山东省烟台市开发区第五初级中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

山东省烟台市开发区第五初级中学2021-2022学年高三

数学理测试题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.定义方程/(x)=/(x)的实数根/叫做/(X)的“新驻点”，若函数g(x)=x；

A(X)=hx.仪力=/+1(0<x<2)的“新驻点”分别为6万，，，则

()

卜.沁。7c.

参考答案：

c

2.已知全集。=R/={x|x>0},5{x|x>1},则>iri(Cv0・()

A{x|0<x<1}B.{x|0<x<1}c{x|x<0}D{x|x>1>

参考答案：

B

略

3.已知全集U=R,集合)={川》一】<","-{HK—】"},则=

()

A{x|l<x<2}B国<*44

c[x[l<x<2)D[x[l<x<4)

参考答案：

c

【分析】

分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再求得转,及/门电m。

【详解】由题意得"={HK-1<1}={*卜1<*一〔<1}={*1。<*<2},

T若阿■住b。}={x[*<l^A4}

.”={#*<4}."（讨）={邛《*<2}故选c

【点睛】集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，

则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图。

4.在A4EC中，％瓦C分别为角46c的对边，

且（b+c）：9+a）：M+b）=4:5:6,则最大内角为

A.ISO'B.12bc.13sD.

90

参考答案：

B

略

5.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩儿E（如图），要测

算两点的距离，测量人员在岸边定出基线8C,测得BC=50切，

&耽=105*/BCA=45*,就可以计算出A,3两点的距离为

A.50也eB.503掰

C.25y/2mD.-2-

参考答案:

A

略

rm

6.若函数/(9的定义域为[1,8],则函数<一3的定文域为

A.(0,3)B.[1,3)U(3,8]C.[1,3)D.[0,3)

参考答案：

D

的定又域为口,8],若南数空仃巨义.剜用工

J1J-3Ho

7.已知cosStan^<0,那么角6是()

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角.

参考答案：

C

略

8.AA5c中，内角4艮。所对边的长分别为。•瓦。，若asin4+占向8>csinC,则

的形状是()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.不确定

参考答案：

D

略

9.设等差数列｛。"｝的前"项和为S",Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()

A、3B、4C、5D、6

参考答案：

C

10.某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为()

A、18+8n8+8n

C>16+16nD、8+16n

俯视图

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设x，y为实数，不等式组卜之2表示区域。，若指数函数y-q的图像上存

在区域。上的点，则实数a的取值范围是.

参考答案：

［夜刻

12.若动直线"+如=1过点A(ba),以坐标原点0为圆心，0A为半径作圆，则其中最

小圆的面积为.

参考答案：

71

13.数列SJ的首项为2,数列为等比数列且4,若四%=3,则%的值

为.

参考答案:

486

14.已知正方体ABCD-ABCD中，E为GM的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦

值为.

参考答案:

2

~3

【考点】异面直线及其所成的角.

【分析】根据题意知AD〃BC,.\NDAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得

结果.

【解答】解：连接DE,设AD=2

易知AD/7BC,

ZDAE就是异面直线AE与BC所成角，

在△RtADE中，由于DE=J^,AD=2,可得AE=3

AD2

.•.cosNDAE=If=后,

2

故答案为:~3.

15.如图所示，函数y=〃x）的图象在点P处的切线方程是＞=-x+8,则

/（5）+r（5）=

参考答案:

2

272

16.已知AABC的三个顶点在以0为球心的球面上，且cosA=一二，BC=1,AC=3,三棱锥0

-ABC的体积为飞-，则球0的表面积为.

参考答案：

16兀

考点：球内接多面体；球的体积和表面积.

专题：球.

分析：通过A的余弦函数求出正弦函数值，求出B的大小，利用三棱锥0-ABC的体积为

内

一T,求出o到底面的距离，求出球的半径，然后求出球的表面积.

272

解答：解：AABC的三个顶点在以0为球心的球面上，且cosA=万，BC=1,AC=3,

BC二AC

由正弦定理可知：sinA=sinB,

.,.sinB=l,B=90°.斜边AC的中点就是△ABC的外接圆的圆心,

V14

•.•三棱锥0-ABC的体积为W,

22

又AB=VAC-BC=2V2,

...互1叼1加物叫V片14，

近

：.h=2,

球0的表面积为4nR2=16it.

故答案为：16n.

点评：本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及

计算能力.

1

17.在aABC中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c,cosC=9,且acosB+bcosA=2,则

△ABC面积的最大值为.

参考答案：

返

2

【考点】余弦定理；正弦定理.

【分析】利用余弦定理分别表示出cosB和cosA,代入到已知的等式中，化简后即可求出

c的值，然后利用余弦定理表示出c2=£+bZ-2abcosC,把c及cosC的值代入后，利用基本

不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基

本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值

及sinC的值代入即可求出面积的最大值.

