水質自然淨化工程基本理論

水^自然浮化工程基本理^

土壤篇

第20章湮地土壤水分能，

第21章土壕水分特性曲SoilWaterCharacteristicCurve)

第22章蓬西法灵」(Darcy'sLaw)舆水分遑勤

第23章均一土懵的入渗理^

第24章蒸彝流理1ft

第25章水分在曼懵土壤的入渗理

第26章人工湮地水1(在土壤剖面的浮化理

第20章

湮地土壤水分能*

如同其他自然界中的物^,土壤水分也具有能量(energy'在傅统物理擘中，能量

II分悬3槿型熊：内部能(internalenergy)是原子^的维结力，舆改燮分子维结所需的

功；勤能(kineticenergy)是物^在iMH寺改燮速度所需的功；位能(potentialenergy),

是物^由一位置移勤到另一位置所需的功。巨觐的土壤水分移勤,不改燮水分子的特

性，所以不考内部能；又因悬移勤速度非常^慢，所以因速度的勤能也太小而忽略；

因此土壤孔隙流主要是考位能的燮化。

根撼目前的知,土壤水分位能(soilwaterpotential)由4彳固成分成:

1.重力位能,(pg(gravitypotential):在地球重力埸(gravityfield)g,移勤^量m

有z的距雕,其所做的功或所需能量Eg^:

Eg=mgz.........................................(20-1)

式(20-1)悬常用的物理公式，其推醇如下：

R是地球的半^=6.4xl()8cm

物量m在地球受地心吸力F

F=G普(20-2)

M是地球^量=6xl027g

G是宇宙常姓6G时如』

由(20・2)式知重力g的由来

-51.

M6xl027

6.67xlO-8

mR7(6.4xl08)2

=980cm/sec2=g(重力加速度).................................................(20-3)

所以E=mg.............................................................................................................(20-4)

所以覃位^量所作的功吸悬

(p=—AR..........................................................................................................(20-5)

口m

AR悬罩位距蹄的改燮。(20-3)式代入(20-5)式得

0=GM£+ZdR/R2

=GM[I七

Z

=GM..............................................................................(20-6)

R(Z+R)

因R»Z

Z

<Pg=GM—...........................................................................................(20-7)

(20-3)式代入(20-7)式得

(pg=GZ...........................................................................................................(20-8)

在(20-8)式中的Z是相封高度，一般以地面悬Z=0o(20-8)式亦可瞪明典只舆高

度有II,舆水的物理或化擘性^瓢II。

2.魔力位能(pressurepstential)(pp:土壤孔隙以毛余田作用(capillaryforce)保持著

土壤水分，所以以下列模式来描述，必须给予正屡力(p),才能使水有移的距

蹄，所作的功w悬：

w=F£(20-9)

-52-

w的II位悬erg.

罩位^量的能量，(Pp=F£/m......................................(20-10)

(ppK位悬erg/g

屋力是罩位面稹所承受的屋力

F/A=p........................................................(20-11)

(20-11)式代入(20-10)式得

(pp=pA〃/v

=p/pw...................................................(20-12)

p\v悬水的密度。

又因p=pwgh,所以

(PP=gh........................................................(20-13)

在定羲中，富静水：E(hydrostaticpressure)在1大氟屡的空氟下，视,5=0,富

(Pp>0耦悬在樱力戕况,(Pp<0耦悬在张力(tension或suction)戕况，下。土壤水

分大多5<0。又因孔隙愈小，毛细现象愈著，q)p更悬<0,所以需要更大的能

量才能把造一部分的水移勤出。因悬土壤的孔隙^^不是罩一的毛^管所可比

堤，所以pressurepotential在谩去耦悬capillarypotential,现,皆耦悬Matripotential

3.OsmoticPotential<p°：因水中It子渡度而;咸降(p值。造影鸳一般很小可忽略。

4.Pneumaticpotential5:水的前现1空氟受摘屡而羟生的阻力能量，一般也很小不

影警水流，可忽略之。

-53-

既然土壤水分的位能至少可以分悬il4槿，所以土壤中某一位置(或某一ft

稹的土壤)的^位能cpT(totalpotential)可表示悬：

(pT=cpg+<PP+(Po+Va..............................................(20-14)

