小学奥数几何模块-等体积转换、水中浸物

城）模块一等积转换

------------------------干沁，知识剖析—一…一一一一=——

等体积转换是指体积固定的几何体可以变换成形状不同的几何体.这些几何体的表面积

各不相同，但是它们的体积是相同的.（如图所示，它们的体积相等，但形状和表面积各不

相同）

;金例1

一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，如下图所示，请你根据图

中标明的数据，计算瓶子的容积是多少立方厘米？

o

nri5cm

练一练

4.iff।—

有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是20L.瓶中装有一些饮料，正放时饮

料高度为20cm,倒放时空余部分高度为5cm,瓶中现有饮料多少升？

“4史

如图，是两个底面积相同的圆柱和圆锥形杯子，其中圆柱形杯子的2,盛有水，将水倒入圆

锥形的杯子中刚好倒满，则圆柱的高与圆锥的高的比是______.

的练一练

如图，瓶的下部是圆柱且瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯

子中，能倒满杯.

例3

■_一

真真和文文准备把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长

5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径为10厘米的圆锥体铁块，求圆锥体的高.

iff练一练

把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米和3厘米的长方体和一块棱长是5厘米的正方体铁

块熔铸成一个圆柱体，它的底面半径是4厘米.

（1）圆柱体的高是多少厘米？

（2）这个圆柱体的重量是多少？（每立方厘米铁重7.8克，精确到1克）

如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米

的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是多少平方米?

〃练一练

图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴.已知纸的

厚度为0.4毫米，这卷纸展开后大约有多长？

例5

如图1,深20厘米的长方形水箱装满水放在平台上.

（1）当水箱像图2那样倾斜，水箱中流出水的《，这时48长多少厘米？

（2）如图3,当水箱这样倾斜到A8的长度为8cm后，再把水箱放平，如图4,这时水箱中

水的深度是多少厘米？

的练一练

如图，在一个高度为40厘米的无盖长方体容器中装满水，平放在桌面上.如果把它如下图

那样斜放，则水会流出且，这时BC的长度是多少厘米？

唾）［）模块二水中浸物

----------.........-知识剖析--------------------------------

水中浸物问题分为完全浸没、部分浸没和水溢出：

♦完全浸没，水面上升部分的体积等于物体的体积（水上升的高度’容器的底面积），或

者把物体从水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积；水的高度=弋也;

♦部分浸没时，水面上升部分的体积等于浸在水中部分物体的体积，或者是用回字底（容

器的底面积-浸入物体的底面积）’水面的高度差；水的高度

3回3容7物

♦当水溢出时，水的高度等于容器的高度.

在解答这类问题时，若不知道水中浸物处于那种状态，那么假设为部分浸没，当水的高

度大于物体的高度，那么为完全浸没，当水的高度小于物体的高度，则为部分浸没.

例题：一只乌鸦发现瓶子里有水，瓶子是一个底面边长为4厘米的正方形，水的高度为2

厘米.瓶子的高度为7厘米，由于瓶口太小，水面又太低，怎么办呢？聪明的乌鸦发现周

围有小石子，于是衔来石子，放入瓶中.每放进一块小石子，水面就会上升一次；投进的

石子体积越大，水面上升得就越高.等到水升高到瓶口，乌鸦就喝到水了.

解析：这是因为投入的石子有“体积”，要占据一定的空间，于是，它就把与它体积相等的

水“挤”上去.也就是说，被“挤“上去的水的体积恰好等于投进石子的体积.

具体的计算方式是这样的：这个长方体器皿底面是边长4厘米的正方形，放入石头后水面

上升了5厘米，那么，石头的体积是4x4x5=80（立方厘米）.到这里，你一定会高兴地

叫起来：”那我也会求鸡蛋的体积了.”乌鸦的聪明之处，在于它借助小石子，使瓶中的水

面上升，从而喝到了它想喝的水.

真真做了一个实验，将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放到一个装

有水的圆柱体玻璃杯，这个玻璃杯底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米.你

帮他算一下水深是多少厘米？

的练一练

一只装有水的圆柱体玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米.现将一

个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后，水深是多少厘米？

c随堂练习

练习1有一种饮料的瓶身如下图所示，容积是3升.现在它里面装了一些饮料，正放时饮

料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米，那么瓶内现有饮料多少升？

练习2把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁皮和一个棱长5厘米的

正方体铁块，熔铸成一个底面直径为5厘米的圆锥体铁块，求圆锥体的高.

练习3妈妈新买了一个高为15厘米的圆柱形的茶杯放在桌面上，小明抽掉外面纸质的圆柱形

包装，并将此圆柱形包装割拼成一个等底的近似长方体后，表面积增加了90平方厘

米，（纸的厚度忽略不计）如图①所示.

圆柱形包装图①图②

（1）这只茶杯占据桌面的大小是多少平方厘米？（不取3.14,下同）

（2）茶杯中部的一圈装饰带很好看，那是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上去的（如图②），

装饰带宽5厘米，这一圈装饰带至少有多少平方厘米？（接头处忽略不计）

（3）这只茶杯装满水后的体积是多少？

练习4厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱（纸卷得很紧，没有空隙），它的外直

径是180厘米，内直径是50厘米，这卷铜版纸的总长是多少米?

练习5—只装有水的圆柱体玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深15厘

米.现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后，水

深是多少厘米？

金,思维提升

提升1有一个深12分米的长方体容器，其内侧底面为边长9分米的正方形，当容器底面的

一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出，那么容器内的水有升.

提升2有A、B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的.现在往两

个容器中以每分钟0.4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等.设B

的底面半径为2厘米，那么A的底面直径是多少厘米？

提升3牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏，这样一支牙膏可

以用36次，该品牌牙膏推出新的包装，牙膏总量不变，只是将出口处直径改为6毫

米，小红还是按习惯挤出1厘米的牙膏，这样一支牙膏能用多少次？

极限挑战G

挑战1有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米，宽为12厘米的长方形，原本在水槽里

盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）.如果在水槽