高考数学一轮复习 专题23 正弦定理与余弦定理（含解析）-人教版高三数学试题

专题23正弦定理与余弦定理一、【知识精讲】1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.二、【典例精练】考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝eq\r(6)，c＝3，则A＝________.(2)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C＝()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)【答案】(1)75°(2)C【解析】(1)由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(\r(2),2)，结合b<c得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.(2)因为a2＋b2－c2＝2abcosC，且S△ABC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以S△ABC＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)absinC，所以tanC＝1.又C∈(0，π)，故C＝eq\f(π,4).【解法小结】1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，则△ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【答案】(1)A(2)B【解析】(1)由eq\f(c,b)<cosA，得eq\f(sinC,sinB)<cosA，又B∈(0，π)，所以sinB>0，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，∴△ABC为直角三角形.【解法小结】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1与三角形面积有关的问题【例3－1】(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.【解析】(1)由sinA＋eq\r(3)cosA＝0及cosA≠0，得tanA＝－eq\r(3)，又0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3).由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·coseq\f(2π,3).即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝eq\f(π,2)，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f(π,6).故△ABD与△ACD面积的比值为eq\f(\f(1,2)AB·ADsin\f(π,6),\f(1,2)AC·AD)＝1.又△ABC的面积为eq\f(1,2)×4×2sin∠BAC＝2eq\r(3)，所以△ABD的面积为eq\r(3).角度2与三角形周长有关的问题【例3－2】(2018江苏)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为．【答案】9【解析】因为，的平分线交于点，所以，由三角形的面积公式可得，化简得，又，，所以，则，当且仅当时取等号，故的最小值为9．【解法小结】1.对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【思维升华】1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC中，若a2＋b2<c2，由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，可知角C为钝角，则△ABC为钝角三角形.【易错注意点】1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.三、【名校新题】1.(2019·石家庄一模)在△ABC中，AB＝2，C＝eq\f(π,6)，则AC＋eq\r(3)BC的最大值为()A.eq\r(7) B.2eq\r(7) C.3eq\r(7) D.4eq\r(7)【答案】D【解析】在△ABC中，AB＝2，C＝eq\f(π,6)，则eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝4，则AC＋eq\r(3)BC＝4sinB＋4eq\r(3)sinA＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－A))＋4eq\r(3)sinA＝2cosA＋6eq\r(3)sinA＝4eq\r(7)sin(A＋θ)，(其中tanθ＝eq\f(\r(3),9)).所以AC＋eq\r(3)BC的最大值为4eq\r(7).2．(2019·莆田调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a>b，则B＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)【答案】A【解析】∵asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，∴根据正弦定理可得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝eq\f(1,2)sinB，即sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝eq\f(1,2)sinB．∵sinB≠0，∴sin(A＋C)＝eq\f(1,2)，即sinB＝eq\f(1,2).∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B＝eq\f(π,6).3.(2019·山西五校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为()A．7.5 B．7C．6 D．5【答案】D【解析】∵bcosA＋acosB＝c2，∴由余弦定理可得b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c2，整理可得2c2＝2c3，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.4.(2019·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(5π,6) D.eq\f(2π,3)【答案】B【解析】∵(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，∴由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc.所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).5．(2019·山西大同联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcosA＋acosB)＝c2，b＝3,3cosA＝1，则a＝()A.eq\r(5) B．3C.eq\r(10) D．4【答案】B【解析】由正弦定理可得2(sinBcosA＋sinAcosB)＝csinC，∵2(sinBcosA＋sinAcosB)＝2sin(A＋B)＝2sinC，∴2sinC＝csinC，∵sinC>0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋22－2×3×2×eq\f(1,3)＝9，∴a＝3.6.(2019·开封模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，eq\f(3sin2C,cosC)＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝()A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，b＝6，∴a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝36＋c2－6c，①又eq\f(3sin2C,cosC)＝2sinAsinB，∴eq\f(3c2,cosC)＝2ab，即cosC＝eq\f(3c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴a2＋36＝4c2，②由①②解得c＝4或c＝－6(不合题意，舍去).因此c＝4.7.