(20-14)式中每一能量用加虢相加，表示每一成分都是褐立的(independent)；有的

成分影警较不^著，例如中。典5常在傅统的介隙流中忽略，所以(20-14)可改嘉悬

.......................................................(20-15)

<PT=<pg+q)p

(20-15)中<p的罩位是ery/cm(罩位^量所含的能量),造彳固罩位在物理上不易看出

意羲。

物理上的能・罩位

1.Force(力)的罩位

根撼牛顿第二定律

F=ma,量，a加速度(cm/sec2)

所以在cfs制，F的罩位gcm/sec2=dryne

2.屡力(Pressure)的罩位

根撼定羲，懿力p悬罩位面稹A所受的力

F

p=x...............................(20-16)

在地球重力埸F=mg,所以

D-垩

P-A(20-17)

又密度p=m/v,v悬IS稹,所以

P-v.g

p=------

A

=pgh..............................................................(20-18)

(20-18)式悬屡力常见的式子。

-54-

由(20.16)式和as力的罩位悬dyne/cm2,又因

1atm=1.013xl06dyne/cm2

或

1bar=1.OxiO6dyne/cm2

所以屡力的It位也用bar或atm(大氟屡力)示之。

3.能量E（或功w）的军位

E=w=FZ=dynecm=erg.........................................................................(20-19)

能量有3槿表示法

(1)Potential,<p,即移蜀)每罩位^量m的物^(如水)所耗的能量

E

<P=­

m

FZ

m

gZ(20-20)

罩位悬erg/g。（20-15）式即用此罩位。

（2）Pressure,p,即移勤每军位醴稹v的物^（水）所需的能量

EFZF

—=------=—=n....................................................................(20-21)

vvA

2

军位悬dyne/cm或bar,atm0

（3）Head.H,即移勤每罩位重量w的物^（水）所需的能量。能量是force,F

EEFZ3,

—=—=------=Z或=H(20-22)

wFF

军位悬cm。悬高度的罩位，最易测量。

由降下的水深H即可表示土壤水每1g重量的能量。所以在工程上，H又耦悬

hydroulichead0

比敕(20-20)典(20-22)知

H=坐............................................................(20-23)

g

所以（20-15）式除以g得

-55-

(20-24)

ggg

或

HT=Hg+Hp....................................................................................................(20-25)

HT:^水^(totalhydroulichead)

玲：重力(gravityhead)

Hp：屡力(pressurehead)

II位皆悬cm0

要注意舆土壤孔隙有^的是Hp，不是Hg或HT；而舆土壤水分移勤有^的

不僮是Hp或H„,而是H-jb前一句表Laplaceequation，彳奏一句悬Darcyequation

-56-

第27章

土壤水分特性曲^(SoilWaterCharacteristicCurve)

土壤水分特性曲^是Childs於1940年提出，以例(matricsuction)舆所排水彳爰的土

壤含水量(0)的II保曲^,来代表土壤水分舆所拖外力的平衡II保,如以下^^:

所得^^曲^,SoilWaterCharacteristicCurveo

或是表示悬

Suction

-57-

0e

Watercontent

Sandy土在很小的suction(负懿)下，土壤含水量曾急遽减少，瞪明大多数的孔隙

是大孔隙(Apocl/r,r:孔隙半^);而clay慢减少，代表孔隙分布均匀。Clay

在能和日寺敕sandy有敕高的。值，瞪明clay的孔隙率(porosity)敕大。

优Childs亵表的II保曲^,50年来不断有物理家用不同数擘函数描述，最有名的

是Brooks舆Corey於1966年所提出：

X

(0-0r)/(9m-6r)=(<pe/<P)...............................(21-D

0m：能合含水量

0r:土壤水分很低畴,毛黜管流中断,水流只是沿著土粒表面移勤。

(pe：(air-entrysuction),表示即使在一^^土壤施力，但能和土水分仍不流，因卷最大

孔隙所持著的水仍需能量才能排出，s悬土壤水分^始排出的potentialenergyo

-58-

X:孔隙分布（pore-sizedistributionindex）

Brooks舆Corey的公式是根^^的现，象，富懿力在0至-Ibar（或？ft力在0-lbar）

畤，土壤孔隙水主要是毛黜水（即copillaryforce）悬主要的移勤,因此受土壤孔隙控制；

但富张力＜1bar日寺，毛余田水排完，水分的移勤主要是吸附水（adsorptionwater）,吸附

水的移置）可能舆果直粒的表面稹有疆Gardne氏（1968超悬？力＞10bai（或屡力＜-lObar）

畴，吸附水的移勤典表面稹^^,而舆表面稹的蹄子特性舆曼眉理^（DoubleLayer

Theory）有鼠

由於有造麽多的物理典化擘檄制，在造僚看似罩,彳屯的特性曲^上，至今仍没有一数

擘公式可以完全描述（也很可能永逮没有）,道使得非能合孔隙流成物理擘上解不^的

结，我凭的思索舆努力是在有限型硅度内的近似解。

1970年彳爰，重月窗程式流行，黑乎可以津硅的配上每一修土壤的特性曲,於物理意

羲郤不再思索，基本的理^也未突破。

-59-

第22章

遑西法期(Darcy'sLaw)舆水分遑勤

法阈工程肺HenriDarcy在Dijon城市的公共给水觐测水流^谩渡沙眉的流速，在

1856年樊现流速(q)典屡力水^差AH成正比、舆通谩滤沙厚度L成反比：

AH

qoc..-.-.-.-.-.-.........................................................................................................(22-1)

L

或

AH

q=K...........................................................................................................(22-2)

~L

K水保数(HydraulicConductivity)b追成悬第一彳固孔隙流的公式，穗悬蓬西法刖

(Darcy'sLaw),且逵西彝现在能和流日寺，K悬常数。

q(Flux)的探St

q是罩位土壤(或孔隙介^)面稹,在军位日寺^t的流量(2或cm3)表示悬

0cm3/sec,

q=一=----；—=cm/sec................................................................................(22-3)

Acm-

0悬流率(dischargerate卜q的罩位是流速，v的罩位，但是q不是流速

孔隙

因悬一断面稹有不同的孔隙，每彳固孔隙有不同的流速v,整彳固断面稹有平均流速V，但

是q也不是歹。假故罩位孔隙面即悬A\即

qA=NA'(22-4)

-60-

或改嘉悬

q=v—...............................................................................................................(22-5)

A

根摞定羲f=Ar/A,f悬孔隙率(porosity),服

q=vf................................................................................................................(22-6)

因悬fvl,所以qvVoq是孔隙介^在不考Jill域性的(或微觐)流速或是平均

流速，只考^巨觐(Macroscopic)情形下通谩一他孔隙介的流速，所以Darcy飞式是

巨觐公式，而非微翻)(micro-scopic)描述，iB是很重要的觐念。悬别於一般流速，Darcy

式的q(fluxdensity或flux)而非velocity。由於q具有方向性，在一般定羲方向

用正，:t虢示之：

+

A

<------------------------>

即流勤向右、向上的正虢，向左、向下悬负虢。

△H=Ho-Hj

△HHydraulicheaddifference

Ho:流出的totalpressurehead

Hi：流入的totalpressurehead

-61-

L=AX

AH

△X悬流lb距蹄的燮化。又耦悬Hydraulicheadgradient

悬考^流勤方向，逵西公式一般表示悬

q=.K组(22-7)

AL

K值的探制

移勤军位醴稹的水分，在孔隙介^,其重力项可表示悬

屋力项悬

5=£_A=P......................................................................................................(22-9)

VVX

因整力项随距雕而建,所以表示悬-亚

dX

又水分的移勤,必须克服颗粒封於流ft的摩擦阻力，根撼流it的定羲,shearforce

dq

T=|1—...............................................................................................................(22-10)

dy

N悬流醴的viscosity,所以

克服流醴彳爰的浮力悬pa(^似(22-8)),或表示悬

合上面(22-8)-(22-11)式得

-62-

dqdp52q

p..................................................................................(22-12)

dt=08一菽+N斤

又因啜引

dx+1|dy+..............................................................................(22-13)

dq_Aqdxdqdydq

dt6xdtSydtSt

dqOq5q

qxiI+qya?+aT..................................................................................(22-14)

