2024《试吧大考卷》二轮专题闯关导练数学【新高考】热点(四)　三角函数与三角恒等变换

2024《试吧大考卷》二轮专题闯关导练数学【新高考】热点(四)三角函数与三角恒等变换热点(四)三角函数与三角恒等变换1．(三角恒等变换)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝eq\f(3,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))等于()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)2．(三角恒等变换＋三角函数性质)函数f(x)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))是()A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为2π的奇函数3．(三角恒等变换＋三角函数性质)已知函数f(x)＝2sinωxcosωxcosφ＋(2cos2ωx－1)sinφ.ω≠0，φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝f(x)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2ω)))＋f(π)＝0，则φ＝()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)4．(三角函数图象与性质)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的部分图象如下图所示，将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是()A．函数g(x)为奇函数B．函数g(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)＋kπ，\f(π,12)＋kπ))(k∈Z)C．函数g(x)为偶函数D．函数g(x)的图象的对称轴为直线x＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)5．(多选题)[2020·山东济南模拟](三角函数图象性质)已知直线x＝eq\f(π,3)是函数f(x)＝2sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))<\f(π,2)))图象的一条对称轴，则()A．φ＝－eq\f(π,6)B．f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增C．f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度可得到y＝2sin2x的图象D．f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度可得到y＝2sin2x的图象6．(多选题)[2020·山东烟台、菏泽联考](三角函数图象与性质)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度后得到函数g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象，则下列说法正确的是()A．φ＝eq\f(π,3)B．函数f(x)的最小正周期为πC．函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))成中心对称D．函数f(x)的一个单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))7．(多选题)[2020·山东济南质量针对性检测](三角恒等变换＋三角函数图象与性质)将函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2x))－2cos2x的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是()A．函数g(x)的最小正周期为πB．函数g(x)的最小值为－1C．函数g(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,6)对称D．函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))上单调递减8．(多选题)[2020·山东淄博部分学校联考](三角函数图象与性质)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示，令g(x)＝f(x)＋f′(x)，则下列说法正确的是()A．若函数h(x)＝g(x)＋2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1－x2|的最小值为eq\f(π,2)B．函数g(x)的最大值为2C．函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y＝－3x＋1平行D．函数g(x)图象的对称轴方程为x＝kπ＋eq\f(11π,12)(k∈Z)9．[2020·山东青岛检测](三角恒等变换)若sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)(0≤θ≤π)，则tanθ＝________.10．[2020·山东名校联考](三角恒等变换＋对数函数性质)已知函数f(x)＝loga(x－1)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，若点A在角α的终边上，则cos2α－sin2α＝________.11．(三角函数图象与性质)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(π,2)，将f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)为偶函数，则φ的值为________，此时函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上的值域是________．12．(三角恒等变换＋三角函数图象与性质)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋2eq\r(3)sin2ωx－eq\r(3)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．热点(五)解三角形1．(正弦定理求角)在△ABC中，C＝60°，AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(2)，那么A等于()A．135°B．105°C．45°D．75°2．(正弦定理＋三角形面积公式)若圆的半径为4，a、b、c为圆的内接三角形的三边，若abc＝16eq\r(2)，则三角形的面积为()A．2eq\r(2)B．8eq\r(2)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)3．(余弦定理＋三角形面积公式)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是()A．3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D．3eq\r(3)4．(正弦定理＋余弦定理＋基本不等式)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB＋2sinAcosC＝0，则当cosB取最小值时，eq\f(c,a)＝()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\f(\r(3),3)5．(多选题)[2020·山东烟台线上模拟](余弦定理＋三角形面积公式)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－eq\f(\r(5),5)，则()A．sin∠CDB＝eq\f(3,10)B．△ABC的面积为8C．△ABC的周长为8＋4eq\r(5)D．△ABC为钝角三角形6．(正弦定理＋余弦定理)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，且sinC＝2eq\r(3)sinB，则角A的大小为________．7．(正弦定理的实际应用)如下图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.8．(余弦定理＋三角形面积公式)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2－2a(sinB＋eq\r(3)cosB)＋4＝0，b＝2eq\r(7)，则a＝________，△ABC的面积为________．9．[2020·山东济南模拟](正余弦定理＋三角函数性质)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，a>b.(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)若c＝10，求△ABC的周长的取值范围．10．[2020·山东青岛线上模拟](正余弦定理＋三角恒等变换＋等差数列)在①cos2B－eq\r(3)sinB＋2＝0，②2bcosC＝2a－c，③eq\f(b,a)＝eq\f(cosB＋1,\r(3)sinA)三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知△ABC的内角，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________，且a，b，c成等差数列，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．热点(六)平面向量1．[2020·山东淄博模拟](向量的垂直)设a，b是互相垂直的单位向量，且(λa＋b)⊥(a＋2b)，则实数λ的值是()A．2B．－2C．1D．－12．[2020·山东部分重点中学联考](向量的夹角)已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，a·(a－b)＝0，则向量a与b的夹角为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,6)3．[2020·山东名校联考](向量的夹角＋充分必要条件)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1，m)，则“m<eq\f(1,2)”是“〈a，b〉为钝角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(平面几何中的向量的数量积)在三角形ABC中，已知AB＝AC＝2，BC＝1，CD是AB边的中线，点E是CD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))的值为()A．－eq\f(7,8)B．－eq\f(5,8)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(9,8)5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EO,\s\up6(→))，则eq\o(ED,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))6．(平面向量的投影＋二次函数最值)在直角坐标系xOy中，已知三点A(a,1)，B(2，b)，C(3,4)，若向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))在向量eq\o(OC,\s\up6(→))方向上的投影相等，则a2＋b2的最小值为()A．2B．4C.eq\f(2,5)D.eq\f(4,25)7．[2020·山东青岛质量检测](平面向量的线性运算)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EA,\s\up6(→))，则()A.eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))B.eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))C.eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))D.eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))8．[2020·山东淄博模拟](向量的线性运算＋二次函数最值)如图，已知等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝4，AD＝BC＝eq\r(5)，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则eq\o(EP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最小值是()A．－eq\f(9,5)B．0C．－eq\f(4,5)D．19．(平面向量的数量积)已知向量|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(2n－m－1)eq\o(OB,\s\up6(→))，若eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，且eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，则实数eq\f(m,n)的值为()A.eq\f(8,7)B.eq\f(4,3)C.eq\f(6,5)D.eq\f(1,6)10．[2020·山东潍坊模拟](平面向量的线性运算＋基本不等式)在△ABC中，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，则2λ＋μ的最小值为()A.eq\f(8,3)B．3C.eq\f(10,3)D．411．(多选题)(向量共线＋向量的模＋向量的数量积)已知向量a＝(1，－2)，b＝(t,1)，若a＋b与3a－2b共线，则下列结论正确的是()A．t＝eq\f(1,2)B．|b|＝eq\f(\r(5),2)C．a·b＝－eq\f(5,2)D．a∥b12．(多选题)(平面向