山东省潍坊诸城一中2021届高三模拟考试数学试卷

诸城一中高三模拟

数学

一、单项选择题

1.已知集合4={%|12一工一6<0},B={x\x-l<0}9则AU3=()

A.(—00,3]B.(—8,2)C.(—8,1)D.[—2,1)

2.函数f(x)=lnx-2+l的零点所在的大致区间是()

X

A.(1,2)B.(2,e)C.(e,3)D.(3,+~)

3.已知sin0+sin(9+-2L,)=1,则sin(。+2-)=()

36

A.』B.返C.zD•亨

5T京

4-设XGR，则"2'>4"是"lg(|x|-l)>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

x3+sinx

5.函数/(%)=的图象大致是)

6.《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的

枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝梗不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子

拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞

蹈，舞蹈中他们要模仿图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采

用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有()种.

A.10B.12C.14D.16

x］i

7.已知/(x)=e二-，是定义在R上的奇函数，则不等式/(x—3)</(9-Y)的解集为()

e+a

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)

2x-xlnx,x>0

8.已知函数/")=<.3，若方程」(x)=上x+1有四个不相等的实根，则实数化的取

-x--<0

2

值范围是()

A.g,l)B.(2,2)C.(1|)D.(1,1)

二、多项选择题

9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重(kg)情

况如图(1),经过四个月的健身后，他们的体重(kg)情况如图(2).

6。的60%

50%50%

40%“一：

3。%30G

20%20^

。II|I.-LrI.011-r-1___-k，I.

［90,100)U00JIg“10420)体曳［80.90)(90J00)(100.1101

图⑴图(2}

对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是()

A.他们健身后，体重在［90,100)内的肥胖者增加了2名

B.他们健身后，体重在［100,110)内的人数没有改变

C.因为体重在［100,110)内的人数所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响

D.他们健身后，原来体重在［110,120)内的肥胖者体重都有减少

10.将函数/(x)=sin3x-Gcos3x+l的图像向左平移?个单位长度，得到函数g(%)的图像

给出下列关于函数g(x)的结论：①它的图像关于直线犬=》对称；②它的最小正周期为可；③

I1^jr,1CJ,TT-

它的图像关于点(-右,1)对称；④它在［芋上单调递增.其中正确的结论的编号是()

1o39

A.①B.②C.③D.④

11.若10"=4，10"=25，则O

A.a+b—2B.b-a—1C.ab>81g22D.b-a>lg6

12.已知四棱台A6CD—A4G。的上、下底面均为正方形，其中A8=2j5,人田=垃,

AAi=BB,=CC,=DD,=2,则下列叙述正确的是()

A.该四棱台的高为百B.A4,±CC,

C.该四棱台的表面积为26D.该四棱台外接球的表面积为16兀

三、填空题

(―)A—2x,x<0

13.已知函数./■(>)=13,则/(/(8))=.

-4+log,x,x>0

14.某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95,

且每个零件质检是否合格是相互独立的.设质检合格的零件数为X,则随机变量X的方差

0(X)=.

15.己知a>(),/?>(),且a+h=2,则—।的最小值是.

a5b

16.在正方体瓦G2中，E为棱CD上一点,且CE=2DE,

F为棱A4的中点，平面班尸与。A交于点G,与AG交于点“，则

DGAH

9~HQ~'

四、解答题

-l—_bcosB+1

17.(10分)在①cos2B-石sinB+2=0,②2/?cosC=2a-c,③)=后$山.这三个条件

中任选一个，补充在下面横线处，并加以解答.

己知人钻。的内角A,B,。所对的边分别是。，匕，c,若，且a,力，c成等差数列，则八45。

是否为等边三角形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由.

18.(12分)如图(1),平面四边形ABC。中，AB=AC=近'ABYAC,ACLCD,E为

8c的中点.将八48沿对角线AC折起，使CDL5C,连接8D，得到如图(2)的三棱锥

D-ABC.

（1）证明：平面4）£_|_平面8。£＞；

7T

（2）已知直线与平面A8C所成的角为一，求三棱锥的体积.

4

19.（12分）如图，某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m,

斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏，

（1）若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出

发，当乙出发1分钟后到达E,甲到达I）,求此时甲、乙两人之间的距离；

（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点D,E,F.设NCEF=9,乙、丙之间的距离是甲、乙

JI

之间距离的2倍，且NDEF=§,请将甲、乙之间的距离y表示为6的函数，并求甲、乙之间的最

小距离.

20.（12分）网络购物已经成为人们的一种生活方式.某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验,

为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家作

出评价，评价分为好评、中评和差评.平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，

正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计。分，差评计-1分.某商家在试营业期间随机抽取100

单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图（1）和图（2）：

（1）通常收件时间不超过4天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓.请根据题目所给信息完成

下面2x2列联表，并判断能否有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关；

好评中评或差评合计

物流迅速

物流迟缓30

合计

（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X.该商家将试营业50天期间的

成交情况制成了频数分布表，如下表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数的概

率.

成交单数363027

天数102020

①求X的分布列和数学期望；

②平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家”称号.请估计该商家从正式营业开

始，1年内(365天)能否获得“诚信商家”称号？

„2n(ad-bcf廿上,,

附：K--------------------------,其中〃=a+Z?+c+4.

(a+b)(c+</)(«+c)S+d)

2

P(K>k0)0.1500.1000.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

21.(12分)如图，在四棱锥P—A8CD中，ABC。为矩形，△/1总是以NP为直角的等腰直角

三角形，平面E48,平面A3CD.

