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2024《试吧大考卷》二轮专题闯关导练数学【新高考】热点(四)三角函数与三角恒等变换热点(四)三角函数与三角恒等变换1.(三角恒等变换)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)-x))=eq\f(3,5),则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,6)))等于()A.-eq\f(4,5)B.-eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)2.(三角恒等变换+三角函数性质)函数f(x)=sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))-sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4)))是()A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为2π的奇函数3.(三角恒等变换+三角函数性质)已知函数f(x)=2sinωxcosωxcosφ+(2cos2ωx-1)sinφ.ω≠0,φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))).若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)-x))=f(x),feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2ω)))+f(π)=0,则φ=()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)4.(三角函数图象与性质)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的部分图象如下图所示,将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度,得到y=g(x)的图象,则下列说法正确的是()A.函数g(x)为奇函数B.函数g(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(5π,12)+kπ,\f(π,12)+kπ))(k∈Z)C.函数g(x)为偶函数D.函数g(x)的图象的对称轴为直线x=kπ+eq\f(π,6)(k∈Z)5.(多选题)[2020·山东济南模拟](三角函数图象性质)已知直线x=eq\f(π,3)是函数f(x)=2sin(2x+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))<\f(π,2)))图象的一条对称轴,则()A.φ=-eq\f(π,6)B.f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上单调递增C.f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度可得到y=2sin2x的图象D.f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度可得到y=2sin2x的图象6.(多选题)[2020·山东烟台、菏泽联考](三角函数图象与性质)将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度后得到函数g(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))的图象,则下列说法正确的是()A.φ=eq\f(π,3)B.函数f(x)的最小正周期为πC.函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),0))成中心对称D.函数f(x)的一个单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,12),\f(5π,12)))7.(多选题)[2020·山东济南质量针对性检测](三角恒等变换+三角函数图象与性质)将函数f(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)+2x))-2cos2x的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度,得到y=g(x)的图象,则下列说法正确的是()A.函数g(x)的最小正周期为πB.函数g(x)的最小值为-1C.函数g(x)的图象关于直线x=eq\f(π,6)对称D.函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3),π))上单调递减8.(多选题)[2020·山东淄博部分学校联考](三角函数图象与性质)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0,ω>0,|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f′(x),则下列说法正确的是()A.若函数h(x)=g(x)+2的两个不同零点分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为eq\f(π,2)B.函数g(x)的最大值为2C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线y=-3x+1平行D.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ+eq\f(11π,12)(k∈Z)9.[2020·山东青岛检测](三角恒等变换)若sinθ+cosθ=eq\f(1,5)(0≤θ≤π),则tanθ=________.10.[2020·山东名校联考](三角恒等变换+对数函数性质)已知函数f(x)=loga(x-1)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过点A,若点A在角α的终边上,则cos2α-sin2α=________.11.(三角函数图象与性质)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0,|φ|<\f(π,2)))图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(π,2),将f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度后,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为偶函数,则φ的值为________,此时函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,3)))上的值域是________.12.(三角恒等变换+三角函数图象与性质)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2eq\r(3)sin2ωx-eq\r(3)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.热点(五)解三角形1.(正弦定理求角)在△ABC中,C=60°,AB=eq\r(3),BC=eq\r(2),那么A等于()A.135°B.105°C.45°D.75°2.(正弦定理+三角形面积公式)若圆的半径为4,a、b、c为圆的内接三角形的三边,若abc=16eq\r(2),则三角形的面积为()A.2eq\r(2)B.8eq\r(2)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)3.