同济大学第五版高等数学下课件D84复合求导

同济大学第五版高等数学下课件D84复合求导目录复合函数的定义与性质复合函数的求导法则复合函数的应用习题与解析复合函数的定义与性质01复合函数是由两个或多个函数通过复合关系组成的函数。复合函数通常表示为$f(g(x))$，其中$f$和$g$是两个函数，$g(x)$是内层函数，$f(u)$是外层函数，$u$是中间变量。内层函数$g(x)$的输出作为外层函数$f(u)$的输入。总结词详细描述复合函数的定义复合函数的性质总结词复合函数具有一些重要的性质，如链式法则、指数法则等。详细描述链式法则是复合函数求导的重要法则，表示为$frac{d}{dx}f(g(x))=f'(u)cdotg'(x)$，其中$f'(u)$表示对中间变量$u$求导，$g'(x)$表示对内层函数$g(x)$求导。指数法则涉及到复合函数的指数运算，如$(uv)'=u'v+uv'$。复合函数的导数可以通过链式法则进行计算。总结词根据链式法则，如果已知内层函数$g(x)$和外层函数$f(u)$的导数，则复合函数$f(g(x))$的导数为$f'(g(x))cdotg'(x)$。具体地，首先对内层函数求导得到$g'(x)$，然后将其代入外层函数得到中间变量$u=g(x)$的导数$f'(u)$，最后将两者相乘即可得到复合函数的导数。详细描述复合函数的导数复合函数的求导法则02总结词链式法则是复合函数求导的核心，它描述了复合函数中内层函数对中间变量的导数与外层函数对中间变量的导数之间的关系。详细描述链式法则指出，如果一个复合函数由两个函数组成，内层函数对某个变量求导，外层函数对同一变量也求导，则这两个导数相乘就是复合函数对该变量的导数。链式法则是通过将内层函数的导数“传递”给外层函数来实现的。链式法则总结词乘积法则是用来求两个函数的乘积的导数的规则。详细描述乘积法则指出，如果两个函数相乘，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第二个函数的导数乘以第一个函数。这个法则可以推广到多个函数的乘积的情况。乘积法则商式法则商式法则是用来求两个函数的商的导数的规则。总结词商式法则指出，如果两个函数相除，则它们的商的导数等于被除函数的导数除以除函数的导数乘以被除函数。这个法则可以用于任何非零的除数，但需要注意分母不能为零。详细描述VS反函数求导法则是用来求反函数的导数的规则。详细描述反函数求导法则指出，如果一个函数与其反函数都存在导数，则它们的导数互为逆运算。这个法则可以用于求解一些复杂的微分问题，特别是与隐函数相关的问题。总结词反函数求导法则复合函数的应用03总结词通过求导判断函数的单调性，是研究函数的重要方法之一。复合函数的导数可以用来研究复合函数的单调性。要点一要点二详细描述利用复合函数的导数，我们可以判断函数的增减性。如果导数大于0，函数在该区间内单调增加；如果导数小于0，函数在该区间内单调减少。因此，通过求复合函数的导数，我们可以研究复合函数的单调性。利用复合函数求导研究函数的单调性极值是函数在某点附近取得的最大或最小值。通过求导数并令其为零，我们可以找到函数的极值点。对于复合函数，我们同样可以利用求导数的方法来研究其极值。当一元函数在某点的导数为零时，该点可能是函数的极值点。对于复合函数，我们可以通过求导数并令其为零来找到可能的极值点。然后，通过判断二阶导数的符号，我们可以确定这些点是否为极值点。如果二阶导数大于零，该点为极小值点；如果二阶导数小于零，该点为极大值点。总结词详细描述利用复合函数求导研究函数的极值总结词曲线的凹凸性是指曲线在某段区间内是向上凸起还是向下凹下。通过求函数的二阶导数，我们可以判断曲线的凹凸性。对于复合函数，我们也可以利用求导数的方法来研究其凹凸性。详细描述曲线的凹凸性可以通过函数的二阶导数来判断。如果函数的二阶导数大于零，曲线在相应区间内向上凸起；如果二阶导数小于零，曲线在相应区间内向下凹下。对于复合函数，我们可以通过求二阶导数来研究其凹凸性。利用复合函数求导研究曲线的凹凸性习题与解析04题目1求函数$f(x,y)=x^2+y^2$在点$(1,2)$处关于$x$的偏导数。题目2求函数$f(x,y)=sin(x+y)$在点$(1,2)$处关于$y$的偏导数。题目3求函数$f(x,y)=x^2cdotsiny$在点$(1,2)$处关于$x$的偏导数。基础习题01求函数$f(x,y)=x^2+y^2$在点$(1,2)$处关于$x$的全导数。题目402求函数$f(x,y)=sin(x+y)$在点$(1,2)$处关于$y$的全导数。题目503求函数$f(x,y)=x^2cdotsiny$在点$(1,2)$处关于$x$的全导数。题目6进阶习题题目7求函数$f(x,y)=x^2+y^2$在点$(1,2)$处的全导数，并验证全导数的几何意义。题目8求函数$f(x,y)=sin(