集合知识框架

集的性质丿径合的概念吋表廿集合脚表乐法■一 「子集与其子集集合———_Kq［集吾的关系集合———_K集合基車运算r集合的迄算I［集r集合的迄算【黑件元素的个数\、q集合杂题应集合疋义璽則雌咼考要求内容基本要求集合的含义会使用符号“w”或“电”表示元素与集合之间的关系；集合的表示能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方稈或不等式的解集等集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念•在具体情景中，了解空集和全集的含义；理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集集合的基本运算掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算•能使用维恩图表达集合之间的关系和运算.1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作awA；若b不是集合A的元素,记作b电A；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：｛1,2,3,4,5｝，｛1,2,3,4,5,L｝描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号｛｝内。例如：大于3的所有整数表示为：｛xgZlx>3｝方程x2-2x-5=0的所有实数根表示为：｛xgR|X2-2x-5=0｝具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。<教师备案〉⑴集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他的概念给它下定义，所以集合是不定义的概念，只能做描述性的说明．⑵构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象．例：｛小明，机器猫，哈里波特｝⑶正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征．任何一个对象都能确定它是不是某一个集合的元素这是集合中元素的最基本的特征——确定性，反例：“很小的数”，“个子较高的同学”；集合中的任何两个元素都是不同的对象即在同一集合里不能重复出现相同元素——互异性，事实告诉我们，集合中元素的互异性常被忽略，从而导致解题出错•例：方程（x-1）2（x-2）=0的解集不能写成｛1,1,2｝，而应写成｛1,2｝在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序一一无序性例：集合｛a,b,c｝与集合｛b,c,a｝是相同集合⑷用描述法表示集合，对其元素的属性要准确理解.例如：集合□y=x2表示自变量x值的全体，即xgR｝；集合｛y|y=x2｝表示函数值y的全体，即｛yIy三0｝;集合&x，y）|y=x2｝表示抛物线y=x2上的点的全体，是点的集合（一条抛物线）；而集合｛y=x2｝则是用列举法表示智康高中数学•集合•知识框架 1 好举音智貯超音康 的单元素集．⑸关于集合的表示方法之间的转换例如：①AJX—eZ,eN〔，用列举法表示为A二{o,1,2,4,5,69)〔3-x 丿②A=|x|x=□+□,a,b是非零实数＞，用列举法表示为A={-2,0,2)Iab J2．集合的包含关系：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集(或B包含A),记作AUB(或AuB)；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AUB且B,A,则称A等于B,记作A=B;若AUB且AHB,则称A是B的真子集，记作AB；简单性质：1)AUA；2)①UA；3)若AUB,BUC,则AUC；4)若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2n—1个真子集)；3．全集与补集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；若S是一个集合，AUS,贝叽C={xIxeS且x电A}称S中子集A的补集；S简单性质：1)C(C)=A；2)CS=①,C①=SoSS S S＜教师备案〉⑴强调说明，加深印象：表示元素和集合之间的关系：属于“e”和不属于“电”表示集合与集合之间的关系：包含关系：如果对于任意aeAnaeB，则集合A是集合B的子集，记为AuB或B—A；注意提示：AuA，0uA真子集关系：对于两个集合A与B，若AuB且A丰B，则集合A是集合B的真子集，记作AUB(或BYA)相等关系：对于两个集合A与B，如果AuB，且BuA，那么集合A与B相等，记作A=B注意提示：如果"AuB”，那么有A=B或AUB，两种情况二者必居其一；而AUB是不允许A=B，所以即使AuB，AUB不一定成立；反之，AUB可以说AuB；A=B也可说AuB不包含关系：如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A•分别记作A赲B，或BUA⑵0,{0},0,{0}之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0e{0}智康高中数学•集合•知识框架 2 好¥音智貯超音康 0与{0}是不同的，0中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系(0u{o})0与{0}是不同的，0中没有任何亍素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是0G{0}或0匸{0}或0u{0}显然，0笑0，0电{0}⑶集合中的计数问题当研究有限集合问题时，常有一些计数问题．在计数时常用下列结论：设集合A中元素个数为n，则①子集的个数为2n，②真子集的个数为2-1，③非空真子集的个数为2n-24．交集与并集：一般地，由属于集合人且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合人与B的交集。交集AnB二{xIxgA且xgB}。—般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。并集AuB={xIxgA或xgB}。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。