詞都可以看成是詞項。

概念內涵與外延內涵：反映在概念中的對象的特有屬性或本質屬性。例：人是能製造和使用工具的動物商品是為交換而生產的勞動產品回答“是什麼”：概念是什麼意思說明對象有何性質外延：具有概念所反映的特有屬性或本質屬性的對象。回答：“有多少”：概念包括哪些對象範圍如何該名稱適用的事物類、分子、子類、空類（虛概念）注意：內涵≠特有屬性外延≠對象概念內涵、外延的確定性和變動性根據內涵與外延的一般特徵對概念進行分類。單獨概念：外延分子＝1普遍概念：外延分子≥2

一個對象專名、摹狀詞一類對象名詞、動詞、形容詞4.2概念的種類

普遍概念和單獨概念

集合概念和非集合概念

反映非集合體＝非集合概念反映集合體＝集合概念

設A為一個由多個個別對象a1、a2、a3、a4……an組成，若a1—an的任意一個若a1—an的任意一個

必然具有A的任一屬性，不必然具有A的任一屬性，

則A為非集合體。則A為集合體。

舉例：“書”

“叢書”，

同一語詞在不同語境下既可以表達集合概念，也可以表達非集合概念

“我班同學都是大學生”

“我班同學來自全省各地”正概念：反映對象具有某種屬性的概念負概念：反映對象不具有某種屬性的概念。負概念在語詞表現形式上帶有“無”、“不”、“非”等否定詞，但並非帶有否定詞的都表達負概念，如，“無錫”、“不萊梅”、“非洲”。負概念的概括力較強，一切不具有某種屬性的對象都包括在內。若不用負概念，用正概念列舉有很大困難。負概念的使用一般總是相對於一個特定的範圍，否則陳述的意義不明確

“這本雜誌上有一篇小說，其餘都是非小說”三種分類是對同一概念從不同角度劃分的結果。說到底，三種劃分實際可歸為二種。集合與非集合的劃分，在特定的論域內，可以用單獨和普遍概念的劃分來代替。所謂“總名”的用