2023年上半年教师资格证《高中数学》真题及答案

2023年上半年教师资格证《高中数学》真题及答案[单选题]1.已知g(x)在可导，且g(1)=1，若，，则导数的值是()。A.0B.1C.A.D2a正确答案：C参考解析：本题主要考查导数的运算的相关知识。因为g(x)在可导，故f(x)=在上可导，则，故。C项正确。A、B、D三项：与题干不符，排除。故正确答案为C。[单选题]2.点x=0是函数的()。A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点正确答案：D参考解析：本题主要考查函数的间断点的相关知识。因为函数在x=0处没有定义，故函数在该点处不连续，且不存在，故该点为函数的第二类间断点。D项正确。A、B、C三项：与题干不符，排除。故正确答案为D。[单选题]3.设，是n阶向量，是内积，是向量的模长，则()。A.B.C.D.正确答案：B参考解析：本题主要考查内积的计算的相关知识。因为是内积，故。B项正确。A、C、D三项：与题干不符，排除。故正确答案为B。[单选题]4.对于任意，若，则T是()。A.投影变换B.对称变换C.旋转变换D.正交变换正确答案：A参考解析：本题主要考查投影变换的相关知识。因为=，故T

是投影变换。故A项正确。B、C、D三项：与题干不符，排除。故正确答案为A。[单选题]5.过点的直线方程是()。A.B.C.D.正确答案：C参考解析：本题主要考查直线方程的相关知识。因为直线过点,直线的方向向量为，根据对称式可知，直线的方程为。C项正确。A、B、D三项：与题干不符，排除。故正确答案为C。[单选题]6.甲乙两人独立的对同一个目标进行射击，其命中率分别为0.4和0.5，则目标被命中的概率是()。A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9正确答案：B参考解析：本题主要考查随机事件的概率的相关知识。目标不被命中的概率为，则目标被命中的概率是。B项正确。A、C、D三项：与题干不符，排除。故正确答案为B。[单选题]7.普通高中数学课程标准突出的四条内容主线是()。A.函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动B.函数、图形与几何、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动C.代数、图形与几何、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动D.代数、函数、图形与几何、概率与统计正确答案：A参考解析：本题主要考查课标的相关知识。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程。高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，它们贯穿必修、选择性必修和选修课程。A项正确。B、C、D三项：与题干不符，排除。故正确答案为A。[单选题]8.下面不适合作为指数函数模型教学的是()。A.种群增长问题B.放射物衰减问题C.复利问题D.自由落体问题正确答案：D参考解析：本题主要考查指数函数的相关知识。A项：在一定条件下，若某种群的起始数量为，若每年的增长率都保持不变，设第二年的种群数量是第一年的倍，那么t年后该种群的数量为。与题干不符，排除。B项：设t=0时，放射性物质的数目为，则t时间之后，（λ为衰变常数）。是指数函数模型。与题干不符，排除。C项：若在期初存入本金为A，利率为i，存n期后的本金与利息之和为。与题干不符，排除。D项：自由落体运动中的速度为v=gt，位移是，不涉及到指数函数增长。D项表述错误，为正确选项。本题为选非题，故正确答案为D。[问答题]1.设h为常数，讨论，在空间直角坐标系中所表示的空间类型。正确答案：详见解析参考解析：若h<0，则，在平面内即为，，表示焦点在y轴上的双曲线；若h>0，则，在平面内即为，表示焦点在x轴上的双曲线；

若h=0，则，在平面内即为，则表示两条过原点的直线。[问答题]2.已知向量组，，，。（1）证明向量组是三维空间的一组基；（4分）（2）求向量在基底下的坐标。（3分）正确答案：详见解析参考解析：（1）证明：设存在一组不全为零的数使得，则对应的线性方程组为，解得，故向量组

