(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习08《对数与对数函数》巩固练习（教师版）

新高考数学一轮复习08《对数与对数函数》巩固练习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3计算(log29)(log32)＋logaeq\f(5,4)＋loga(eq\f(4,5)a)(a＞0，且a≠1)的值为()A.2B.3C.4D.5【答案解析】答案为：B.解析：原式＝(2log23)(log32)＋logaa＝2×1＋1＝3.LISTNUMOutlineDefault\l3函数f(x)＝SKIPIF1<0的定义域是()A.(﹣eq\f(1,3)，＋∞)B.(﹣eq\f(1,3)，0)∪(0，＋∞)C.[﹣eq\f(1,3)，＋∞)D.[0，＋∞)【答案解析】答案为：B.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1>0，,ln3x＋1≠0，))解得x＞﹣eq\f(1,3)且x≠0，故选B.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A.log2xB.eq\f(1,2x)C.log0.5xD.2x﹣2【答案解析】答案为：A.解析：由题意知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1).∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.LISTNUMOutlineDefault\l3函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为()【答案解析】答案为：A.解析：由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称.设g(x)＝loga|x|，先画出x＞0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x＜0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.LISTNUMOutlineDefault\l3函数y＝eq\f(xln|x|,|x|)的图象可能是()【答案解析】答案为：B.解析：易知函数y＝eq\f(xln|x|,|x|)为奇函数，故排除A，C；当x＞0时，y＝lnx，只有B项符合.故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3函数f(x)＝loga(x2﹣4x﹣5)(a＞1)的单调递增区间是()A.(﹣∞，﹣2)B.(﹣∞，﹣1)C.(2，＋∞)D.(5，＋∞)【答案解析】答案为：D.解析：由函数f(x)＝loga(x2﹣4x﹣5)得x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5.令m(x)＝x2﹣4x﹣5，则m(x)＝(x﹣2)2﹣9，m(x)在[2，＋∞)上单调递增，又由a＞1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是()A.b＜a＜cB.b＜c＜aC.c＜b＜aD.a＞b＞c【答案解析】答案为：B.解析：a＝log50.5＞log50.2＝﹣1，b＝log20.3＜log20.5＝﹣1，c＝log0.32＞log0.3eq\f(10,3)＝﹣1，log0.32＝eq\f(lg2,lg0.3)，log50.5＝eq\f(lg0.5,lg5)＝eq\f(lg2,－lg5)＝eq\f(lg2,lg0.2).∵﹣1＜lg0.2＜lg0.3＜0，∴eq\f(lg2,lg0.3)＜eq\f(lg2,lg0.2)，即c＜a，故b＜c＜a.故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3对任意的正实数x，y，下列等式不成立的是()A.lgy﹣lgx＝lgeq\f(y,x)B.lg(x＋y)＝lgx＋lgyC.lgx3＝3lgxD.lgx＝eq\f(lnx,ln10)【答案解析】答案为：B.解析：由对数的运算性质可知lgx＋lgy＝lg(xy)，因此选项B错误.LISTNUMOutlineDefault\l3函数f(x)＝eq\f(1,2)x2﹣2ln(x＋1)的图象大致是()【答案解析】答案为：A.解析：∵函数f(x)＝eq\f(1,2)x2﹣2ln(x＋1)的定义域满足x＋1＞0，∴x＞﹣1.当x＝0时，可得f(0)＝eq\f(1,2)×02﹣2ln(0＋1)＝0，则排除选项B、D；又f(﹣eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)×(﹣eq\f(1,2))2﹣2×ln(﹣eq\f(1,2)＋1)＝eq\f(1,8)﹣lneq\f(1,4)＝eq\f(1,8)＋ln4＞0，则排除选项C.故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝lg(eq\r(1＋4x2)＋2x)＋2，则f(ln2)＋f(lneq\f(1,2))＝()A.4B.2C.1D.0【答案解析】答案为：A.解析：由函数f(x)的解析式可得：f(x)＋f(﹣x)＝lg(eq\r(1＋4x2)＋2x)＋2＋lg(eq\r(1＋4x2)﹣2x)＋2＝lg(1＋4x2﹣4x2)＋4＝4，∴f(ln2)＋f(lneq\f(1,2))＝f(ln2)＋f(﹣ln2)＝4.故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3若函数y＝log2(mx2﹣2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是()A.(0,3)B.[0,3)C.(0,3]D.[0,3]【答案解析】答案为：B.解析：由题意知mx2﹣2mx＋3＞0恒成立.当m＝0时，3＞0，符合题意；当m≠0时，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝－2m2－12m<0，))解得0＜m＜3.