【解答】（本题满分为12分）

解：'/acosB+bcosA=2,

AaX2ac+bX2bc=2,

：.c=2,…（6分）

1116

.'.4=a2+b2-2abX§22ab-2abX9=9ab,

_93.

...abwW（当且仅当a=b=5时等号成立）…（8分）

1蛎

由cosC=9,得sinC=9，…(10分)

11_9W5返

.♦.SA*5absinCW2X4X9=2,

逅

故AABC的面积最大值为2.

逅

故答案为：2.…(12分)

【点评】此题考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应

用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题共13分)

如图，矩形ABCD中，力。1平面ABE,BE=BC,F为CE上的点，且8尸1

平面ACEo

(1)求证：找1平面BCE；

(2)求证：AE//平面BFD。

参考答案:

(I)证明：•.•加1平面须E,AD//BC

平面AFE,则函1即.......................................2分

又♦.♦班'1平面4C2,则他1即

布1平面ME...................................5分

（H）证明：依题意可知：G是4C中点................................6分

平面48，则CH1M,

而BC-BEF是%中点................................9分

在△威中，FG//AE

愈a平面BfD

又同y（Z平面RFD>15〃平面加D.............................13分

19.设工是公差不为零的等差数列｛斯｝的前〃项和.已知,是q与%的等比中项，

S.=36

（I）求｛a,,｝的通项公式；

（II）设4一，7",求｛儿｝的前〃项和T..

参考答案：

720,6»-5厂

2,

（I）^=»-）«€#*；（II）99

【分析】

（I）等差数列的公差设为“，且［不为0,运用等比数列的中项性质和等差数列的通项

公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；

（II）求得4=4-2、”=（方-1）4：运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求

和公式，计算可得所求和.

【详解】解：（I）s,是公差d不为零的等差数列｛4｝的前〃项和，

由吗是q与的的等比中项，

可得《二一，

即以痴"=4q,

化为」=为，

由S*%,

可得赳♦】〃=—=36,

解得.=1，d=2,

则4=1.2(H1)=2M1RWN,

(H)4=4K"=(2»T)4：

则也｝的前〃项和工=1<+316+564+-+(2n-l)-4-

故4匚=116+364+5256+T(2n-l)4Z

两式相减可得一现="2(16+60+4)—DL

=4+2—5--------4^,

1-4

720,6»-5妙“

化简可得：'"V9.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，解决通项公式常见的方法是基本量法；本题还

考查了数列求和的知识，解决数列求和知识的常见方法是裂项求和法、错位相消法等.

当=0

20.如图，在直三棱柱“BC—MQ中，Ng=%P.E为4G的中点，。月

(1)证明：3J•平面4G；

(2)若乂=J6,4MC=3°,求点月到平面/形的距离.

参考答案:

本题考查空间几何体的体积，线面垂直.(1)证得CQ'i兄c：,.♦.瓦Gi平面

4Alec.,.坛C,l1CE；由“QE与AACC湘似得CE.,.CE1ABtC3;⑵证得

AC’JC,所以八为点E到平面A5Q的距离，等体积法求得点E到平面45C：的距离是丁.

⑴证明：.••直三棱柱AB。-4为平面43£；

,.,8：Gu平面.♦.CC；1B--C-.

-,■^ACB=90,,,-ACLBC,1B^；

,."A'C：cCC\=C：,.♦.81G1£平面AX1GC

「ECop面-C,.・.91c―CE,

£i£=££i=a

•••E为4G的中点，...c""C,"CGE与MCCj相似，且有CElXCj,

•；81Gc八的=C：,；.CE.1./IBJCJ.

(2)在矩形ACG4中，1"««■为的中点，可得

AC=2M，A：E=C：E=、3

在RtMBC,由ZBAC=30,可得8C=2,AB=4,从而可求得俱-g.4C=，口，

显然有#C；+B*C；=AB：,即AC-尻C,九为点E到平面A3Ci的距离，

•.•B1Gl平面A4，qc,由％517c•%可得，$3*‘SJRCG尻

计算得一2»,

ix^Ox*=-x3V2x2卜=咆

,-.，1,可推出”,

>711

.•.点E到平面ABQ的距离是».

21.(本小题满分12分)已知圆C：=4,直线4过定点A(1,0).

(1)若。与圆C相切，求"的方程；

(2)若"与圆C相交于P、Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线"的方

程.

参考答案：

(1)①若直线'I的斜率不存在，则直线4x=l,符合题意.……2分

②若直线“斜率存在，设直线,I的方程为/=即=

由题意知，圆心(3,4)到已知直线％的距离等于半径2,

一=I7*二

即：JP+i,解之得

所以所求直线4的方程是“1或3・4厂3叫......6分

(2)因为直线与圆相交，所以斜率必定存在，且不为0,

设直线方程为米-了-卜=0,

八产

则圆心到直线4的距离为J+1,

又：ACPQ的面积S=X2gl=d目4I=2-2y+4

当d=W时，S取得最大值2.

段一4|