【广义积分中一致收敛问题探究6800字（论文）】

广义积分中一致收敛问题研究030182前言 1TOC\o"1-3"\h\u91含参量无穷限广义积分的定义和一致收敛的定义 2108931.1含参量无穷限广义积分的定义 2141221.2含参量无穷限广义积分一致收敛的定义 2307282含参量无穷限广义积分一致收敛的判别法 281282.1定义法 2200512.2一致收敛的充要条件 3254322.3柯西判别法 4195222.4微分法 5151102.5级数判别法 8199362.6M—判别法 994232.7Abel判别法 10109402.8Dirichlet判别法 1133832.9含参量无穷限广义积分一致收敛的Heine定理 1329933判别含参量广义积分一致收敛的其他方法 15221244总结 1915348参考文献 20

摘要：广义积分是数学分析中一个重要概念，在工程技术方面应用广泛，其中不含参量广义积分是含参量广义积分的特殊形式，而且一致收敛性是含参量广义积分中极其重要的性质，故本文将重点探讨含参量广义积分的一致收敛，针对不同的情形分析、归纳、总结出几种含参量广义积分一致收敛的判别方法，并通过举例说明这些判别法的可行性及特点．研究含参量广义积分一致收敛能系统地掌握解决一致收敛问题的方法，对广义积分的计算具有重要作用．关键词：含参量广义积分；一致收敛；判别法前言广义积分是定积分的推广，广义积分的出现弥补了定积分被积分函数的有界性和积分区间的有限性两个重大缺陷．因为当积分的有穷区间变为无穷区间，便得到了无穷限广义积分，而当被积函数有界变为无界时，便得到了无界函数的广义积分（瑕积分），其中无穷限广义积分又称为第一类广义积分，无界函数的广义积分又称作第二类广义积分．此外积分可以和级数相互转化，同时还可以用积分形式表示的函数，如欧拉积分、菲涅尔积分等，在数理方程、概率论和考研中经常会出现这样的函数，在解决许多几何、物理以及其他实际问题中也涉及到广义积分，因此广义积分的诞生便有了意义与必要．由于大多数广义积分的计算十分困难，于是就希望通过对其性质的研究为计算带来便捷，其中敛散性的判别就显得很重要了．由于被积分函数的连续性保证了积分运算与极限运算可以交换次序，以及若被积分函数及其偏导数连续则求导运算与积分运算可以交换次序，再有如果被积分函数连续，那么积分与积分之间同样可以交换次序．故对于有限区间上具有连续性性质的被积分函数的分析是研究其他问题较好的切入点，于是便寄希于其它的积分也拥有同样的性质，以便能解决大多数问题，但是对于含参量广义积分的情形，事情就往往比较困难了，这就需要含参量广义积分具有比连续更好的性质，于是一致收敛应运而生．在一致收敛的条件下和被积分函数连续的情况时，累次极限可交换次序，极限与积分、求导与积分、积分与积分也可交换次序．所以判断含参量广义积分的一致收敛性变得十分重要．由于不含参量的广义积分它的敛散性的判断较为容易且前人对于不含参量的广义积分的研究已经相当透彻了，故本文将不再研究不含参量的广义积分的敛散性，将重点专研含参量广义积分一致收敛，又因含参量的瑕积分与含参量的无穷限广义积分一致收敛的判别方法类似，因此本文将研究方向偏向于研究含参量的无穷限广义积分的一致收敛性．1.含参量无穷限广义积分的定义和一致收敛的定义1.1含参量无穷限广义积分的定义定义1.1.1[2]设是定义在上的函数，其中为实数轴上一区间.若对每一个固定的，反常积分都收敛，则其值是在上取值的函数，若记作，则有，称为含参数的无穷限广义积分．1.2含参量无穷限广义积分一致收敛的定义定义1.2.1[2]若对任意给定的，存在只与有关的且，当时，对一切，都有或则称关于为一致收敛．2.含参量无穷限广义积分一致收敛的判别法2.1定义法由定义1.2.1，便可判断含参量积分的一致收敛性．例1证明在内非一致收敛，但在上一致收敛（）．证明当时，，取，对任给的，取，，有所以在内非一致收敛；对任给的，，可知，故取，则当时，对于任意的有，从而含参量积分在上一致收敛．