人教版数学六年级上册全册各单元教材解读教材解析

《分数乘法》教材解析

一、教材介绍

本单元教材是在学生掌握了整数乘法、分数意义和性质以及分数加减法的计算等知识的

基础上进行编排的。利用分数乘法的计算，不仅可以解决有关的实际问题，也是后面学习分

数除法和百分数的重要基础。本单元的内容包括分数乘法以及利用分数乘法解决实际问题，

具体地说，教学内容主要有以下几方面：分数乘法的意义、分数乘法的计算方法、分数四则

混合运算、问题解决。

二、课标解读

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出了“掌

握必要的运算技能”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出“能

分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，

不超过三步）”“能解决小教、分数和百分数的简单实际问题”“经历与他人交流各自算法

的过程，并能表达自己的想法”的要求。

分数乘法是在学习了整数乘法、分数的意义和性质的基础上进行教学的，同时又是学习

分数除法和百分数的重要基础。《义务教育数学课程标准（2011版）》提出：“掌握必要

的运算技能”“能解决小数、分数和百分数的简单实际问题”。通过学习，学生将所学知

识应用于解决实际问题，充分体现了“从生活中来，到生活中去”的课堂教学理念。

三、教学目标及重难点

1.使学生理解分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展；理解和掌握分数乘法的计算方

法，会计算分数乘整数、分数、小数；能运用乘法运算定律进行一些简便计算。

2.使学生经历分数乘法计算方法的探索过程，经历应用分数乘法解决简单实际问题的

过程，进一步培养分析、比较、抽象、概括、归纳、类推的能力，发展初步的合情推理和演

绎推理的能力。

3.使学生感受知识之间的内在联系，提高自主探索与合作交流学习的能力，建立学好

数学的信心。

本单元的教学重点是理解分数乘法的意义；理解与掌握分数乘法的计算方法：应用分数

乘法解决简单的实际问题。教学难点是理解分数乘分数的算理以及用分数乘法解决“求比一

个数多（或少）几分之几的数是多少”的实际问题。

四、具体内容

例1»

直接利用整数乘法的意义来引入分数乘法，使学生理解几个相同分数相加和几个相同整

数相加都可以用乘法计算。并通过将分数乘法转化为分数加法来探究分数乘法的算理，掌握

计算方法。

从吃蛋糕的实际问题引入，借助圆形直观图帮助学生理解题意，探究计算方法。这一直

观图延续了三年级学习简单的分数加法时所用的直观图，有助于学生利用已学的知识自主探

索。此例中的分数带单位，是一个“量”，学生对于求几个相同量之和的数量关系非常熟悉。

先呈现加法计算，然后直接根据整数乘法的意义列出两个乘法算式，说明在这种情况下整数

乘法的意义同样适用。

计算时，先将分数乘法转化为几个相同分数相加，使学生明白分母不变、分子相乘的道

理。在此基础上总结分数乘整数的计算方法，并指出有时可以先约分再相乘的简便算法。

例2。

让学生利用已学的整数乘法的数量关系进行类推，列出分数乘法算式，结合具体情境，

使学生理解''一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几”。这是“求一个数的几分之

几可以用这个数乘几分之几”的列式依据。

22

教材呈现了三幅图，都是已知1桶水的体积，分别要求3桶水、5桶水、,桶水的体

积。在这里，列式所依据的数量关系都是“每桶水的体积X桶数=水的体积”，只是桶数可

221

以由整数扩展到分数。接下来，结合情境，说明求2桶水、4桶水的体积就是求12L的5

1

和12L的W分别是多少。在此基础上，概括出“一个数乘几分之几，可以表示这个数的几

分之几是多少”。

例3。

本例是在学生会利用“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”列式之后，学习分数

乘分数的计算方法。

教材利用两个小题，由简单到复杂，结合直观操作，使学生在探索和理解分数乘分数算

理的基础上，一步一步总结出分数乘分数的计算方法，渗透数形结合的数学思想，培养学生

的逻辑推理能力。

要理解分数乘分数的算理，其根本在于分数意义的理解。在这里，有些分数是带单位的

“量”，有些分数是不带单位的“率”，事实上，“量”与“率”也是可以互相转化的。例

22211_1_

如，2公顷，实际上就是1公顷的2；2公顷的己，就是1公顷的10,即10公顷。

例40

本例是学习分数乘法的简便方法。学生在前面对于分数乘法的意义和算理有了深刻的理

解后，教学重点转入寻求便捷的算法。

在设计情境时，教材特意把两个小题设计成需要运用分数乘法意义的两种不同形式进行

列式的情形，旨在进一步巩固分数乘法的意义。其中，第（1）小题是“求一个数的几分之

几”，第（2）小题既可以根据“速度X时间=路程”列式，也可以根据“几个相同分数相加”

列式。

在数据处理上，本例中既包含分数与分数相乘，又包含分数与整数相乘。学生可以通过

此例，进一步掌握分数乘法的一般性算法。

例5o

本例是教学分数与小数相乘的计算问题。分、小数混合运算是在日常生活中以及未来的

数学与其他学科的学习中经常会遇到的情形，因此，根据分、小数的数据特点灵活选择计算

策略，也是学生应该具备的一项技能。为此，教材在修订时增加了这部分内容。

分数和小数相乘，可把分数化成小数相乘（如果分数可以化成有限小数），也可把小数

化成分数相乘。不管哪种方法，都是学生已学的知识，可以让学生自行解决。而当小数与分

数的分母存在某种倍数关系时，可以直接“约分”。这种约分虽然与以前学过的约分形式不

同，但实质都是除以一个相同的数。

例6。

从“做一个长方形画框需要多长的木条”的实际问题引入，利用长方形画框的周长计算

引出分数混合运算。鼓励学生用不同的方法（除了教材上的两种方法，还有可能用四条边相

加的）计算，很自然地呈现各种形式的算式，有两级运算的，有带小括号的。教材直接说明

分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序相同，让学生自主解决。

教材特意用两道有关联的算式教学分数混合运算的顺序，为接下来正式教学把整数乘法

运算定律推广到分数乘法作了很好的铺垫。在此基础上，再通过观察、计算，归纳得出“整

数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用”的结论。

例7„

教材结合具体计算，说明应用乘法运算定律可以使分数混合运算更加简便。

例8»