(余弦定理+三角形面积公式)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=eq\f(π,3),则△ABC的面积是()A.3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D.3eq\r(3)4.(正弦定理+余弦定理+基本不等式)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinB+2sinAcosC=0,则当cosB取最小值时,eq\f(c,a)=()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.eq\f(\r(3),3)5.(多选题)[2020·山东烟台线上模拟](余弦定理+三角形面积公式)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-eq\f(\r(5),5),则()A.sin∠CDB=eq\f(3,10)B.△ABC的面积为8C.△ABC的周长为8+4eq\r(5)D.△ABC为钝角三角形6.(正弦定理+余弦定理)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=eq\r(3)bc,且sinC=2eq\r(3)sinB,则角A的大小为________.7.(正弦定理的实际应用)如下图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=________m.8.(余弦定理+三角形面积公式)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2-2a(sinB+eq\r(3)cosB)+4=0,b=2eq\r(7),则a=________,△ABC的面积为________.9.[2020·山东济南模拟](正余弦定理+三角函数性质)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,a>b.(1)求证:△ABC是直角三角形;(2)若c=10,求△ABC的周长的取值范围.10.[2020·山东青岛线上模拟](正余弦定理+三角恒等变换+等差数列)在①cos2B-eq\r(3)sinB+2=0,②2bcosC=2a-c,③eq\f(b,a)=eq\f(cosB+1,\r(3)sinA)三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.已知△ABC的内角,A,B,C所对的边分别是a,b,c,若________,且a,b,c成等差数列,则△ABC是否为等边三角形?若是,写出证明;若不是,说明理由.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.热点(六)平面向量1.[2020·山东淄博模拟](向量的垂直)设a,b是互相垂直的单位向量,且(λa+b)⊥(a+2b),则实数λ的值是()A.2B.-2C.1D.-12.[2020·山东部分重点中学联考](向量的夹角)已知|a|=1,|b|=eq\r(2),a·(a-b)=0,则向量a与b的夹角为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,6)3.[2020·山东名校联考](向量的夹角+充分必要条件)已知向量a=(-1,2),b=(1,m),则“m<eq\f(1,2)”是“〈a,b〉为钝角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(平面几何中的向量的数量积)在三角形ABC中,已知AB=AC=2,BC=1,CD是AB边的中线,点E是CD的中点,则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))的值为()A.-eq\f(7,8)B.-eq\f(5,8)C.-eq\f(1,2)D.-eq\f(9,8)5.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且eq\o(AE,\s\up6(→))=2eq\o(EO,\s\up6(→)),则eq\o(ED,\s\up6(→))=()A.eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))6.(平面向量的投影+二次函数最值)在直角坐标系xOy中,已知三点A(a,1),B(2,b),C(3,4),若向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))在向量eq\o(OC,\s\up6(→))方向上的投影相等,则a2+b2的最小值为()A.2B.4C.eq\f(2,5)D.eq\f(4,25)7.[2020·山东青岛质量检测](平面向量的线性运算)在△ABC中,eq\o(AD,\s\up6(→))=2eq\o(DB,\s\up6(→)),eq\o(CE,\s\up6(→))=2eq\o(EA,\s\up6(→)),则()A.eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))-eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))B.eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))C.eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))-eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))D.eq\o(DE,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))8.[2020·山东淄博模拟](向量的线性运算+二次函数最值)如图,已知等腰梯形ABCD中,AB=2DC=4,AD=BC=eq\r(5),E是DC的中点,P是线段BC上的动点,则eq\o(EP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最小值是()A.-eq\f(9,5)B.0C.-eq\f(4,5)D.19.(平面向量的数量积)已知向量|eq\o(OA,\s\up6(→))|=3,|eq\o(OB,\s\up6(→))|=2,eq\o(BC,\s\up6(→))=(m-n)eq\o(OA,\s\up6(→))+(2n-m-1)eq\o(OB,\s\up6(→)),若eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为60°,且eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)),则实数eq\f(m,n)的值为()A.eq\f(8,7)B.eq\f(4,3)C.eq\f(6,5)D.eq\f(1,6)10.[2020·山东潍坊模拟](平面向量的线性运算+基本不等式)在△ABC中,点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))=2eq\o(PC,\s\up6(→)),过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N,若eq\o(AM,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AN,\s\up6(→))=μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ>0,μ>0),则2λ+μ的最小值为()A.eq\f(8,3)B.3C.eq\f(10,3)D.411.(多选题)(向量共线+向量的模+向量的数量积)已知向量a=(1,-2),b=(t,1),若a+b与3a-2b共线,则下列结论正确的是()A.t=eq\f(1,2)B.|b|=eq\f(\r(5),2)C.a·b=-eq\f(5,2)D.a∥b12.(多选题)(平面向
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