(2019·郑州二模)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2eq\f(A＋B,2)－cos2C＝1，4sinB＝3sinA，a－b＝1，则c的值为()A.eq\r(13) B.eq\r(7) C.eq\r(37) D.6【答案】A【解析】由2cos2eq\f(A＋B,2)－cos2C＝1，可得2cos2eq\f(A＋B,2)－1－cos2C＝0，则有cos2C＋cosC＝0，即2cos2C＋cosC－1＝0，解得cosC＝eq\f(1,2)或cosC＝－1(舍)，由4sinB＝3sinA，得4b＝3a，①又a－b＝1，②联立①，②得a＝4，b＝3，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋9－12＝13，则c＝eq\r(13).8．（江西省红色七校2019届高三第一次联考）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则角（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理可得sinB=sinAcosC+39.(2019·广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝eq\r(7)，c＝4，cosB＝eq\f(3,4)，则△ABC的面积等于()A．3eq\r(7) B.eq\f(3\r(7),2)C．9 D.eq\f(9,2)【答案】eq\f(3\r(7),2)【解析】由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，代入数据，得a＝3，又cosB＝eq\f(3,4)，B∈(0，π)，所以sinB＝eq\f(\r(7),4)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(3\r(7),2).10．(2019·安徽名校联盟联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccosA＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为()A．2＋eq\r(3) B．2＋eq\r(2)C．3 D．3＋eq\r(2)【答案】A【解析】由b＋2ccosA＝0，得b＋2c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋3c2,4ac)≥eq\f(2\r(3)ac,4ac)＝eq\f(\r(3),2)，当且仅当a＝eq\r(3)c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝eq\r(3)c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又因为bc＝1，所以b＝c＝1，a＝eq\r(3)，故△ABC的周长为2＋eq\r(3).11.（湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试）中有：①若，则；②若，则—定为等腰三角形；③若，则—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】=1\*GB3①由正弦定理及大对大角可知=1\*GB3①正确；=2\*GB3②或是直角三角形或等腰三角形；所以=2\*GB3②错误；=3\*GB3③由已知及余弦定理可得，化简得，所以=3\*GB3③正确.故选C.12.(2019·武汉模拟)在△ABC中，C＝eq\f(2π,3)，AB＝3，则△ABC的周长为()A.6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3 B.6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋3C.2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3 D.2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋3【答案】C【解析】设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝eq\f(3,sin\f(2π,3))＝2eq\r(3)，于是BC＝2RsinA＝2eq\r(3)sinA，AC＝2RsinB＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A)).于是△ABC的周长为2eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))))＋3＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3.13.(2018·泰安二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(c－b,\r(2)c－a)＝eq\f(sinA,sinB＋sinC)，则角B＝________.【答案】eq\f(π,4)【解析】由正弦定理可得eq\f(c－b,\r(2)c－a)＝eq\f(sinA,sinB＋sinC)＝eq\f(a,b＋c)，∴c2－b2＝eq\r(2)ac－a2，∴c2＋a2－b2＝eq\r(2)ac，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(2),2)，∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,4).14.(2019·合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2)))).若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.【答案】eq\r(3)【解析】根据正弦定理及a2sinC＝4sinA，可得ac＝4，由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，所以S△ABC＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2))))＝eq\r(\f(1,4)×（16－4）)＝eq\r(3).15.(2019·荆州一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2eq\r(2)，cosA＝eq\f(3,4)，sinB＝2sinC，则△ABC的面积是________.【答案】eq\r(7)【解析】由sinB＝2sinC，cosA＝eq\f(3,4)，A为△ABC一内角可得b＝2c，sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(7),4)，∴由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得8＝4c2＋c2－3c2，解得c＝2(舍负)，则b＝4.∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×4×eq\f(\r(7),4)＝eq\r(7).16.(2019·长春一模)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－sinC))cosA＝sinAcosC，且a＝2eq\r(3)，则△ABC面积的最大值为________.【答案】3eq\r(3)【解析】因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－sinC))cosA＝sinAcosC，所以eq\f(1,2)bcosA－sinCcosA＝sinAcosC，所以eq\f(1,2)bcosA＝sin(A＋C)，所以eq\f(1,2)bcosA＝sinB，所以eq\f(cosA,2)＝eq\f(sinB,b)，又eq\f(sinB,b)＝eq\f(sinA,a)，a＝2eq\r(3)，所以eq\f(cosA,2)＝eq\f(sinA,2\r(3))，得tanA＝eq\r(3)，又A∈(0，π)，则A＝eq\f(π,3)，由余弦定理得(2eq\r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq\f(1,2)＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤12，当且仅当b＝c＝2eq\r(3)时取等号，从而△ABC面积的最大值为eq\f(1,2)×12×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).17．(2019·绵阳模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B