综上0≤m＜3，故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝loga(2x﹣a)在区间[eq\f(1,2)，eq\f(2,3)]上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围是()A.(eq\f(1,3)，1)B.[eq\f(1,3)，1)C.(eq\f(2,3)，1)D.[eq\f(2,3)，1)【答案解析】答案为：A.解析：当0＜a＜1时，函数f(x)在区间[eq\f(1,2)，eq\f(2,3)]上是减函数，所以loga(eq\f(4,3)﹣a)＞0，即0＜eq\f(4,3)﹣a＜1，解得eq\f(1,3)＜a＜eq\f(4,3)，故eq\f(1,3)＜a＜1；当a＞1时，函数f(x)在区间(eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))eq\f(1,2)，eq\f(2,3)eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(,,,,)))上是增函数，所以loga(1﹣a)＞0，即1﹣a＞1，解得a＜0，此时无解.综上所述，实数a的取值范围是(eq\f(1,3)，1).二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3已知4a＝5b＝10，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝________.【答案解析】答案为：2.解析：∵4a＝5b＝10，∴a＝log410，eq\f(1,a)＝lg4，b＝log510，eq\f(1,b)＝lg5，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝lg4＋2lg5＝lg4＋lg25＝lg100＝2.LISTNUMOutlineDefault\l3计算：SKIPIF1<0＝________.【答案解析】答案为：26.解析：原式＝1﹣lg3＋lg3＋25＝26.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a＞0，且a≠1，函数y＝loga(2x﹣3)＋eq\r(2)的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.【答案解析】答案为：SKIPIF1<0.解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x﹣3)＋eq\r(2)的图象恒过点P(2，eq\r(2))，则2α＝eq\r(2)，所以α＝eq\f(1,2)，故幂函数为f(x)＝SKIPIF1<0.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝loga(8﹣ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.【答案解析】答案为：(1，eq\f(8,3)).解析：当a＞1时，f(x)＝loga(8﹣ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8﹣2a)＞1，解得1＜a＜eq\f(8,3).当0＜a＜1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8﹣a)＞1，解得a＞4，且0＜a＜1，故不存在.综上可知，实数a的取值范围是(1，eq\f(8,3)).三 、解答题LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)﹣2)，其中a是大于0的常数.(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确定a的取值范围.【答案解析】解：(1)由x＋eq\f(a,x)﹣2＞0，得eq\f(x2－2x＋a,x)＞0，当a＞1时，x2﹣2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}；当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1﹣eq\r(1－a)或x＞1＋eq\r(1－a)}.(2)设g(x)＝x＋eq\f(a,x)﹣2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，∴g′(x)＝1﹣eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2)＞0.因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.则f(x)min＝f(2)＝lgeq\f(a,2).(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)＞0.即x＋eq\f(a,x)﹣2＞1对x∈[2，＋∞)恒成立.∴a＞3x﹣x2.令h(x)＝3x﹣x2，x∈[2，＋∞).由于h(x)＝﹣(x﹣eq\f(3,2))2＋eq\f(9,4)在[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.故a＞2时，恒有f(x)＞0.因此实数a的取值范围为(2，＋∞).LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝loga(3﹣ax).(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.【答案解析】解：(1)∵a＞0且a≠1，设t(x)＝3﹣ax，则t(x)＝3﹣ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3﹣2a，∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3﹣ax＞0恒成立.∴3﹣2a＞0，∴a＜eq\f(3,2).又a＞0且a≠1，∴a∈(0,1)∪(1,eq\f(3,