假言殳qy=O,(22-14)式悬

dq四+即

q...............................................................................................(22-15)

dtdxat

(22-15)式代入(22-12)式得

(22-16)

因悬孔隙流q非常小，所以dq/dt-0,又因q是巨觐流，在II位面稹之q=constant,

所以dq/dx=0。因此(22-16)的左1M悬0,又因Totalpotoutial(perunitvolumn)p

P=P-pgx...........................................................................................................(22-17)

所以

dp*即

................................................................................................(22-18)

dx

粽合上面之推

dp*52q

......................................................................................................(22-19)

・63・

(22-19)式表明土壤(或孔隙介^)流是由屋力比降(totalpressuregradient)来克服阻力，

所以适是JW流(laminar)流泳孔隙流可能是Adsorptiveflow,也可能是Capillaryflow。

若都是在Adsorptiveflow,即假IS是土粒表面的明渠流(OpenChannelflow)

B.C.l.y=0,四•=()

dy

B.C.2.y=d,q=0

X

(22-19)q只封y方向而燮化，故偏微方式可以改悬微分式故可改悬p*也祗因X方向而

燮，

dp*d2q

二一后....................................(22-20)

=闻氯

dy(d“

Jd,=1%dq..............................................

......................................(22-21)

dx)Jdy

因叱不随y而建，故

dx

g=a+c......................................................................................(22-22)

dxdy

耨B.C.带入(22-22)式，知C=0,且

dp*dq

-E—y=|LI-..........................................................................................................(22-23)

dxdy

图ydy小q

-64-

'dp*

=|iq+C'(22-24)

2、dx

又知B.C.2故

(22-25)

(22-25)式代入(22-24)式得

q=蔷…).........................................................................................(22-26)

又平均q

(22-27)

若都是在capillaryflow

b)dp*

dy(22-29)

dx

-65-

妃+c(22-30)

知C，=0,故

(22-31)

其平均q悬

d12pi32|i2){}

因悬p*=pgh,故(22-27)可改嘉悬

(22-28)可改嘉悬

比敕(22-7速(22-33),(22-34)式知

K悬土壤孔隙的能量)IX熊,d悬孔隙半^(capillaryflow)或水深(adhesiveflow.

富土壤在近能和畴sandysoil有较大的d值，所以K值大於claysoil；但adhesiveflow、

clay表面有敕深的水流，所以K反较sandysoil悬大。

-66-

又温度影警K值，温度T,pi],Kfo

(22・35)是在不考^流^的情况下,也不考感别的作用(如Doublelayer),是曾化物

所以(22・35)式，在一定温度舆余屯度(或固定density)状况下可表示悬

d2(

K=f(path,2°layer,•••)——g......................................................................(22-36)

k(J

因悬d,k,path,2°layer都舆土壤的含水量0或舆土壤的力有,所以

K=f(0)...............................................................................................................(22-37)

或

K=f(Hp)............................................................................................................(22-38)

但是目前物理界仍辗法定量(22-37)或(22-38)的H保，只知水量;咸少、K值;成少。0~HP

函数典K~Hp函数的瓢法硅定使非能和孔隙流理^很多樊展仍很困辘。而path,2°layer

-67-

也非常不易测量，尤其孔隙内tortuositypath可能超出人自然物^的定量能力，只

有求得平均醇折(tortuosity),辗法迤入微觐。

逵西公式给孔隙介^流^了一道咒(很荻窄的咒),一百多年来,物理家一直敲那

P另,想敲出一黠束西，如Kozeny-Carman(1939)就假在每一粒子都相同!§稹，M1]

