(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习23《平面向量的数量积》巩固练习（教师版）

新高考数学一轮复习23《平面向量的数量积》巩固练习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于()A.1B.eq\r(3)C.3D.3eq\r(3)【答案解析】答案为：C解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cos30°＝2×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.LISTNUMOutlineDefault\l3若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于()A.12B.12eq\r(2)C.﹣12eq\r(2)D.﹣12【答案解析】答案为：C解析：由题意知m·n＝|m||n|cos135°＝4×6×(﹣eq\f(\r(2),2))＝﹣12eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量a＝(λ，2)，b＝(﹣1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于()A.5B.6C.eq\r(41)D.4eq\r(3)【答案解析】答案为：A解析：∵a＝(λ，2)，b＝(﹣1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即﹣λ＋4＝0，∴λ＝4，∴a＋b＝(3,4)，|a＋b|＝eq\r(32＋42)＝5.LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝﹣1，则a·(2a﹣b)＝()A.4B.3C.2D.0【答案解析】答案为：B.解析：a·(2a﹣b)＝2a2﹣a·b＝2|a|2﹣a·b.∵|a|＝1，a·b＝﹣1，∴原式＝2×12＋1＝3.LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量eq\o(BA,\s\up7(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，则∠ABC＝()A.30°B.45°C.60°D.120°【答案解析】答案为：A.解析：因为eq\o(BA,\s\up7(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，所以eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(\r(3),4)＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).又因为eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝|eq\o(BA,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC＝eq\f(\r(3),2)，所以cos∠ABC＝eq\f(\r(3),2).又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于()A.eq\r(7)B.eq\r(10)C.eq\r(13)D.4【答案解析】答案为：C.解析：依题意得a·b＝eq\f(1,2)，|a＋3b|＝eq\r(a2＋9b2＋6a·b)＝eq\r(13)，故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,3)C.eq\f(4π,3)D.﹣eq\f(2π,3)【答案解析】答案为：A.解析：∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝﹣4，cos＜a，b>＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－4,2×4)＝﹣eq\f(1,2)，∴a，b＝eq\f(2π,3)，故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m﹣n)，则λ＝()A.﹣4B.﹣3C.﹣2D.﹣1【答案解析】答案为：B.解析：∵(m＋n)⊥(m﹣n)，∴(m＋n)·(m﹣n)＝m2﹣n2＝(λ＋1)2＋1﹣(λ＋2)2﹣4＝0，解得λ＝﹣3.故选B.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a﹣c)·(b﹣c)＝0，则|c|的最大值是()A.1B.2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)【答案解析】答案为：C.解析：因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a﹣c)·(b﹣c)＝﹣c·(a＋b)＋|c|2＝﹣|c||a＋b|·cosθ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|cosθ＝eq\r(2)cosθ≤eq\r(2)，所以|c|的最大值是eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为eq\f(π,4)，则|b|＝()A.6B.3eq\r(2)C.2eq\r(2)D.3【答案解析】答案为：D.解析：因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|·coseq\f(π,4)，所以|a＋b|＝3eq\r(2)，将|a＋b|＝3eq\r(2)两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量a＝(﹣2，m)，b＝(1,2)，若向量a在向量b方向上的投影为2，则实数m＝()A.﹣4B.﹣6C.4D.eq\r(5)＋1【答案解析】答案为：D.解析：由题意可得a·b＝﹣2＋2m，且|b|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，则向量a在向量b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－2＋2m,\r(5))＝2，解得m＝eq\r(5)＋1.故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是()A.(﹣6，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6，－\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，＋∞))【答案解析】答案为：C解析：因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，所以a·b＝6＋m，因为向量a，b的夹角是锐角，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b＝6＋m>0，,2－3m≠0，))解得m>﹣6，且m≠eq\f(2,3).所以实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3设平面向量a＝(3,5)，b＝(﹣2,1)，则|a＋2b|＝________.【答案解析】答案为：5eq\r(2).解析：∵|a＋2b|2＝(﹣1)2＋72＝50，∴|a＋2b|＝5eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3已知两个单位向量a，b满足|a＋2b|＝eq\r(3)，则a，b的夹角为________.【答案解析】答案为：eq\f(2π,3).解析：因为|a＋2b|＝eq\r(3)，所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝(eq\r(3))2.又a，b是两个单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＝﹣eq\f(1,2).因为a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝﹣eq\f(1,2)，则a，b的夹角为eq\f(2π,3).LISTNUMOutlineDefault\l3a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于_______.【答案解析】答案为：eq\f(16,65).解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋x＝3，,6＋y＝18，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝12，))故b＝(﹣5,12)，所以cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(16,65).LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝(m,1)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(2﹣m，﹣4)，若eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＞11，则m的取值范围为________.【答案解析】答案为：(7，＋∞).解析：由向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝(m,1)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(2﹣m，﹣4)，得eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝(2，﹣3).又因为eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＞11，所以2m﹣3＞11，解得m＞7.三 、解答题LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n=(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为eq\f(π,3)，求x的值.【答案解析】解：(1)若m⊥n，则m·n=0.∴eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx=0，∴tanx=1.(2)∵m与n的夹角为eq\f(π,3)，∴m·n=|m||n|coseq\f(π,3)=1×1×eq\f(1,2)=eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx=eq\f(1,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))=eq\f(1,2).又x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，∴x－eq\f(π,4)=eq\f(π,6)，即x=eq\f(5π,12).LISTNUMOutlineDefault\l3已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b).【答案解析】解：由已知得，a·b＝4×8×（-eq\f(1,2)）＝－16.(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×∴|a＋b|＝4eq\r(3).②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×∴|4a－2b|＝16eq\r(3).(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cosA，sinA)，n＝(eq\r(2)﹣sinA，cosA)，且|m＋n|＝2.(1)求角A的大小；(2)若b＝4eq\r(2)，c＝eq\r(2)a，求△ABC的面积.【答案解析】解：(1)∵m＋n＝(eq\r(2)＋cosA﹣sinA，cosA＋sinA)，∴|m＋n|＝eq\r(\r(2)＋cosA－sinA2＋cosA＋sinA2)＝SKIPIF1<0.∵|m＋n|＝2，∴sin(A﹣eq\f(π,4))＝0，又0＜A＜π，∴﹣eq\f(π,4)＜A﹣eq\f(π,4)＜eq\f(3π,4)，∴A﹣eq\f(π,4)＝0，即A＝eq\f(π,4).(2)∵c＝eq\r(2)a，A＝eq\f(π,4)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(sinC,sinA)＝eq\r(2)，∴sinC＝1，又0＜C＜π，∴C＝eq\f(π,2).∴△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝eq\f(1,2)×(4eq\r(2))2＝16.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝eq\f(5,13).(1)若sinA＝eq\f(4,5)，求cosC；(2)若b＝4，求eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))的最小值.【答案解析】解：(1)在△ABC中，由cosB＝eq\f(5,13)得，sinB＝eq\f(12,13)，∵sinB＝eq\f(12,13)>sinA，∴B>A，故A为锐角，∴cosA＝eq\f(3,5)，∴cosC＝﹣cos(A＋B)＝﹣cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f(33,65).(2)由余弦定理b2＝a2＋c2﹣2accosB得，16＝a2＋c2﹣eq\f(10,13)ac≥2ac﹣eq\f(10,13)ac＝eq\f(16,13)ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，∴eq\o