线性无关，是三维空间的一组基。（2）记向量

在基底

下的坐标为，即，对应的方程组为，解得，所以向量

在基底

下的坐标为（–6，3，17）。[问答题]3.设二维随机变量（X,Y）服从区域G={(n，m)|-2n2，-2m2}上的均匀分布。（1）求随机变量X的概率分布；（3分）（2）令Z=min{X,Y}，求随机变量Z的概率分布。（4分）正确答案：详见解析参考解析：（1）根据题意可知，,则X的边缘分布密度为，则①当x<-2时，；②当x>2时，；③当时，。故X概率分布为。（2）由（1）可知，，且，，则，故X、Y独立同分布，则，则：①z<-2时，；②z>2时，；③时，；则[问答题]4.简述长方体模型在学习直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直位置关系中的作用。（答出两条即可）正确答案：详见解析参考解析：①帮助认识复杂、抽象的几何图形。在学习空间中直线、平面以及二者关系的过程中，借助长方体为载体，可以将抽象的空间图形转化为更直观、形象的长方体中的棱长所在的直线、各个面，所在的平面，帮助建立空间想象能力，提高逻辑推理能力。例如，如图所示：长方体中的任意两条棱长所在的直线的位置关系为直线和直线平行或直线和直线垂直，如//，，与异面等；容易得出直线和平面的位置关系为，长方体中的棱所在的直线和其他平面的关系可能为平行、垂直或者在平面内，如直线//面，直线，直线在面ABCD内等；容易得出长方体中的平面和平面的关系为平行或相交（包括垂直），如：面//面；面面等；②辅助计算数量关系。借助向量法研究空间中直线和直线、直线和平面以及平面和平面位置关系时，可以利用长方体中的一顶点为空间直角坐标系的原点，以过该顶点所在的三条棱长为直线分别为x轴、y轴和z轴，写出相应点的坐标后进行求解。[问答题]5.数学教学中要注意知识的阶段性和关联性，请写出高中数学中与“函数单调性”密切相关的具体知识。（答出5条即可）正确答案：详见解析参考解析：①函数的定义域，函数的单调性要结合函数的区间说明才有意义；②求函数的导数。在求解函数发f(x)的单调性的过程中，可以借助函数得出在该区间上单调递增；借助得出在该区间上单调递减。③求函数的极值。利用函数在区间上的单调性质画出草图，结合极值的定义判断谁是函数的极大值、谁是函数的极小值。④求最值问题。根据在给定区间上函数单调性的判断，得出函数值最大的即为最大值，函数值最小的即为最小值。⑤求函数零点的个数问题。利用函数的单调性判断出极值和最值之后，根据函数图象与x轴的相对位置，即函数与x轴的交点得出函数的零点个数。[问答题]6.证明：函数在上一致连续。正确答案：详见解析参考解析：①任取，易知函数f(x)在闭区间上[a,b]上连续，由一致连续性定理，则f(x)在[a,b]上一致连续；②对于区间，对于，取，对于，当时，有，即f(x)在区间上一致连续；③同理，f(x)区间上一致连续。综上所述，f(x)在上一致连续。[问答题]7.写出对数的概念和3条运算性质，并结合对数的运算性质谈谈你对对数加法运算与乘法运算互相转化的认识。正确答案：详见解析参考解析：写出对数的概念和3条运算性质，并结合对数的运算性质谈谈你对数加法运算与乘法运算互相转化的认识。对数的概念：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。对数的运算性质：如果a>0，且，，那么①；②；③。首先，对数乘法运算和加法运算之间是借助指数运算得到的，例如：设，，因为，所以，根据对数与指数之间的关系可得，，，即；其次，对数的乘法运算和加法运算之间的互相转化关系可以帮助在不同的情境中选取合适的计算方法简化计算，提升解题的效率。[问答题]8.下面是某教师关于“建立直线的点斜式方程”的教学片段。教师：如图直线经过点，且斜率为k，设P(x,y)是直线上不同于的任意一点，如何由，P(x,y)两点的坐标表示直线的方程？学生甲：因为直线经过点，P(x,y)两点，由过两点的直线斜率公式，得

，我认为这就是直线的方程。……教师：直线上任意点的坐标(x,y)都满足关系式吗？坐标满足关系式的每一个点都在直线上吗？学生乙：由前面的直线方程就可以看出：直线上每一个点的坐标(x,y)都满足关系式；坐标满足关系式的每一个点显然也都在直线上。……问题：（1）学生甲的回答正确吗？为什么？（2）学生乙的回答不严谨，请说明理由并完善。正确答案：详见解析参考解析：（1）学生甲的回答不完全正确，因为在直线l经过点，P(x,y)是直线l上不同于的任意一点的时候，当P(x,y）与

的横坐标不同时，可以得出斜率，可以得出在该条件下的直线方程为，这是过点的直线l的一种情况；若点时，也存在过点的直线l，但不能用上述方程表示。因此该方程不适用过点但斜率不存在的直线。（2）学生乙的回答不严谨，因为把点代入之后，可以看出分母为，此时k无意义。故不能说直线l上每一个点的坐标(x,y)都满足关系式；①因为点P(x,y)是直线l上不同于点的任意一点，故由斜率公式可得，即，可知过点，斜率为k的直线l上的每一点的坐标都满足该直线方程；②假设的坐标满足方程，即，若，则，说明点与重合，于是可得点在直线l上；若，则，这说明点和点的直线的斜率为k，于是可得点在过点、斜率为k的直线l上。综上，说明该方程为过点、斜率为k的直线l的方程。[问答题]9.高中数学课程要求“借助向量的运算，探索三角形边长与夹角的关系，掌握余弦定理”。某教材部分内容如下：1.余弦定理我们知道，边长和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，这说明，给定出边及其夹角的三角形是唯一的。也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及夹角来表示。那么、表示的公式是什么？在

中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究。如图6.4.8，设，，，那么。我们的正弦定理是用和C表示，联想到向量数量积的性质，可以考虑用向量加减运算（即a-b）与其自身做点乘运算。由①得……

完成下列任务：（1）根据上述材料，写出用向量方法证明余弦定理的过程；（2）设计“余弦定理”这节课的教学目标，并确定教学重点；（3）针对上述材料中“探究”的问题，设计3个课堂提问，引导学生从三角形的边角关系入手，逐步探索用向量方法证明余弦定理，并说明设计意图。正确答案：详见解析参考解析：（1）证明：如图，设，，那么，=，所以同理可知，，。（2）教学目标：①知道余弦定理的公式，理解余弦定理公式的推导过程，掌握余弦定理，并能够运用余弦定理解决一些测量和几何计算有关的实际问题。②学生用过推导和归纳的过程，提高推理论证能力和抽象概括能力。③学生在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的解答，感受到学习数学的乐趣。教学重点：掌握余弦定理的公式，理解推导过程中使用的方法，能够利用余弦定理解决问题。（3）问题1：回忆直角三角形的三边关系，并根据该特征思考，若不是直角三角形时，三边又会有什么关系呢？预设回答：学生回忆，若斜边为a，则直角三角形的三边关系为。设计意图：通过熟悉的知识引出与猜想，帮助学生建立起新旧知识之间的联系，启发思考不是直角三角形的三边是否也存在一定的等量关系，或从边角关系入手，进而进入到学习状态中。问题2：任意画出一