K=f3/ca2(1-f)2.......................................................................................(22-39)

a是粒子比表面稹，c是粒子形戕常数，f悬孔隙率。

另外Marshall又推出

22222

K=(f/8n2)Cn+3r2+5r3+...+(2n-l)rn)......................................(22-40)

n,r2,…r”表示逐渐减小的孔隙半

道些理想戕沈K值仍不相同。

1.均匀^地(homogeneous),即孔隙不具方向性(isotropic),如此水流才不具IB域

方向(anisotropy)。

2.不具entrapairbubble,如此曾■影辔K值。

3.流速不能太大，否同]非laminarflow,M1]Darcy*公式辗法使用。

4.常温。

在注重工程愿用B寺，可能曾不注意Darcy的那一道力，也言午有太多的限制是舆自然

不相符合的。

-68-

第23章

均一土盾的入渗理^

如果在一均匀的土壤，其土面有一定深度的淹水(ponding),在土壤剖面的水分分

布的概况如下13:即在淹水的地表面以下有一ISIS和盾(saturationzone),在沙土iS能

和JS可深逵黑公分，在黏土期较涩,因黏土的能合醇水保数较小，需较晨日寺^使之充分

能和，但水已因重力移勤至敕深的距蹄。

能和

WettingFront

能和JW下是一JW较深未能和的傅醇IW(transmissionzone)，此JW的含水量黑乎一致。

所以水分在此If的移勤黑乎是全$1重力水(gravityhead),在^除上是否真有能和唇

典傅醇眉的国别是值得慎疑的，尤其在均匀黏土眉，因悬有颗粒^的膨胀,以致收缩孔

ffi；黏土困粒的破壤，醇致结情上的不穗定；氯泡的阻塞小孔隙；地表的罪裂；熟浮性

粒子的阻塞；藻^的滋生等使的黑乎没有能和JS的存在。在沙土有敕明II的傅醇眉,因

悬孔隙分布敕集中，水分分布易呈均匀；在黏土If,因悬有较JS泛的孔^尺寸，水分不

易均匀,所以傅醇盾较涤。在傅醇眉下是润渥盾(wettingzone),在此水分急遽减少，

-69-

所以水分在漏典乾的介面是靠悭力水^(pressurehead)来推谨水分，沙土有非常^著

水分陡降，而且润漏JS很涣，所以润漏JW也有很高的含水量，所以乾漏之源

(wettingfront)有敕大的dHJdz,所以q大，因此沙土的入渗速率大；反之黏土润漏If

敕深，在漏润绛^是有敕小的dHp/dz,又有敕小的k,所以q小，因此黏土的入渗速率

大。

Z

如何描述入渗？有4^方法：(一度均匀土眉非稳定流)

(1)把土柱分唇,可以一璟一璟拆II,入渗彳爰若干t

日寺^彳奏，立刻拆除每一璟，取出土壤，测含水量。

卷破壤性

Q)tensiometer(水分力tf),洌JHp,非破壤性^^,

-70-

但只到-Ibar的靶圉,不遹於黏土^^

的瓜

⑶

测入渗量。，其符虢常示悬I

(Cumultiveinfiltration),表示累

聚入渗量。dl/dt=q,(Infiltrability)耦悬入渗率。

(4)即在上面的^^中测量此表在漏润绛^的距Itzf

I~t,舆q~t容易冽1。但是如何描述其曲保式，现在深It之：

Case1.水平入渗流(Green-Ampt理)

-71-

0i=initialsoilmicstursorsoilwatercontent初始土壤含水量

0。=能和土壤含水量

xo=入渗距蹄x=0

xf=润潟绛的距雕

I是0~x曲^下的面稹，因悬不知0-x的函数,所以面稹不易求得。Green-Ampt公式假

言殳*|篇是方形^^式O-Xf,她且有相同的面稹I,由此知此公式较遹用於描述沙土，而

黏土即不易符合Green-Ampt的假言殳。

由逵西公式知

q=-K—I-................................................(23-1)

dX

又HT=hp+hg..................................................(23-2)

因悬水平流所以Hg=0,故(23-2)式代(23-1)式得

dhn

q=-K—.................................................(23-3)

0X

由Green-Ampt的假IS知

1=(6o-Oi)Xf(23-4)

所以依入渗率，口的定羲知

-72-

dl_d(9-9,)x

or........................................(23-5)

dtdt

因悬0。舆。i悬定值。

dx

q=(。「。喘............................................(23-6)

