目标突破课件：第2章 一元二次方程

第2章一元二次方程本章总结提升第2章一元二次方程知识结构关系重点模块总结综合能力提升一元二次方程实际问题一元二次方程的概念直接开平方法因式分解法配方法通用解法一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程的根（解）构建数学模型公式法一元二次方程的解法（四种）一元二次方程的相关概念整理代入知识结构关系一元二次方程实际问题根与系数的关系b2-4acb2-4ac>0,方程有两个不相等的实数根图形的面积问题平均增长（降低）率问题营销中的利润问题热点题型一元二次方程的应用b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根b2-4ac<0,方程无实数根b2-4ac≥0,方程有实数根一元二次方程根的判别式构建数学模型模块1一元二次方程及其有关概念试比较你所学过的各种整式方程，并说明它们的未知数的个数与次数，你能写出各种方程的一般形式吗？－3例1若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋2a－3＝0的一个根是0，则a＝_______．重点模块总结[解析]

把x＝0代入一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋2a－3＝0，即可得到关于a的一元二次方程a2＋2a－3＝0，从而求得a1＝1，a2＝－3，但二次项系数a－1≠0，即a≠1，所以a＝－3.例1若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋2a－3＝0的一个根是0，则a＝_______．【归纳总结】

1．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝(a≠0)，在解题时一定要注意隐含条件：a≠0.2．已知方程的根，求字母或代数式的值，其方法是将方程的根代入所给的方程，转化为关于未知字母的方程，再直接求解或用整体思想求解．模块2解一元二次方程一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下最适用？你能说说“降次”在解一元二次方程中的作用吗？求根公式与配方法有什么关系？[解析]第(1)题可变形为(x＋3)2＝2，然后利用直接开平方法求解；(2)方程左边有公因式(x－3)，用因式分解法求解；(3)去括号化简，方程左边用完全平方公式分解因式；(4)方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法求解；(5)方程的系数没有特殊性，化为一般形式后用公式法求解．模块3一元二次方程根的判别式什么是一元二次方程根的判别式？一元二次方程根的判别式与根的情况有什么关系？

例3关于x的一元二次方程mx2＋(2m＋1)x＋m－1＝0(1)若方程没有实数根，则m的取值范围是________；(2)若方程有两个相等实数根，则m＝________；(3)若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________；(4)方程有实数根，则m的取值范围是________，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．例3关于x的一元二次方程mx2＋(2m＋1)x＋m－1＝0(1)若方程没有实数根，则m的取值范围是________；(2)若方程有两个相等实数根，则m＝________；(3)若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________；(4)方程有实数根，则m的取值范围是________，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．模块4一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数且a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？是如何得到这种关系的？

例4已知关于x的方程x2＋2x－2m＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2.则(1)x1＋x2＝________．(2)x1x2＝________．(3)若方程的两实数根之积为负，则m的取值范围是_______．(4)是否存在实数m，使得两个实数根的平方和等于7？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

例4已知关于x的方程x2＋2x－2m＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2.则(1)x1＋x2＝________．(2)x1x2＝________．(3)若方程的两实数根之积为负，则m的取值范围是_______．(4)是否存在实数m，使得两个实数根的平方和等于7？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

模块5用一元二次方程解决实际问题一元二次方程在实际生活中有哪些应用类型？有哪些基本的等量关系？解应用题时需要注意什么？例5某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得到实惠的前提下，商家每周还想获得6080元的利润，则应将售价定为每件多少元？解：设每件降价x元，则售价为每件(60－x)元，销售量为(300＋20x)件，根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6080，解得x1＝1，x2＝4.因为要使顾客得到实惠，所以取x＝4，即售价为每件56元．答：应将售价定为每件56元．例5某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得到实惠的前提下，商家每周还想获得6080元的利润，则应将售价定为每件多少元？例6已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．综合能力提升[解析]

(1)先计算b2－4ac，利用b2－4ac＞0说明方程有两个不相等的实数根；(2)由(1)知AB≠AC，可以确定等腰三角形的两腰长是5，将x＝5代入原方程，得到关于k的一元二次方程，通过解方程即可求出相应的值k.例6已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．解：(1)证明：∵一元二次方程为x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1>0，∴此方程有两个不相等的实数根．例6已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．解：(2)∵△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，由(1)知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，∴必然有AB＝5或AC＝5，即x＝5是原方程的一个解．将x＝5代入方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，得25－5(2k＋1)＋k2＋k＝0，解