本例是让学生在会解决求一个数的几分之几是多少的基础上，解决连续求一个数的几分

之几是多少的实际问题。在这里，由于研究的是三个量之间的关系，在描述其中某两个量的

数量关系时，单位“1”是在动态变化的。

教材按“阅读与理解”“分析与解答"和"回顾与反思”呈现解决问题的一般步骤。到

了高年级，随着问题复杂度提高，对于信息的搜集、题意的理解以及整个问题解答过程以及

结果合理性的回顾与讨论，显得越来越重要。

在“分析与解答"环节，一方面，通过折纸或画图等操作活动，借助直观图形帮助学生

理解题中的数量关系，体会画图是分析问题、解决问题的重要策略。另一方面，倡导解决问

题方法的多样化。既可以先求出萝卜地的面积，再求出红萝卜地的面积；也可以先求出红萝

卜地占大棚面积的几分之几，再求出红萝卜地的面积。不同解题思路的呈现，可以提高学生

思维的灵活性和发散性。

“回顾与反思”让学生自己完成。检验的角度很多，比如，看看直观图画得是否符合题

意，看看列式是否符合图意，看看计算是否正确。检脸的方法也是多样化的。例如，可以看

到萝卜地的面积是红萝卜地的4倍，而大棚面积是萝卜地的2倍。用红萝卜地的60m2乘4,

得到萝卜地是240m2,再乘2,是480m2,与题中的信息相符。也可以看看红萝卜地的面

1

积是否占整块萝卜地的4。

例9»

本例是让学生解决求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题。虽然还是研究两

个量间的关系，但由于没有直接给出“一个量是另一个量的几分之几”，需要先求出一个量

比另一个量多（或少）的具体数量或者先求出一个量是另一个量的几分之几。

4

教材通过线段图直观地表示出“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多5”的意思，对于

学生理解题意、选择解决方法起到了关键性的作用。

教材体现了多样化的解题策略。可以先计算婴儿每分钟心跳比青少年多多少次，这就需

4

要先解决“75次的5是多少次”的问题。还可以先求出婴儿每分钟心跳次数是青少年的几

4

分之几，这就需要先解决“比一个数多5的数是这个数的几分之几”的问题。

“回顾与反思”部分，使学生通过回顾解题的过程，充分认识到画线段图这一策略对于

解决问题的重要作用。同时，列举了一种检验结果的方法，引导学生用不同的方法加以检验。

五、教学建议

（-）利用熟悉的生活情境，使学生在已有知识经验的基础上，掌握新的运算技能

1.教材强调通过对算理的充分理解得出算法。利用“分蛋糕”“桶装水容积计算”

“土地中农作物的种植面积计算”等生活中的情景，借助“几何直观”，沟通分数乘法意义

与整数乘法意义的联系，实现由整数乘法意义向分数乘法意义的正迁移，促进学生形成对分

数乘法意义的有效理解，再引导学生自主归纳出分数乘法的计算方法。

2.结合尝试计算、探索验证、比较优化、合作交流等活动，引导学生经历自主构建

新知的完整过程。在教学内容方面，体现为在观察、操作的基础上开展探索、讨论与交流，

理解计算算理，归纳计算法则，分析数量关系，寻找解决问题的思路，充分体现学生学习的

主体地位。

（二）通过丰富多样的练习，使学生进一步理解新知，培养优化意识，提高运算能力

1.注重在练习中对学生进行算法优化意识的渗透和培养。利用分数计算中“能先约

分的可以先约分，再计算”、分数乘法简便计算等内容的教学，培养和训练学生灵活合理地

选择计算方法的能力，以切实提高运算能力。

2.习题的编排注重与实际生活的联系，选用丰富的素材拓展学生的课外知识。既激

发了学生的兴趣，又对良好思想品质的形成起到了积极影响。

（三）通过解决问题的教学，培养学生的分析推理能力，丰富解题策略，感受数学在

生活中的广泛应用，体会学习数学的价值

1.强化对解决问题的方法指导。通过“阅读与理解”“分析与解答”“回顾与反思”