又假言殳Xfjg的基力水^^hf,x。的蟹力水^h0,故

帆二%-h。

...............................................(23-7)

dxxf-0

颗23-6),(23-7)式代入(23-3)式得

hh

dxKf-o

f—IX-------...................................(23-8)

dtXf—0

此虞K悬能和K,因悬Green-Ampt的假^之故，悬一槿用能和流来近似非能和流，故

以Ko表示之。(23-8)可改嘉悬

-K(h-h)p

「XfdXfofodt

(『0)12

1_-K(h-h)

一X2r------o---f-----o-I

2(90-0,)

卜2K0(h,-h。)y

...................................(23-9)

\Oo-e.)

(23-9)代入(23-4)式

1=(。°一。区

-2Ko(hf-ho)t1/2

(0O-0J1

1/2

=7-2Ko(9o-9i)(hr-ho)t...............................(23-10)

注意(23-10)式中,I,Ko,e0,01,h0(xo)都可测,而hf是辗法测,因悬不知z港何虑,而

-73-

且hf是瞬^水流通遇而燮化，也备午用土壤温度燮化有一天可以测定，因悬水流通遇畤温

度下降，由温度~水量^^,不定可求hfo(23-10)可嘉悬

I=st1/2.....................................................(23-11)

s=7-2Ko(0o-0i)(hf-h0),Sorptivity(吸醇率),表示一彳固土壤全靠hp差来吸水

的速率，根撼Green-Ampt的假言殳s是定值(s=const),如匕s成悬一彳固土壤的重要特性。

(23-11)式可用^值以I,t"2jg牖求之，所得N的保数即悬s,需知s所代表的物理意

羲。

case2.垂直入渗流

因悬是垂直入渗流(Z荫)，虢，因悬向下流勤

HT=hp-hg=hp-z(23-12)

dHT_叫dz

dzdzdz

_叫

—1(23-13)

dz

-74-

...................................(23-14)

由Darey式知

故由(23-6)舆(23-14)式知

(『吟f-zf+hf-h0

Zf

Zf-%+h。

.......................................................(23-15)

zf

(23-15)式可以改嘉悬

..............................................(23-16)

(23-16)式之左端

dz

=12+3­。)「f

Zf一％+h。

=Zf+(hf-h0)「dln(z0-hf+h。)

=zf+(hf-hjlln(zf-hr+ho)-ln(0-hr+ho)

=zf+(ht.-ho)[ln(zf-hf+ho)-ln(-hf+ho)

Zf-5+h。

=Zf+(hf-ho)ln.............................(23-17)

h。一hf

救23/7)式代入(23-16)式得

-75-

八，、，一h.+hKt

z+(h-h)ln----[-----=2—(23-18)

ffnh。-10。-0,

所以

9-9

t=^_■L

K

9Q-9,Zf

zf+(hf-h0)ln1-(23-19)

K。h。一

7

由辗鳄等比级数常«(f-h),故丫=——

Zff0%一上

y2y3y4

ln(l-y)=-y---

34

故

z

n_nz1fY(Y

t=Zf+(hf-h。)+-4Zf

K。上一儿2h。一hf,31h0-htJ

>4

ifZf

+—(23-20)

41h0—h"

[2131z/

Qo-QjIZf1Zf

+•••

23

K。2ho-ht.3(ho-hf)4(ho-hf)

2

(仇一以诉,2zf2z..

1+------E—+......—7+•"(23-21)

2K0(hf-h0)3h0-hf4(h0-hf)

由(23-21)式知

1/221/2

一(“一e),2z2Zf

1+------1f-+-+・・・(23-22)

Zf2

2Ko(hf-ho)3h0-hr4(h0-hr)

式(23-22)改嘉悬

1/2)/2

2K0(h「h°)t1+二z2Zj

=Zf—f—++・・・(23-23)

3h-h4(h-h)2

(0o-0,)0f0f

令p(x)=a+bx+ex2+dx'+ex4

-76-

即辗患等比级数的1/2次方悬

2

(ebdc36c2