用定义法解题是最直接的方法，它可以解决所有问题，但使用时需要学生有高度抽象的逻辑思维能力，而且对于一些较为复杂的问题，但定义法无法达到快速解决问题的效果，因此引进了以下方法．2.2含参量无穷限广义积分一致收敛的充要条件定理含参量无穷限广义积分关于一致收敛对任意的(充分大)例1证明关于在上一致收敛，但在上非一致收敛．证明注意到对充分大的，有，而，所以在上一致收敛；但，因此在上非一致收敛．例2判断在任意区间上的一致收敛性.解因为对充分大的时，有，所以 ，故在任意区间上非一致收敛.使用含参量无穷限广义积分一致收敛的充要条件的关键是将积分积出来然后取上确界最后取极限，但这些均要在积分较为容易计算出来的时候用，如果积分不容易积出来的话，此方法亦不可取.2.3柯西判别法引理1[5]设与定义在无界区域上．若 ，且对一致收敛.则对也一致收敛.证明因为对一致收敛，故对任意给定的，存在，当时，对一切，都有.取，则由可得：当时，对一切，有，于是引理1得证.引理2[5]设和定义在无界区域上.记若，满足：（1），（2）反常积分一致收敛那么关于一致收敛．证明因，由极限的有界性知存在，使得当时，对一切的，，其中为正常数.于是当时，有，于是由引理1，引理2得证．由于在，收敛，令带入上述定理中，其中，就得到了柯西判别法．定理2.3.1设定义在无界区域上．如果，且当，时关于一致收敛．例1讨论关于在上的一致收敛性．解对于有，且．由函数极限的有界性定理知，存在，使得，故对于充分大的，有，并且，这里.故关于在上一致收敛．若被积分函数和幂函数组成新的函数且新函数有界时使用柯西判别法可以较快地解决问题，但在找合适的幂函数时可能会比较困难，这时可以采用尝试错误法，但当被积分函数中的某部分不可以与幂函数组成常用的积分时便不能采用柯西判别法.2.4微分法在微积分中，积分是微分的逆运算，这便为含参量广义积分一致收敛找到了一种方法，就是利用偏导存在且满足相应条件就可证明含参量无穷限广义积分一致收敛，这种方法涉及了微分，不妨称之为微分法，下面给出了相应定理．定理2.4.1[5]设函数定义在无界区域上，且对的偏导数存在．若满足下列条件：(1)对每一个，含参量积分都收敛．(2)存在，使得对任意给定的和一切的，恒有，即关于及一致有界．则关于在上一致收敛．证明因为区间为有限闭区间，所以该区间的任何开覆盖都有有限子覆盖，即有对任意的，必存在有限个点且，使得且，由于收敛，于是对任意的()，都存在，使得对任意的有， (1)对任意的，一定存在一点，使得．令，则只与有关．同时对任意的，(1)式必然成立．根据微分中值定理及(1)式有即含参变量无穷限广义积分在上一致收敛．如果将定理2.4.1中的条件(1)减弱，再将条件(2)改变．便得出如下定理：定理2.4.2[5]设函数定义在无界区域上，且关于可微．若满足如下条件：(1)存在一点，使得收敛．(2)于一致收敛．则关于一致收敛．证明对任意，在上，对每一个，有 ， (2)由于收敛，即对任意的，存在，使得当时，有，(3)又因为在上一致收敛，故在上也是一致收敛的．所以对任意的，存在，使得当，有， (4)令，则当时(3)式和(4)式同时成立．于是由(2)式，再结合(3)式和(4)式，有故在上一致收敛．同理可证在上也一致收敛．进而关在上一致收敛．例1判断在上的一致收敛性．其中.解对于固定的，当时，，对于固定的，广义积分收敛.另一方面，积分，这里收敛，由于当时.所以由柯西判别法知，在上一致收敛，由定理2.4.2知，在内一致收敛.若含参量的偏导数不存在，此判别法就不可使用这时就要寻求其他方法，下面给出了一些新的判别法．2.5级数判别法通过教材[1]可知无穷级数和积分在某些时候可以相互转化，这就为含参量积分的一致收敛性提供了新的思想，于是就可以通过函数项级数的一致收敛性来帮助对含参量无穷限广义积分的一致收敛性进行判定．由于此方法涉及到级数故称之为级数判别法，下面就给出了相应的定理.