的教学环节，既培养学生收集处理数学信息、提出问题分析问题的能力，又对数学思考方法

进行有步骤的渗透，对于培养学生数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

2.进行解决问题方法的多样化教学。利用图形、线段图等方式帮助学生更好地理解

数量关系，并强调了对结果进行检验的重要性。

3.借助丰富的习题素材，使学生感受数学在生活中的广泛运用，体会学习数学的价

值。在解决问题的过程中获得成功的体验。

从教材的整体编排看，《分数乘法》这一单元是本册教材的教学重点之一。在课程

实施中，应始终注重激活学生已有的知识和经验基础，利用知识的迁移、比较和推理，引导

学生自主探索并建构新知。对于学生“运算能力”的培养是《义务教育数学课程标准（2011

版）》中提出的重要任务，结合本单元的教学，引导学生通过对算理的理解熟练掌握算法，

并在实际应用中加以巩固和深化。

《位置与方向（二）》教材解析

一、教材介绍

位置与方向的知识在日常生活以及航海、军事等领域都有着广泛的应用，学生在生活中

也已经积累了一些确定位置的感性经验。通过之前的学习，学生已经能够使用上、下、前、

后、左、右和东、南、西、北、东北、东南、西北、西南等方位名词描述物体的大致位置，

能够利用数对精确地表示平面内一个点或一个区域的位置。本单元在此基础上，让学生学会

利用方向与距离这两个参数确定平面上一个点的位置。

通过本单元的学习，教师可以给学生初步渗透关于坐标法的思想和方法。在平面坐标系

中，用两个坐标参数可以确定二维平面上的一个点，例如点（々，必）是由直线*和

丁=乃相交得到的：在极坐标系中，点（0,e）是由极径为0的圆和极角为夕的射线相交

得到的。同样地，用三个坐标参数可以确定三维空间中的一个点。通过坐标系，把点与坐标

（有序实数对）建立—对应的关系，把曲线与方程联系起来，就可以用代数的方法研究并

解决几何问题，实现数与形的结合。学生之前所学的用表示列、行的数对确定平面上的位置

是平面直角坐标系的雏形，而用方向和距离来确定平面上的位置则是极坐标系的雏形。这些

内容的学习，有助于发展学生的空间观念，为学生将来进一步学习平面直角坐标系、极坐标

系、空间坐标系打下良好的基础。

二、课标解读

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“前言”的“课程设计思路”中提出“空

间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想

象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形

等”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“总目标”中提出“经历图形的抽象、分

类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能”。

学生通过第一学段的学习，已经能够使用上、下、左、右、前、后和东、南、西、北等

方位名词描述物体的相对位置，而且已经会用数对确定物体的位置，明确在平面内可以通过

两个条件确定物体的位置。本单元学习的是根据方向和距离两个条件确定物体的位置，并描

述简单的路线图。在教学时要充分关注学生已有的知识基础和生活经验，创设丰富的活动情

境，提供多种探究途径，让学生进一步从方位的角度认识事物，全面地感知和体验周围的事

物，发展空间观念。

三、教学目标及重难点

1.使学生会根据平面上一个点的位置说出它相对于观测点的方向和距离；会根据一个

点相对于观测点的方向和距离确定这个点的具体位置；会描述简单的路线图。

2.通过让学生想象出物体的方位和相互之间的位置关系，培养空间观念。

3.使学生通过用方向和距离来表示平面上的位置，初步感受坐标法的思想。

4.使学生通过生活实例学习位置与方向的知识，感受数学与生活的紧密联系，学会在

生活中应用数学。

四、具体内容

1.例1。

教材以电视播报台风警报作为情境引入，具有很强的生活气息，使学生充分感受生活和

数学的紧密联系。

教材直接给出标出台风中心和A市的方位图，让学生利用图示理解台风中心“位于A

市东偏南30°方向、距离A市600km”所表示的含义。

确定一个位置，需要方向和距离两个条件，教材先通过小精灵提问的方式，让学生思考

东偏南30°表示什么意思，这也是本例的重点。使学生看到东偏南30°表示的是一条射线

上的所有点，如果只有这一条件，还无法判断台风中心的确切位置，由此引出距离。“东

偏南30°”与“南偏东60°”含义完全相同，只是生活中更习惯于选择小于45°的角度来

描述。图示中用一条线段表示100km,由于学生还没学习比例尺，只要能说出这样的6条

线段表示600km就可以了，不必涉及比例尺。

最后小精灵问“台风大约多少小时后到达A市”，主要目的是为了在解决实际问题的过

程中，与例2进行很自然的情境连接。

2.例2。

本例在学生通过例1了解了方向与距离的含义之后，让学生根据给出的某个点相对于参

照点的方向和距离，在方位图上找到该点的位置。延续了例1的情境，情节连贯，随着现实

情境的发展，自然地引出数学问题。

教材给出了两类定位的情形，一类是非正东、正南、正北、正西的，一方面需要确定角

度，另一方面需要确定距离；另一类的正东、正南、正北、正西的，只需要确定距离即可。

教材采取小组合作的方式，提示学生应该如何根据方向和距离确定位置。先确定方向再

确定距离和先确定距离再确定方向这两种方法都可以用，但学生通过尝试，一般会主动选择

先确定方向，然后在该方向所在射线上根据相应的距离找到该位置。

3.例3o

教材呈现了台风从生成地出发、经过四次方向改变的大致路径，让学生用数学的语言来

描述简单的路线图。路线图中包括了例1和例2中台风的移动路线，体现了情境的整体性和

知识的综合性。

路线图描述的不仅仅是两个点的静态关系，而是物体在多个点之间的运动关系。除了整

条路线的起点和终点之外，其他点都既是某一段路线的终点，也是下一段路线的起点。教材

通过学生对话的方式，给出了分段描述的示范，使学生明白方向与距离的描述是具有相对性

的，并掌握在描述每一段路线时要注意的几个关键点：起点在哪儿？终点在哪儿？沿着什么

方向？移动了多少距离？

五、教学建议

（-）让学生在实践活动中掌握用方向和距离确定物体位置的方法，学会描述简单的

路线图，培养学生的自主探究意识和动手操作能力，发展学生的空间观念

1.制造认知冲突，激发探究意识。利用教材呈现“台风来袭”的现实情境，巧妙设计

问题情境，提出“能够确定台风中心的具体位置吗？"，从而回顾旧知，引出认知冲突，并

为新课的学习提供了生长点。

2.设计丰富的、便于操作的实践活动，让学生通过实际操作和体验，经历知识的形成

过程，获得基本的数学活动经验。在探索新知阶段，放手让学生通过自主探索，动手实践寻

找描述台风中心的位置的方法，再利用课件动态演示逐步突破新知学习难点：由（）偏（）

T（）偏（）（）度->（）偏（）（）度（）距离，层层深入，体验新知的

形成过程。

3.借助观察比较，沟通内在联系。在教学教材例1后的“做一做”时，可先让学生描

述小明家周围建筑物的位置，再比较游泳馆与邮局位置之间的区别与联系，并进一步延伸拓

展，让学生思考像这样所有同方位或等距离的物体在平面图上会呈现怎样的图形，更直观感

悟用方向与距离确定物体位置的科学性和唯一性，发展学生的空间观念。

4.巧设情境体验，突破学习难点。教材练习五第4题中呈现两名学生以不同的地点为

为观测点判断方向的情境，教学时教师可巧妙借助情境，让学生在情境体验中感悟参照物不

同，方向也就不同，进一步体会位置关系的相对性的具体关系：方向相对，角度相同，距离

相等。

（二）让学生在解决生活实际问题中感悟确定位置的现实意义，提升综合应用知识的

能力

1.素材选取贴近生活。本册教材中将原实脸教材例题中“定向运动”改为“台风过境”

