(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习2.7《对数与对数函数》(原卷版)

第第页§2.7对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，SKIPIF1<0＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM﹣logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质y＝logaxa>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．logab·logba＝1，SKIPIF1<0＝eq\f(n,m)logab.2．如图给出4个对数函数的图象则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．()(3)函数y＝logaeq\f(1＋x,1－x)与函数y＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x)是同一个函数．()(4)函数y＝log2x与y＝SKIPIF1<0的图象重合．()教材改编题1．函数y＝loga(x﹣2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点．2．计算：(log29)·(log34)＝.3．若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝.题型一对数式的运算例1(1)设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m等于()A.eq\r(10)B．10C．20D．100(2)计算：log535＋SKIPIF1<0﹣log5eq\f(1,50)﹣log514＝.教师备选计算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，则a＋b＝.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b﹣1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a﹣1<b<1B．0<b<a﹣1<1C．0<b﹣1<a<1D．0<a﹣1<b﹣1<1(2)若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为．教师备选已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x﹣2，g(x)＝lnx＋x﹣2的零点，则SKIPIF1<0＋lnx2的值为()A．e2＋ln2B．e＋ln2C．2D．4思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝logax＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝ax＋b的图象可能为()(2)设x1，x2，x3均为实数，且SKIPIF1<0＝lnx1，SKIPIF1<0＝ln(x2＋1)，SKIPIF1<0＝lgx3，则()A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1D．x2<x1<x3题型三对数函数的性质及应用命题点1比较指数式、对数式大小例3(1)设a＝log3e，b＝e1.5，c＝SKIPIF1<0，则()A．b<a<cB．c<a<bC．c<b<aD．a<c<b(2)设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则()A．b<c<aB．a<c<bC．a<b<cD．c<b<a命题点2解对数方程不等式例4若loga(a＋1)<loga(2eq\r(a))<0(a>0，a≠1)，则实数a的取值范围是．命题点3对数性质的应用例5设函数f(x)＝ln|2x＋1|﹣ln|2x﹣1|，则f(x)()A．是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增B．是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减C．是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增D．是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减教师备选1．已知a＝log23，b＝2log53，c＝SKIPIF1<0，则a，b，c的大小关系为()A．a>c>bB．a>b>cC．b>a>cD．c>b>a2．若f(x)＝lg(x2﹣2ax＋1＋a)在区间(﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1,2)B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是()A．a<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．a<c<b(2)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，x≥2，,－logax－4，0<x<2))存在最大值，则实数a的取值范围是．(3)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x)max﹣g(x)min＝.课时精练1．设a＝eq\f(1,2)，b＝log7eq\r(5)，c＝log87，则()A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．c>a>b2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于()A．log2xB.eq\f(1,2x)C．SKIPIF1<0D．2x﹣23．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10lg

eq\f(I,I0)(单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10﹣12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是()A．(﹣∞，10﹣7)B．[10﹣12，10﹣5)C．[10﹣12，10﹣7)D．(﹣∞，10﹣5)4．设函数f(x)＝SKIPIF1<0若f(a)>f(﹣a)，则实数a的取值范围是()A．(﹣1,0)∪(0,1)B．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)C．(﹣1,0)∪(1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1)∪(0,1)5.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>1B．0<c<1C．0<a<1D．c>16．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)﹣x，则()A．f(ln2)＝ln

eq\f(5,2)B．f(x)是奇函数C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增D．f(x)的最小值为ln27．log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0的值等于．8．函数f(x)＝log2eq\r(x)·SKIPIF1<0的最小值为．9．设f(x)＝log2(ax﹣bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)﹣loga(1﹣x)，a>0且a≠1.(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．11．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()A．a＋b<ab<0B．ab<a＋b<0C．a＋b<0<abD．ab<0<a＋b12．若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则()A．z>x>yB．z>y>xC．x>y，x>zD．z>x，z>y13．函数f(x)＝|log3x|，若正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)，且f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n﹣m等于()A.eq\f(8,3)B.eq\f(80,9)C.eq\f(1