定理2.5.1[5]设函数定义在无界区域上．若关于在上单调递减，则含参量无穷限广义积分与函数项级数关于在区间上具有相同的一致收敛性．证明由关于在上单调递减可知，对任意的和，有 ， (5)设函数项级数关于在上一致收敛，故对任意给定的，总存在，当时，对一切的及任意自然数有 ， (6)取，对任意的，令，，显然于是由式(5)及式(6)可得由定义1.2.1可知，关于在区间上一致收敛，同理可证函数项级数关于在区间上一致收敛．例题设，探究在上关于的一致收敛性.(方法1)解易得恒成立，且在上关于单调递减.对于函数项级数,其中.故有，且，又因收敛，从而收敛.故由函数项级数一致收敛的M-判别法可知，在上关于的一致收敛．因此由定理2.5.1知在上关于的一致收敛．(方法2)解因为，所以在上关于的一致收敛．2.6M—判别法定理2.6.1[2]设有函数，使得，,若收敛，则关于在上一致收敛．例1判断对（有限区间）上是否一致收敛．解利用分部积分法，，且和又因为和都收敛，故和关于一致收敛，右边第一项趋于零（当时），故在上一致收敛．例2证明对（其中）一致收敛.证明令，则，右端两个积分分别以，为瑕点，且，又因当时有所以和收敛，因此和在上一致收敛，故对一致收敛．M—判别法类似于三明治定理，M—判别法是通过与一些常见的收敛积分进行比较，从而快速判定原积分是否一致收敛，其中使用M—判别法的关键是找优函数．若用M—判别法判断出含参量广义积分一致收敛，则该积分必定是绝对收敛，虽然M—判别法对于一致收敛的判别较为实用与方便，但适用面较为狭窄，尤其是对条件收敛的积分而言该判别法就不能解决问题．例如（）就找不到与参数无关的收敛积分为优函数，就算不是这类题，有时寻找优函数也是很困难的，本文后面将会对这种问题进行解答．2.7Dirichlet判别法定理2.7.1[2]设函数定义在无界区域上，且，若满足:(1)设积分对于和一致有界，即存在，有.（2）函数为关于单调,且当时，关于一致收敛于零，即任意给定的，存在，当时，对任意的都有.那么积分关于在上一致收敛.例1证明在上内闭一致收敛.证明设，则对任意的，有而，因此一致有界．又因为因此关于单调递减，且当时，（对一致），故由Dirichlet判别法可证在上内闭一致收敛．例2试证积分在上一致收敛．证明对于，因为（，）且收敛，故在上一致收敛；对于，令，，故有其中（一致有界），而对单调，由（当时）故一致收敛于零（）（时），故由Dirichlet判别法可证关于一致收敛；综上所述，原积分在上一致收敛.2.8Abel判别法定理2.8.1[2]设函数定义在无界区域上，且，若满足:(1)关于上一致收敛.(2)对单调(即对每个固定的，作为的函数是单调的），并且为关于的一致有界，即存在对任意的，有.那么积分关于在上一致收敛．例1证明含参量积分在上一致收敛．证明易知反常积分收敛，不含参数，所以关于在一致收敛．而关于是单调函数，且（，），则函数关于为一致有界,故由Abel判别法即证在上一致收敛．在使用时要注意有的时候Dirichlet判别法要与Abel判别法连用，前者为后者服务，由定理2.7.1和定理2.8.1可知这两种判别法均是将原积分拆分成两个常见且具有某种特性的积分，再根据相应的条件对其进行判定．但有的时候原积分不容易进行拆分，或者说拆分出来的积分不能满足相应的条件，此时这两种方法便很难进行，就得另寻其它的方法.2.9含参量无穷限广义积分一致收敛的Heine定理Heine定理[6]也称归结原则，在极限理论及其应用中占有重要的地位，而数列极限和函数项级数可以联系起来，且函数项级数又可以转化为广义积分，因此可以把Heine定理推广运用到含参量广义积分一致收敛的判定中．下面首先给出了归结原则的定义，然后又给出含参量无穷限广义积分一致收敛的Heine定理.归结原则设函数定义在内，对内任意以为极限的数列，.定理2.9.1[6]含参量积分关于一致收敛对任意递增数列,()函数项级数关于一致收敛.