的生活情境，用更贴近实际生活的素材引出如何根据方向和距离确定位置的知识，让学生知

道确定位置在生活中的应用，体会数学与日常生活的密切联系。

2.联系实际综合应用。“位置与方向”与现实生活密不可分，教学时要充分联系生活，

设计有价值的问题情境，让学生在解决实际问题的过程中培养应用意识，提升综合应用能力。

例如，让学生以自己所在教室为观测点描述家的方位，描述自己从学校到家来回的路线等，

让学生将所学知识融于生活，应用于生活。

“想象出物体的方位和相互之间的位置关系：描述图形的运动和变化”是课标描述空间

观念的两个重要表征。因此，在课程教学中，教师要重视位置与方向这部分内容的教学实施，

关注现实情境与学生经脸，利用回忆与再现、观察与描述、分析与推理等多种途径，在思考、

想象中发展学生的空间观念。

《分数除法》教材解析

一、教材介绍

本单元是在学生已经掌握了分数乘法的意义、分数乘法计算及其应用以及整数除法的意

义、解方程等知识的基础上学习分数除法。通过本单元的学习，学生一方面完成了分数加、

减、乘、除的学习任务，比较系统地掌握了分数的四则计算，掌握了解决相关实际问题的方

法；另一方面也进一步加深了对乘除法关系的理解，体会知识的内在联系，为解决有关分数

的实际问题提供更多的支持；同时也为后面学习比和比例、百分数等知识打下坚实的基础。

本单元的内容主要包括：倒数的认识、分数除法的意义与计算以及解决相关的实际问题。

二、课标解读

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出了“掌

握必要的运算技能”“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加

以解决"''能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性”“在运用数学知识和方法解决

问题的过程中，认识数学的价值”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出“能

分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，

不超过三步）”“能解决小数、分数和百分数的简单实际问题”。

“分数除法”是培养学生运算能力，并寻求合理简洁的运算途径解决问题的重要内容。

本单元学生在已经掌握分数乘法的基础上，学习分数除法。主要包含倒数的认识、分数除法

计算方法的理解和掌握、用分数除法的知识解决相关的实际问题几方面的内容。在课程实施

中，要重视概念的教学、算法的探索和数学思想方法的渗透，提高学生分析和解决问题的能

力，了解数学的价值，增强学好数学的信心。

三、教学目标及重难点

1.使学生理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。

2.使学生体会分数除法的意义，理解并掌握分数除法的计算方法，会进行分数除法计

算。

3.使学生会解决一些和分数除法相关的实际问题。

4.使学生体会数学与生活的密切联系，体会并掌握模型、方程、数形结合等数学思想。

本单元的教学重点是：体会分数除法的意义；理解并掌握分数除法的计算方法；会解决

一些和分数除法相关的实际问题。教学难点是：探索与理解分数除法的意义及计算方法；用

分数除法解决问题。

四、具体内容

（-）倒数的认识

例1:倒数的认识

教材首先安排了几组有代表性的乘积为1的乘法算式，使学生通过计算、观察、讨

论等活动，寻找归纳它们的共同特点，导出倒数的定义。并用实例突出理解“互为倒数”的

含义。然后引导学生思考互为倒数的两个数有什么特点？为例1的学习做好铺垫。

例1教学求倒数的方法。教材首先安排找倒数的活动，初步体脸找倒数的方法。接

着总结找倒数的方法。具体分三种情况加以讨论：求分数的倒数；求整数的倒数；1和。的

4

倒数的问题。练习六第5题通过学生对话讨论形式判断“3的倒数是0.75”的合理性问题，

进一步揭示互为倒数的本质：只要两个数的乘积是1,那么这两个数就互为倒数，与这两个

数是整数、分数、小数无关。

（二）分数除法

例1:分数除以整数

教材以折纸活动为载体，利用数形结合的方法帮助学生直观理解分数除以整数的算

理。教材分两个层次编排：先解决分数的分子能被整数整除的情况；再引出分子不能被整数

整除的情况。第一个问题是分子能被整数整除的情况，有两种思考方法：一是利用整数除法

4

的意义，将分数除法转化为整数除法理解并计算；二是利用分数的意义，将问题转化为求5

2

的5来理解计算。在此基础上提出第二个问题，凸显方法一的局限性与方法二的一般适用

性。教材这样编排的意图，一是让学生在折一折、涂一涂的过程中逐步发现体悟分数除法的

计算方法；二是引导学生经历从特殊到一般的探索过程，从中领悟把一个数平均分成几份，

求其中的一份，就是求一个数的几分之一是多少，同时渗透转化的数学思想。在此基础上，