＜教师备案＞1．理解两个集合的并集、交集、补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集⑴能使用Venn图表示集合的并集、交集、补集；⑵能使用数轴表示不等式或不等式组的解集和表示集合A的补集dAR2．基础知识点拨：⑴交集的概念：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AIB(读作“A交B”)，即AIB={xIxgA,且xgB}数学符号表示：AIB={xIxgA,且xgB}Venn图反映：⑵并集的概念：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AUB（读作“A并B”），即AUB={xIxgA,或xgB}数学符号表示：AUB={xIxgA,或xgB}Venn图反映：⑶⑶补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

称为集合A相对于全集U的补集，记作dA，即dA={xIxgU，且UUx电A}①数学符号表示：&A={xIxgU,且x电A}U②Venn图反映：U U UUU U UU3．公式定理小结：⑴A匸A；0匸A；⑵若A匸B，B匸C，则A匸C；若AUB，BUC，则AUC；⑶AIB=BIA；⑷AIB匸A；AIB匸B；⑸AI0=0；(6)AUB=BUA；⑺A匸AUB；B匸AUB；⑻AU0=A⑼AI(dA)=0；AU(dA)=U；UU⑽痧(A)=AUU5．集合的简单性质：AnA=A,Ac©=①,AnB=BnA;AuO=A,AuB=BuA;(AnB)匸(AuB);A匸BoAnB=A;A匸BoAuB=B；C(^HB)=(CA)U(CB),C(AUB)=(CA)n(CB)。SSSSSS6・集合元素个数公式：n(AUB)=n(A)+n(B)—n(AIB).貝1山拒竞赛知识1集合的概念集合是一个原始的概念，是数学中一个不定义的概念・尽管如此，对于一个具体的集合而言，很多情况下我们可以通过采用列举或者描述的方法给出它的一个准确而清晰的表示・2．集合的描述法对任给的一个性质P，存在一个集合S，它由恰好是具有性质P的所有对象构成，即S={x|P(x)}，其中P(x)表示“x具有性质P”.3．元素与集合的关系一个集合的元素是完全确定的，同时其包含的元素之间具有无序性和互异性．对于一个确定的对象x和一个确定的集合A，“xeA”与“X电A”有且仅有一个成立.如果对象x满足描述集合A的性质，则有“xeA”，此时称对象x为集合A的元素.集合的元素个数为有限数的集合称为有限集，元素个数为无限的集合称为无限集．空集0不含任何元素.思考：{0}是不是空集，它的兀素是什么？4．集合与集合的关系集合A包含于集合B，即“A匸B”o“VxeA，有xeB・”(“V”：任给，“VxeA”即“任给集合A中的元素x”)；集合A真包含于集合B，即“AB”o“VxeA，有xeB.”且“3xeB，使得x电A.”(“3”：存在，“3xeB”即“存在集合B中的元素x”)；集合A与集合B相等，即"A=B”o“A匸B”且“B匸A”.思考：如何利用“V”和“3"通过数学语言叙述命题“对任何自然数a，都存在整数b，使得a+b是质数5．集合与集合的运算集合的交集、并集、补集三种基本运算是通过元素与集合的关系来定义的・有时，我们还要用到集合的差集的概念・下面给出这四种运算的定义：交集：AIB={xIxeA，且xeB},并集：AUB={xIxgA，或xeB},补集：如果有A匸B，则A对B的补集dA={xIxgB，且x电A}.(注意前提条件，如B __果A匸B不成立，就A对B的补集运算就无从谈起.)，当给定全集U时，dA常记做A.U差集：A\B={xgA，且x电B}.利用维恩图可以直观的理解集合与集合的运算，例如交集和并集：思考：补集运算与差集运算的联系，画出补集和差集的维恩图表示．6．子集以及摩根定律如果集合A与集合M间满足关系：A匸M，那么称集合A是集合M的子集.特别的，规定空集0是任何集合的子集.摩根定律：如果集合A、B都是集合M的子集，那么痧(AIB)=AU?B，痧(AUB)=AI?B.MMMMMM另外，如果集合A、B都是集合M的子集，那么A\B=AIdB.M7．给定一个有限集，写出其所有子集的方法写出给定有限集的所有子集的方法有很多种，在这里我们通过一个实际的例子介绍通过添加给定集合元素得到给定集合所有子集的添加元素法：例：对给定集合{1，2，3}写出其所有子集．⑴写出空集⑵将前一步得到的所有集合照抄，然后将给定集合中第一个元素添加到那些集合中，得到一些新的集合．把照抄的集合和新的集合放在一起，作为该步得到的集合．⑶与⑵类似，不过这次添加的元素为集合中的第二个元素.重复操作，直到将给定集合的所有元素都添加完毕，就得到了给定集合的所有子集．0T0，{1}T0，{1}， {2}, {1，2}T0，{1}，{2}, {1，2}T0，{1}，{2}，{1，2}，{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}.思考：写出集合{1，0}的所有子集．8．有限集的阶如果集合A为有限集，那么集合A的元素的数目叫做这个集合的阶，记做IAI.特别的，定义空集0的阶为0．思考：如果使用维恩图表示集合，那么可以用面积表示有限集的阶．9．子集族某些集合的元素是集合，例如A={0，{1}，{1，2}，{2}}就是一个含有4个元素(每个元素都是集合)的集合.特别的，将集合M的若干子集作为元素构成的集合M*叫做集合M的一个子集族.最简单的子集族是由有限集M的全体子集所构成的子集族，简称为C族.知识提要7给出的方法，其实就是得到有限集M的C族M*中所有元素的方法.C族的基本性质：如果集合M的阶为n，那么集合M的C族M*的阶为2n.思考：通过写出给定有限集的所有子集的添加元素法的步骤理解C族的基本性质.10．覆盖和集合的分划覆盖：如果对于一个集合M,n个非空集合A,A，…，A满足unA=M，则称A,TOC\o"1-5"\h\z1 2 n i 1i=1A，…，A是集合M的一个覆盖.2n集合的分划：如果A，A，…，A是集合M的一个覆盖，若A，A，…，A两两间1 2 n 1 2 n交集为空集，即“V1Wi<jWn，AIA=0.”，那么这些集合的全体叫做集合M的一个ijn-分划.集合M的覆盖A，A，…，A构成的集合M*一定是集合M的一个子集族.例如集合1 2 nA={1,2,3,4,5}可以写成{1，2}U{2，4，5}U{3，4}，记A={1，2}，A={2，4，5}，12A={3，4}.所以A，A，A是集合A的一个覆盖，它们所构成的集合是集合A的一个3 1 2 3子集族，但不是集合A的一个分划.