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文档简介
第第页§2.7对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.知识梳理1.对数的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数,记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数,记作lnN.2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质:loga1=0,logaa=1,SKIPIF1<0=N(a>0,且a≠1,N>0).(2)对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:①loga(MN)=logaM+logaN;②logaeq\f(M,N)=logaM﹣logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R).(3)换底公式:logab=eq\f(logcb,logca)(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).3.对数函数的图象与性质y=logaxa>10<a<1图象定义域(0,+∞)值域R性质过定点(1,0),即x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数4.反函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.常用结论1.logab·logba=1,SKIPIF1<0=eq\f(n,m)logab.2.如图给出4个对数函数的图象则b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),-1)).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.()(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.()(3)函数y=logaeq\f(1+x,1-x)与函数y=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)是同一个函数.()(4)函数y=log2x与y=SKIPIF1<0的图象重合.()教材改编题1.函数y=loga(x﹣2)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点.2.计算:(log29)·(log34)=.3.若函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=.题型一对数式的运算例1(1)设2a=5b=m,且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=2,则m等于()A.eq\r(10)B.10C.20D.100(2)计算:log535+SKIPIF1<0﹣log5eq\f(1,50)﹣log514=.教师备选计算:eq\f(1-log632+log62·log618,log64)=.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.跟踪训练1(1)已知a>b>1,若logab+logba=eq\f(5,2),ab=ba,则a+b=.(2)计算:lg25+lg50+lg2·lg500+(lg2)2=.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)=loga(2x+b﹣1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()A.0<a﹣1<b<1B.0<b<a﹣1<1C.0<b﹣1<a<1D.0<a﹣1<b﹣1<1(2)若方程4x=logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))上有解,则实数a的取值范围为.教师备选已知x1,x2分别是函数f(x)=ex+x﹣2,g(x)=lnx+x﹣2的零点,则SKIPIF1<0+lnx2的值为()A.e2+ln2B.e+ln2C.2D.4思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.跟踪训练2(1)已知函数f(x)=logax+b的图象如图所示,那么函数g(x)=ax+b的图象可能为()(2)设x1,x2,x3均为实数,且SKIPIF1<0=lnx1,SKIPIF1<0=ln(x2+1),SKIPIF1<0=lgx3,则()A.x1<x2<x3B.x1<x3<x2C.x2<x3<x1D.x2<x1<x3题型三对数函数的性质及应用命题点1比较指数式、对数式大小例3(1)设a=log3e,b=e1.5,c=SKIPIF1<0,则()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b(2)设a=log63,b=log126,c=log2412,则()A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a命题点2解对数方程不等式例4若loga(a+1)<loga(2eq\r(a))<0(a>0,a≠1),则实数a的取值范围是.命题点3对数性质的应用例5设函数f(x)=ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|,则f(x)()A.是偶函数,且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞))上单调递增B.是奇函数,且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2)))上单调递减C.是偶函数,且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(1,2)))上单调递增D.是奇函数,且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(1,2)))上单调递减教师备选1.已知a=log23,b=2log53,c=SKIPIF1<0,则a,b,c的大小关系为()A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a2.若f(x)=lg(x2﹣2ax+1+a)在区间(﹣∞,1]上单调递减,则a的取值范围为()A.[1,2)B.[1,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个问题:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成.跟踪训练3(1)若实数a,b,c满足loga2<logb2<logc2<0,则下列关系中正确的是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b(2)若函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax,x≥2,,-logax-4,0<x<2))存在最大值,则实数a的取值范围是.(3)已知f(x)=1+log3x(1≤x≤9),设函数g(x)=f2(x)+f(x2),则g(x)max﹣g(x)min=.课时精练1.设a=eq\f(1,2),b=log7eq\r(5),c=log87,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)=1,则f(x)等于()A.log2xB.eq\f(1,2x)C.SKIPIF1<0D.2x﹣23.我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系.一般地,声音的强度用(W/m2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L1=10lg
eq\f(I,I0)(单位:分贝,L1≥0,其中I0=1×10﹣12是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).某新建的小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,则声音强度I的取值范围是()A.(﹣∞,10﹣7)B.[10﹣12,10﹣5)C.[10﹣12,10﹣7)D.(﹣∞,10﹣5)4.设函数f(x)=SKIPIF1<0若f(a)>f(﹣a),则实数a的取值范围是()A.(﹣1,0)∪(0,1)B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)C.(﹣1,0)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)5.(多选)函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1B.0<c<1C.0<a<1D.c>16.(多选)已知函数f(x)=ln(e2x+1)﹣x,则()A.f(ln2)=ln
eq\f(5,2)B.f(x)是奇函数C.f(x)在(0,+∞)上单调递增D.f(x)的最小值为ln27.log3eq\r(27)+lg25+lg4+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0的值等于.8.函数f(x)=log2eq\r(x)·SKIPIF1<0的最小值为.9.设f(x)=log2(ax﹣bx),且f(1)=1,f(2)=log212.(1)求a,b的值;(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的最大值.10.已知函数f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x),a>0且a≠1.(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(2)当a>1时,求使f(x)>0的x的解集.11.设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b12.若实数x,y,z互不相等,且满足2x=3y=log4z,则()A.z>x>yB.z>y>xC.x>y,x>zD.z>x,z>y13.函数f(x)=|log3x|,若正实数m,n(m<n)满足f(m)=f(n),且f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则n﹣m等于()A.eq\f(8,3)B.eq\f(80,9)C.eq\f(1
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