教材提出问题：“根据上面的折纸实验和算式，你能发现什么规律？”旨在启发学生通过思

考总结出一般的计算方法。

例2：一个数除以分数

本例研究一个数除以分数的计算，包括整数除以分数和分数除以分数两种情况。根

据教材提供的情境，显然“路程+时间=速度”这一数量关系成为列式的依据。由于学生对

这一数量关系比较熟悉，所以列出分数除法算式不会感到困难，这有利于把教学重点集中于

计算方法的探索与理解。

2+2

理解3的算理是本例的重点。教材采用画线段图的直观方式呈现推算的思路：

112

由于1小时里有3个5小时，所以可以先求出3小时走了多少千米，即先求出3小时走的

-2x1x3

2km的一半（即2）。有了直观图的支持，降低了学生对2中每一部分含义的理解

难度，顺利完成从“除以一个分数”到“乘以这个分数的倒数”的转化。

55

—+,,

有了整数除以分数的算理的铺垫，教材在教学612时，没有呈现线段图，而是

通过提问“为什么写成5”，引导学生通过迁移类推，自行阐述算理。

最后教材以提问的方式，引导学生总结分数除法的一般算法，并启发学生用自己的

方式表示这一算法。

例3：分数混合运算

分数混合运算的顺序问题已在“分数乘法”单元解决了，学生在此学习分数混合运

算，既是分数四则运算的综合应用，也为后面学习利用分数四则运算解决实际问题打下基础。

教材提供了两种不同的解决方法，体现了不同的分析思路。先分步列式，再列综合算式解答。

对于不带括号的分数乘除法混合运算，既可以从左至右按步骤计算，也可以直接转化为分数

连乘后同时约分计算。

例4：“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题

本例中所要解决的问题是分数乘法中“求一个数的几分之几是多少”的逆向问题。

这类问题如果用算术方法解，较难理解，学生往往难以判断哪个量是单位“1”，数量关系

4

也较复杂。因此，教材依据“儿童体内的水分约占体重的5”，根据分数乘法的意义，利

用已有知识画线段图，找到等量关系，列出方程并解出方程。这样思考问题的思路与相应的

分数乘法问题完全一致，只是参与列式的是未知数而已，这就大大降低了学生理解的难度。

“回顾与反思”部分中检验结果的合理性是相应乘法数量关系的二次应用。同时，

对有效信息选取的反思，以及对列方程方法、价值的体会，也是学生反思的重点。

例5:“已知比一个数多（或少）几分之几是多少，求这个数”的实际问题

本例是“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的逆向问题，是以例4为基

础，把条件稍做改变，形成稍复杂的问题。显然，用算术方法解决这样的实际问题，抽象程

度更高，思维难度更大。教材借助小女孩的设问，引导学生通过画线段图，并给出了完整的

图示，为学生分析、理解等量关系提供直观辅助。让学生经历从''多（或少）几分之几”到

（八

1±—x=c

“是几分之几”的转化，找到等量关系，列出形如Ia）的方程；同样，教材利用小

男孩的分析，借助线段图，引导学生找到“一个数加（或减）增加部分等于增加（或减少）

b

x±—x=c

后的数”这个更容易理解的数量关系，列出形如a的方程。因此，教材选择符合

学生顺向思维的思路，给出多样化的解题方法。

例6：“和倍、差倍”问题

本例中包括两个未知量，题中给出了这两个未知量之间的两种关系，要求学生根据

这样的关系列方程解答。由于这两种关系中，一种是两个量之间的倍数关系，另一种是两个

量之间的和或差的关系，因此，这样的问题过去被称为“和倍问题”“差倍问题”。

教材以篮球比赛上、下半场得分为素材，引出含有两个未知数的实际问题。在这里

两个未知量是指上半场得分、下半场得分，两种关系是指上半场得分+下半场得分=42以及

下半场得分是上半场得分的一半，或者上半场得分是下半场得分的2倍。

教材给出了两种解法，区别在于先设哪个量为未知数，然后利用两个量的数量关系，

用代数式表示出另一个量。

例7：可用抽象的“1”解决的实际问题

教材利用修路这一“工程问题”来引入，使学生经历发现和提出问题、分析和解答

问题的过程。例如，学生会认为题中缺少解题的信息，此时，教师追问：缺少什么信息呢？

学生会回答：不知道公路长多少千米。这样就很自然地引导学生假设公路总长为某个具体的

长度，把新问题转化为旧问题，加以解决。通过学生之间的交流，发现虽然假设的公路具体

长度不同，得到的结果却是相同的，使学生产生探究原因的欲望。通过分析，发现不管公路

11

总长是多少，两队每天修的长度分别占总长度的12和18是不变的，这也是能得到相同结

果的内在原因。此基础上，进一步抽象，可用“1”来表示公路总长。

采用“工程问题”引出可用抽象的“1”来解决的问题，但并非是对工程问题进行

系统教学，而是要建立一种数量关系的模型。要让学生经历利用自主探究解决问题的过程，

掌握用假设、验证等方法解决问题的基本策略，让学生体会模型思想。

在教学中特别要注意：不必要求学生死记硬背“工作时间=工作总量+工作效率”