(1)证明：平面RA。，平面PBC；

(2)M为直线PC的中点，且AP=A£>=2,求二面角A—MD—B的余弦值.

22.(12分)已知函数/(x)=ae'lnx,其中e=2.71828…是自然对数的底数，g(x)=x2+xlna,

a>0.

(1)讨论函数/(x)的单调性;

(2)设函数〃(x)=g(x)-/(x),若〃(设>0对任意的xe(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.

诸城一中高三模拟

数学解析答案

一、单项选择题

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C

8.【答案】I)

二、多项选择题

9.【答案】ABD

10.【答案】BC

11.【答案】ACD

12.【答案】AD

第II卷

三、填空题

13.【答案】5

14.【答案】47.5

……18

15.【答案】y

13

16.【答案】一，一

68

四、解答题

17.【解】选①・•.•cos28=l-2sin2B，•••2sin2IB+GsinB-3=0，

即(2sinB—6)(sin3+途)=(),解得sin8=—6(舍去)或sin8=火，

2

兀2兀

0<B<TI>B=—或6=—.

33

71

又•••4，b,c成等差数列，.♦.》=a+c,二。不是三角形中最大的边，5=二,

3

b1=a2+c2—2«ccosB>ta2+c2-2ac=0>即"=。，

故八48。是等边三角形.

选②.由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA-sinC,

即2sinBcosC=2sin(8+C)-sinC,整理，得2cosBsinC—sinC=O,

*/0<C<,/.sinC>0,cosB=—,

2

c兀

Q<B<n,:.B=一,

3

•：a,b,。成等差数列，；.2Z?=a+c,故八45。是等边三角形.

sinBcosB+1

选③.由正弦定理，得一^=^7—.

sinAV3sinA

兀1

sinAw0,，^3sinB-cosB=1，即sin(B——-)=--,

八兀c兀5兀n兀兀/r八兀

VO<B<K,:.——<B——<—,:・B—=一,得B=一

666663

由余弦定理b2=a2+c2-2accos8，^a2+c2-2ac=0即。=。，

故ZVIBC是等边三角形.

18.

【解】（1）在三棱锥。一A3C中，

因为CDL3C,CD±AC,ACC\BC=C,所以CDJ•平面ABC,

又A£u平面A3C,所以AELCD,

因为AS=AC,£为BC的中点，所以AE_L5C,

又3CnCD=C，所以AEJ_平面3C£>,

又AEu平面ADE，所以平面ADE_L平面BCD.

(2)略

19.【答案】解：⑴依题意得BD=300,BE=100.

在AABC中，cosB=1R-9,所以B=9..............................2分

2115乙O

在Z\BDE中,由余弦定理得DE2=BD'+BE2—2BD•BE•cosB

=3002+1002-2X300X100X1=70000,

所以DE=10Q\Q

答:甲、乙两人之间的距离为100于m...........................6分

(2)由题意得EF=2DE=2y,/BDE=/CEF=0.

在RtZkCEF中,CE=EF•cosZCEF=2ycos9.............................8分

BFDE

在ABDE中,由正弦定理得R而=sinNDBE'

200—2ycos0______y

10分

sin0sin60°

b,,100y/35Mji

所以y=q嬴©,0<0<—,10分

Sinf0+T

所以当。=三时，y有最小值50^.

答：甲、乙之间的最小距离为5Mm.............................12分

20.

【解】（1）由题意可得

好评中评或差评合计

物流迅速50555

物流迟缓301545

合计8020100

2

“2(50X15-30X5)X100100

80x20x55x4511

所以有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关.

(2)①由题意可知，X的所有可能取值为1，0,-1，每位买家给商家作出好评、中评、差评的

概率分别为0.8,0.1,0.1,

所以X的分布列为

X10—1

P0.80.10.1

所以数学期望E(X)=lx0.8+0x0.1+(—l)x0.1=0.7.

②方法一：设商家每天的成交量为丫，则y的可能取值为27,3(),36,

所以y的分布列为

P273036

P0.40.40.2

所以E（y）=27X0.4+30x0.4+36x0.2=30.

所以商家每天能获得的平均积分为30x0.7=21,

商家一年能获得的积分为21x365=7665<10000,

所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号.

36x10+30x20+27x20

方法二：商家每天的平均成交量为=30，

50

所以商家每天能获得的平均积分为30x0.7=21,

商家一年能获得的积分为21x365=7665<10000.

所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号.

21.【答案】(I)证明：•.•ABC。为矩形，

•••平面平面43CZ),平面Q48c平面ABC£>=

.•.AD，平面fyiB，........................2分

则4)，必，又24,依，Q4cAD=A，

.•.依，平面PAD，............................................4分

而PBu平面PBC.

平面平面P3C；..............................................6分

(11)取中点0,分别以OP,08所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系,7分

由AP=AT>=2,AAPB是以NP为直角的等腰直角三角形，得：

A(0「也0),D(0,-也2),8便,也01I.M

8分

-冬考曲当考，斗痂

MA44-

设平面M4D的一个法向量为比=(x,y,z),

72372

m-MA=-——x-------y-z=0n

2

由，2,取y=l,得谕=(-31,0)：9分

fn-MD=-.四X-处y+Z=Q

22

设平面MB。的一个法向量为a=(x,y,z),

'y/23y/2

心MD=------x------y+z=0n

由，j-J-,取x=l，得H=11分

n-MB-x+^Ly-z=0

22

ffi-nV10

cosm,n=।———7=--------13分

m-\n\5

・・