概率论与数理统计实训06讲解

概率论与数理统计实训06讲解汇报人：AA2024-01-19目录实训目标与要求随机事件及其概率一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基础知识参数估计方法与应用假设检验方法与应用实训目标与要求01条件概率与独立性掌握条件概率的定义及计算方法，理解事件的独立性与相关性的概念。随机变量及其分布了解随机变量的定义及分类，掌握离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度的概念及性质。事件与概率理解事件的定义及其概率的求法，包括古典概型、几何概型等。掌握概率论基本概念统计量与抽样分布理解统计量的概念及其性质，掌握常用统计量的分布及其性质，如样本均值、样本方差等。参数估计掌握点估计和区间估计的方法，如矩估计、最大似然估计等，理解估计量的评价标准。假设检验理解假设检验的基本思想及步骤，掌握常用检验方法，如t检验、F检验等。熟练运用数理统计方法01数据处理与可视化掌握数据清洗、整理及可视化的方法，如数据表格的创建、图表的绘制等。02问题分析与建模理解实际问题的背景及要求，能够将问题抽象为数学模型，选择合适的概率论或数理统计方法进行求解。03结果解释与应用能够对求解结果进行合理解释，并根据实际情况给出相应的建议或决策。培养解决实际问题能力随机事件及其概率02随机试验样本空间随机试验所有可能结果的集合。随机事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。在一定条件下进行的、结果不确定的试验。事件的关系与运算包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件、互斥事件、对立事件等。随机事件定义及性质古典概型每个样本点等可能出现，且样本空间有限。几何概型样本空间是一个可度量的区域（长度、面积、体积等），且每个样本点等可能出现。概率的计算古典概型中，概率等于事件包含的基本事件个数除以基本事件的总数；几何概型中，概率等于事件对应的度量（长度、面积、体积等）除以样本空间对应的总度量。古典概型与几何概型在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率。条件概率如果两事件相互独立，则一个事件的发生不会影响另一个事件的发生概率。事件的独立性两事件同时发生的概率等于其中一个事件发生的概率与在另一个事件发生的条件下该事件发生的概率的乘积。乘法公式010203条件概率与独立性一维随机变量及其分布03分布律：描述离散型随机变量取各个值的概率，常用分布列表示。离散型随机变量定义：取值有限或可数的随机变量。常见离散型随机变量分布：二项分布、泊松分布等。离散型随机变量及分布律取值充满某个区间（或若干个区间）的随机变量。连续型随机变量定义描述连续型随机变量在某个确定取值点附近的可能性的函数。概率密度函数正态分布、均匀分布、指数分布等。常见连续型随机变量分布连续型随机变量及概率密度随机变量函数分布随机变量函数的定义：设X是一个随机变量，g(X)是X的函数，那么g(X)也是一个随机变量。离散型随机变量函数的分布：通过分布律的变换求得。连续型随机变量函数的分布：通过概率密度函数的变换求得，需注意变换后的函数是否满足概率密度函数的性质。多维随机变量及其分布04设$(X,Y)$是二维随机变量，对于任意实数$x,y$，二元函数$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$称为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数。如果二维随机变量$(X,Y)$所有可能取的值是有限的或可列的，则称$(X,Y)$是离散型的随机变量，称$P{X=x_i,Y=y_j}=p_{ij},i,j=1,2,…$为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布律。联合分布函数联合分布律二维随机变量联合分布边缘分布与条件分布边缘分布函数二维随机变量$(X,Y)$作为一个整体，具有分布函数$F(x,y)$，而$X$和$Y$都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为$F_X(x),F_Y(y)$，依次称为二维随机变量$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布函数。条件分布律对于二维离散型随机变量$(X,Y)$，可以考虑在其中一个随机变量取确定值的条件下，另一随机变量的概率分布，这样得到的概率分布称为条件概率分布，简称条件分布。设$F(x,y)$及$F_X(x),F_Y(y)$分别是二维随机变量$(X,Y)$的分布函数及边缘分布函数，若对于所有$x,y$有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称随机变量$X$和$Y$是独立的。独立性如果二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数不等于边缘分布函数的乘积，即$F(x,y)neqF_X(x)F_Y(y)$，则称随机变量$X$和$Y$是不独立的，或者说它们是相关的。相关性独立性及相关性数理统计基础知识05研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个随机变量及其分布来描述。总体从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本样本中包含的个体数，通常用n表示。样本容量总体与样本概念统计量的性质包括无偏性、有效性、一致性等，用于评价统计量的优劣。统计量样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。充分统计量包含样本中所有关于总体参数的信息的统计量。统计量及其性质样本均值样本中所有观测值的算术平均数，用于估计总体均值。样本方差样本中所有观测值与样本均值之差的平方的平均数，用于估计总体方差。样本协方差两个随机变量样本观测值之间的线性相关程度，用于估计总体协方差。样本相关系数两个随机变量样本观测值之间的线性相关程度的标准化度量，用于估计总体相关系数。常用统计量计算参数估计方法与应用06矩估计法利用样本矩来估计总体矩，从而获得参数的估计值。最大似然估计法根据样本信息选择使得似然函数达到最大的参数值作为估计值。最小二乘法通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配，从而得到参数估计。评价准则无偏性、有效性、一致性等。点估计方法及评价准则置信区间概念总体参数所在的一个区间范围，该区间以一定的置信水平包含了总体参数的真值。常见分布下的置信区间构造正态分布、t分布、卡方分布、F分布等。构造置信区间步骤确定置信水平、寻找枢轴量、构造置信区间。区间估计原理及方法经济学领域用于估计经济模型中的参数，如需求弹性、供给弹性等。工程领域用于质量控制、可靠性分析等。医学领域用于评估治疗效果、预测疾病发病率等。社会学领域用于分析社会现象、预测社会趋势等。参数估计在实际问题中应用假设检验方法与应用07检验统计量的选择根据问题的性质，选择合适的检验统计量，如$Z$检验、$t$检验、$chi^2$检验等。显著性水平的确定根据问题的实际情况，选择合适的显著性水平$alpha$，通常取$0.05$或$0.01$。假设的设立根据实际问题，设立原假设$H_0$和备择假设$H_1$，原假设通常是希望被拒绝的假设。假设检验基本原理和步骤拒绝域的确定根据显著性水平和检验统计量的分布，确定拒绝域的形式。样本数据的收集与处理根据实际问题，收集样本数据并进行必要的处理。检验统计量的计算根据选择的检验统计量和样本数据，计算检验统计量的值。假设检验的决策将计算得到的检验统计量的值与拒绝域进行比较，作出是否拒绝原假设的决策。假设检验基本原理和步骤单侧检验当备择假设具有方向性时，即只关心参数是否大于或小于某个特定值时，选择单侧检验。例如，比较两种药物的疗效时，可能只关心新药是否比旧药更有效。双侧检验当备择假设不具有方向性时，即关心参数是否不等于某个特定值时，选择双侧检验。例如，检验一个机器生产的零件尺寸是否符合规格时，需要同时考虑尺寸过大和过小的情况。单侧检验和双