等数量关系，可用线段图帮助学生理解数量关系，学生只要会用具体的语言描述出来就可，

并非说明用“1”表示总长的方法是最优的方法，在此例之后仍然允许学生用假设具体量的

方法解决问题。

五、教学建议

（一）重视概念的教学

倒数的认识这一课时在原教材中是“分数乘法”单元的最后一个课时，现在变成了“分

数除法”单元的第一课时。因为学习倒数主要为后面学习分数除法做准备，一个数除以分数

的计算归结为乘这个数的倒数，所以合情合理。通过观察、分析、讨论几组乘积为1的乘法

算式，让学生找出它们的共同特点，导人倒数的意义。对于概念中“乘积是1”“两个数”

“互为”进行进一步的讨论，举出反例，深化概念。帮助学生更全面、深刻地认识倒数。在

交流中培养了学生分析、^括的能力和严谨的数学态度。

（二）重视算法的探索过程

通过折纸实脸，让学生在折一折、涂一涂的过程中逐步发现分数除法的计算方法，引导

学生经历特殊到一般的探索过程，从中悟出把一个数平均分成几份，就是求这个数的几分之

一是多少。在课程实施过程中，我们应该舍得花时间让学生经历计算方法的探索过程，给学

生动手的机会和较充分的时间，让更多的学生边操作、边观察、边思考，并通过交流，在理

解的基础上真正发现算法，感悟算理。从而培养学生的学习和探究能力，促进学生的发展。

（三）注意数学思想方法的渗透

在教学中，有很多地方可以比较自然地渗透数形结合的、转化的思想。前者主要表现在

探索计算方法时直观手段的运用上，无论是折纸实验，还是画线段图，实际上都是用图形语

言揭示分数除法的几何意义。因此，在教学中要有意识地引导学生将“图”与“式”对照起

来，进行分析和说理。从而在发挥直观形象思维对于抽象逻辑思维支持作用的同时，让学生

逐渐感受数形结合的优势。后者主要体现在分数除法的计算方法，把除法转化为乘法计算，

这对学生来说，是数学认识上的一次飞跃，计算方法推导的每一步其实都是新旧知识和方法

的转化。

（四）提高学生分析问题和解决问题的能力

通过四道例题，引导学生运用所学的分数除法解决一些日常生活中的实际问题。让学生

感受到分数除法在生活中的广泛应用，体会学习数学的价值。与原教材相比，联系实际生活

的例题由原来的2道增加到现在的4道，增加了工程问题的题目。解题的方法和思路不变，

还是提倡利用方程解决问题。因为用算术方法解较难理解，学生往往难于判断究竟把哪个数

量看作单位“1”。在课程实施过程中，教师要充分引导学生对问题进行阅读与理解、分析

与解答、回顾与反思。尤其是回顾与反思这一步，必须要引起重视。这是探索的必要步躲，

只有通过脸证才能证明思路和解答是否正确，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中

也提出能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。这样有利于培养学生严谨的数学思

维和良好的数学学习习惯。

分数除法蕴含着重要的教育内涵和价值。在课程实施中，教师要重视学生的观察、分析、

比较、抽象概括等思维活动；要重视引导学生独立思考并反思，体会数学的基本思想和思维

方式；要重视学生获得分析问题和解决问题的一些基本方法，从而体会到数学的价值，形成

严谨的科学态度。

《比》教材解析

一、教材介绍

本单元是在学生已经理解了除法的意义与基本性质、分数的意义与基本性质，以及分数

与除法的关系等知识，掌握了分数乘除法的计算方法，会解答分数除法实际问题的基础上进

行教学的。内容包括比的意义、比的基本性质、化简比、按比分配解决实际问题等。

这一单元的内容与编排与实验教材基本一致。把这部分内容分拆出来另成单元，主要是

为了突出“比和比例”的独立性、重要性。比不仅与分数除法有联系，与分数、除法等知识

的联系更加紧密和重要。比的知识是学习比例相关知识的必要基础，把比单独设单元，能使

学生从量与量之间的关系这一角度去认识比，而不仅仅从运算的角度去理解比，有利于学生

代数思想的培养。

二、课标解读

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：“在

观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚

地表达自己的思考过程与结果"''在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价

值”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：“在

实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题”。

本单元内容是在学生学习分数乘除法的基础上安排的，具有承上启下的作用。一方面加

强了知识之间的内在联系，有利于进一步巩固分数乘除法的有关知识，另一方面又是学习比

例相关知识的知识基础。比的内容主要有：比的意义，比的读写法，比与分数除法的关系，

比的基本性质，求比值，化简比，按比分配。显然，从学习的具体内容来看，学生已经掌握

的除法的意义与商不变性质、分数的意义与基本性质、分数与除法的关系、分数乘除法的计

算以及解答有关分数乘、除法的实际问题等知识，是学习《比》这一单元必不可少的知识基

础。

三、教学目标及重难点

1.使学生理解比的意义，知道比与分数、除法的关系。

2.使学生理解并掌握比的基本性质，会求比值、化简比，能解答按比分配的实际问题。

3.使学生在理解比的意义、探索比与分数和除法之间的关系以及比的基本性质的过程

中，体会类比法、推理思想，积累数学活动经验，体会数学知识之间的内在联系，把握数学

知识的本质。

4.使学生经历用比描述生活现象和解决实际问题的过程，感受数学知识在日常生活中

的应用价值。

本单元的教学重点是理解比的意义，比的基本性质，按比分配解决实际问题。

四、具体内容

1.比的意义、各部分名称

教材精心选取了“神舟”五号这一现实素材作为载体，既富有教育意义，又能比较自然

地引出比的两种情形。例1的素材也是从中选取的，凸显情境的连续性和整体性。

教材先给出两面长方形小旗的数据，引导学生讨论长与宽的关系。除了可以用减法表示

出它们之间的相差关系，还可以用除法表示它们的倍数关系。在此基础上直接指出：可以用

比来表示它们之间的关系，由此引出同类量的比。如果仅从形式上看，比是除法关系的另一

种表示方式，这为学生认识比和除法、分数之间的关系奠定了基础。

接下来，教材介绍飞船的运行路程与时间，用除法表示出飞船进入轨道后的速度。在此

基础上，直接指出还可以用比来表示路程和时间的关系，引出非同类量的比。使学生进一步

认识比的意义以及比和除法的关系。

教材在教学了可以用比来表示两个同类量或不同类量相除的关系的基础上，直接抽象出

比的意义：两个数的比表示两个数相除。这一意义是后面求比值、推导比的基本性质的直接

保证。

接下来，给出比的写法、各部分名称以及比值的概念，并根据分数和除法的关系，给出

比的分数形式的写法。并根据小精灵的问题，进一步沟通比和除法、分数的联系。

2.比的基本性质

教材在前面“做一做”第3题对商不变性质和分数的基本性质进行了回顾，在此基础上，

启发学生根据比和除法、分数的关系思考：“在比中有什么样的规律？”首先通过比较比值，

直接看出6:8和12：16这两个比相等，同时也能看出这两个比和3:4也是相等的。接下

来，让学生探究两个比相等的内在原因。教材给出了根据比和除法的关系类推的过程，再让

学生根据比和分数的关系自主探究。在此基础上，概括出比的基本性质。

3.例1

本例教学运用比的基本性质化简比。第（1）题仍采用“神舟”五号的题材，给出两面

旗的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简整数比。其中15：10的化简给出了完整的过程并

启发学生思考为什么这样化简；180：120的化简则让学生自己完成。化简的过程便于学生

感悟化简的必要性，即能使量与量之间的关系更加简明、清晰。两个最简整数比相等，也渗

透了图形按比例缩放的相似变换思想。第（2）题的两个比中的前、后项分别出现了分数和

小数。教材同样提出了启发学生思考比的化简方法的问题，把前、后项不是整数的情况首先

转化为前、后项都是整数的情况，再利用第（1）题的方法自行完成。

4.例2

本例让学生解决按比分配的实际问题，这一类问题与“和倍问题”实质相同。教材创设

了一个日常生活中比较常见的配制清洁剂稀释液的问题情境，便于学生理解。

教材按问题解决的三个步骤编排，旨在使学生经历问题解决的完整过程，尤其是养成审

题和反思的习惯。在问题情境图中和解答过程中都采用直观图帮助学生清楚地看到量与量之

间的关系，理解稀释瓶上标明的比表示的含义。

教材介绍了两种解法。一种是把比看成份数之比，先求出每份是多少，再求几份是多少。

即把此问题转化为整数的“归一问题”来解决。另一种是根据直观图和比的意义，算出浓缩

液和水分别占总体的几分之几，把问题转化为求一个数的几分之几是多少，用分数乘法来解

决。

“回顾与反思”阶段，重新借助比的意义，看浓缩液与水的体积之比化简后是否与题目

中所给信息相符。

五、教学建议

（一）联系已学知识，引导学生自主学习，在类比推理中抽象概括新知识

比与除法、分数有着密切的联系，例如，比的后项不能为0,这一点与除数、分母不能

为0是一致的，比的基本性质与商不变性质、分数的基本性质是一致的，求比值与求商、化

简比与约分、按比分配与求一个数的几分之几是多少的方法是一致的，等等。因此，在教学

时，应充分利用学生原有的学习基础，引导学生联系相关知识，开展观察、实验、猜想、验

证等活动，进行类比和推理，让学生在自主学习中，通过自己的有条理的思考，解决新问题，

得出新结论。

（二）创设学生自主探索、合作交流的良好氛围，为学生搭建充分表达自己思考过程

与结果的平台

由于本单元的知识与学生已有知识有着密切的联系，这为学生自主探索、合作交流提供

了良好的基础；而且，本单元许多知识的学习本身又有许多不同的方法与策略，例如化简比、

按比分配解决实际问题等。因此，在教学时，教师应创设良好的学生自主学习的环境，引导

学生自主探索与思考，并与同学展开积极的合作与交流，在特殊方法与一般方法的比较辨析

中，进一步明晰知识的本质。

（三）借助生活情境与图示直观，理解比及按比分配的含义，并在实际应用中体会数

学的价值

在教学比的意义之初，教材精心选取了“神舟”五号这一现实素材作为载体，既富有教

育意义，又能比较自然地引出比的两种情形。例1化简比的素材也是从中选取，凸显了问题

情境的连续性和整体性，也清楚地揭示了化简比的现实意义，有利于提高学生分析、解决实

际问题的能力；在例2按比分配解决实际问题中，教材在问题情境图和分析与解答过程中都

采用图示直观地表示比的具体含义，这有利于学生理解这个比表示的是哪两个量之间的关

系，是一种什么样的关系，如何进一步表示各部分量与总量的关系。同时，借助于直观图，

也有利于学生运用数学语言转换各种信息，多元表征概念及数量关系，因而从本质上帮助学

生理解数量关系，提高提出问题、分析问题、解决问题的能力。

《圆》教材解析

一、教材介绍

本单元的内容是在学生已经学习了长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计

算，直观的认识圆的基础上进行教学的，是小学阶段的最后一个认识平面图形的单元。圆这

个平面图形与以往学习的平面图形有显著的不同，长方形、正方形、三前形、平行四边形、

梯形等都是直线图形，而圆是曲线图形。由此，教学将从对直线图形的研究过渡到对曲线图

彩的研究，这对学生而言是一种跨越与挑战。因为无论是研究曲线图形的思想还是方法，与

直线图形相比，都有显著的变化和提升。因此，通过对圆的研究教学，不仅要让学生掌握圆

的一些基础知识，还要让学生感受与体悟“化曲为直”“等积变换”“极限”等数学思想方

法，以促进与发展学生的数学思想方法和问题解决的能力。本单元的内容主要有：圆的认识、

圆的周长、圆的面积、扇形的认识等。

二、课标解读

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出“探

索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征；体验简单图

形的运动过程，能在方格纸上画出简单图形运动后的图形，了解确定物体位置的一些基本方

法；掌握测量、识图和画图的基本方法”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情

推理能力，能进行有条埋的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“在运用数学

知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第一学段”中提出“能

辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”“会用长方形、正方形、三角

形、平行四边形或圆拼图”；又在“第二学段”中指出“通过观察、操作，认识平行四边形、

梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆”“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握

圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题”“通过观察、操作等

活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方

格纸上补全一个简单的轴对称图形”“能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，

并运用它们在方格纸上设计简单的图案”。

三、教学目标及重难点

1.使学生认识圆，学会用圆规画圆，掌握圆的基本特征。

2.使学生会利用直尺和圆规，在教师指导下设计一些与圆有关的图案。

3.使学生通过实践操作，理解圆周率的意义，理解和掌握圆的周长计算公式，并解决

一些相应的实际问题。

4.引导学生探索并掌握圆的面积计算公式，并解决一些简单的实际问题。

5.使学生认识扇形，掌握扇形的一些基本特征。

6.使学生经历尝试、探究、分析、反思等过程，培养数学活动经验，在解决一些与圆

有关的数学问题的过程中，提高问题解决的能力。

7.使学生在推导圆的周长与面积的计算公式过程中体会和掌握转化、极限等数学思想。

8.通过生活实例、教学史料，感受数学之美，了解数学文化，提高学习兴趣。

四、具体内容

1.圆的认识

(1)圆的各部分名称、圆的性质

教材首先呈现了自然界和社会生活中形形色色的“圆”，其中包括许多同心圆。丰富的

圆形图案，使学生感受到圆很美，同时，感受到数学就在身边，激发起良好的学习情绪。

接下来，请学生想办法在纸上画一个圆，学生可以调动以前的经验，用茶杯盖、三角尺

上的圆洞等圆形物体进行描摹，也可以用圆规画圆。用实物画圆也是很有意义的动手实践机

会，但画出的圆的大小是固定的，不能随意变化。而用圆规画圆却可以在两脚叉开的范围内

画出任意大小的圆来。在画圆环节出现用圆规画圆，也是尊重学情的一种体现。学生在课外

应该都尝试过用圆规画圆，但是如何画得标准，画得轻松，还需教师进一步指导。

利用圆规画圆，引出圆的各部分名称。一方面，与前面的活动自然衔接；另一方面，画

圆的过程非常切合''圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合”这一几何学的定义。通过

这一过程引出圆心、半径、直径等概念，将动手操作、观察思考、概念引出融为一体，自然

流畅。

对圆特征的认识，分四个层次编排：首先，让学生将画好的圆折一折、画一画、量一量，

发现沿着任意一条直径对折，两边可以重合，说明了圆是轴对称图形。第二，通过对折痕的

观察和想象，让学生理解半径和直径都有无数条。第三，通过测量与比较，让学生认识到同

一圆内所有的半径都相等，所有的直径也都相等，并且直径的长度是半径的2倍。第四，结

合画圆的经验，理解圆心可决定圆的位置，半径可决定圆的大小。

(2)利用圆设计图案

尺规作图是一项有着悠久历史、充满魅力的数学技能。教材在认识圆之后，安排了这样

一个实践性内容，既可以让学生进一步熟练用圆规画圆的技能，促进学生对圆的特征的进一

步认识，又能让学生在用尺规画出漂亮图案的过程中提高动手操作的能力，学会欣赏数学的

美，培养热爱数学学习的情感。

教材先以分解的步骤，展示了如何利用圆的特征，一步一步画出四个花瓣式的漂亮图案。

这中间，涉及到充分利用圆的对称性，需要学生学会确定某个圆或半圆的圆心和半径，这也

是圆心和半径分别确定圆的位置与大小的最直接应用。此外，还需要学生添加一些辅助线。

因此，这样的活动体现了很强的综合性。

之后，教材呈现了两个更复杂的图案，让学生尝试画一画，这需要学生综合运用观察、

思考、动手等多方面的技能。教材给出了一些辅助线加以提示，需要学生对已经成形的图案

进行“分解”，知道每一部分是怎么来的。用直尺画出基本的图形后，再进行涂色，涂不同

的颜色，也会形成不同的作品。

2.圆的周长

(1)圆的周长计算公式的推导

圆的周长计算在实际生活中有广泛的应用，因此，教材从“要在圆桌和菜板的边缘箍上

一圈铁皮，求铁皮的长度”这一学生熟悉的实际情境引入，帮助学生理解圆的周长的概念。

学生已经具备了测量一般图形(物体)周长的技能，因此，面对“分别需要多长的铁皮”

的问题，他们完全能想到解决的办法：拿卷尺直接绕一圈量，或者把圆形物体在直尺上滚一

圈再量出长度，或者拿线在圆形物体上绕一圈，量出线的长度。学生在解决实际问题的过程

中感受了方法多样性和''化曲为直”的转化思想。更重要的是，圆周长概念的内涵，就在这

样的过程中得以清晰化、直观化。

方法需要优化，思维需要提升。教材在此基础上提出“除了上面的方法，还可以怎样求

圆的周长呢？”要求学生跳出绕、滚、围等策略的测量方法，找到一种更为一般化的方法