证明因为关于一致收敛二元函数当时关于存在一致收敛对任意递增数列，，函数关于存在一致收敛．而关于一致收敛关于一致收敛.将上述定理2.9.1的中的函数限制为正函数，再将条件减弱，便得到如下定理：定理2.9.2[6]若,(，)，则关于一致收敛存在某个递增数列,()函数项级数关于一致收敛.证明“”（必要性）由定理2.9.1可直接得出结论.“”（充分性）设函数项级数关于一致收敛于，则对任意给定的，函数关于是单调递增且()，由有限覆盖定理可证关于一致收敛于（当时）.例题讨论在上的一致收敛性.解因为，取递增数列，考虑函数项级数令，得，当时，使用，有（其中）故级数在一致收敛，同理可证级数在一致收敛，因而在一致收敛.3.判别含参量广义积分一致收敛的其他方法当在解决含参量广义积分一致收敛的问题时，会遇到一些比较困难的问题，比如在使用M-判别法时很难找优函数或者优函数根本不存在或者在使用柯西判别法时原被积分函数和幂函数组成的新函数并不能满足相应的条件的问题，于是便想能不能避开找优函数和幂函数，或者能不能用其它较为简单的方法，在这里将引入较为容易且快速的定理来判别含参量广义积分的一致收敛性．定理3.1[9]设定义在上的单调连续正函数，若对任一点都有且，则在上一致收敛.证明因对任意的都有，则对任给的（此使得）,存在,当时，对中任一点有（9）又因为对任一点都有，从而对上面的同一，有，当时，对任一点有(10)取，从而对时，对上的任一点有(9)(10)两不等式同时成立.由，则有，取(可正也可负)，任给，使.由为单调连续正函数，则，进行变量替换有，亦即，也就是.由为单调连续正函数，则对时有下式成立，故，由定义知在上一致收敛.例1证明积分（）一致收敛且不能以与参数无关的收敛积分为其优积分.(方法1)证明对任意的，取（充分大），使得，下证明：当时，对一切，均有下式成立，事实上，当时，，当时，由此可知，积分在上一致收敛.最后证明，不存在这样的函数（），使（，）,(11)并且收敛．用反证法，假定有这样的函数存在，则由的收敛性可知，必存在点使得.于是令，则且，此式显然与(11)式矛盾．由此可知，一致收敛的积分的被积函数不能以参数无关的收敛积分的函数为优函数，证毕.(方法2)证明当时，有，且，由定理3.1知积分在上一致收敛．证明一致收敛的积分的被积函数不能以参数无关的收敛积分的函数为优函数的方法同上.例2证明积分在区间内一致收敛.证明因对任给的有且，则积分在区间内一致收敛.定理6.2[9]设定义在上的单调连续正函数，其中是瑕点．若对任一点都有且，则一致收敛.证明对作代换后，有对于使用定理3.1，有故当，即时，在一致收敛.例3讨论在，的一致收敛性．解易知此积分以0、1为瑕点．从而，其中，，对于：，而，当时，有.对于：，而，当时，有.故在，是一致收敛的.4.总结目前在工程设计方面广义积分运用越来越广，但广义积分尤其是含参量广义积分的计算却十分困难，因此本文研究含参量广义积分的一致收敛性是希望为广义积分的计算带来一些便捷．此外第二类广义积分可以通过变量代换变成第一类广义积分，所以可以根据第一类广义积分一致收敛的判别法得出第二类广义积分一致收敛的判别法，具体的过程本文就不在叙述了．在对含参量广义积分一致收敛进行判定时首先对整体进行大致分析，然后再思考什么方式是最容易最便捷的，最后便能在较快时间内解决问题，但在对含参量广义积分一致收敛问题的研究中，不可能利用某种方法直接得出结论，所以还需找寻其它方法加以辅助，或对积分区域、或对被积函数，其中被积分函数占比较大，因此要着重探寻一些被积函数的简化方法，借助这些方法可以使研究广义积分一致收敛的问题得以简化．比如被积分函数出现和且处于分子位置上时可以考虑用M－判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法；当被积分函数中的某部分出现标准型为的这类积分可以考虑采用级数判别法、M－判别法、柯西判别法；如果被积分函数出现时，有些时候要先采用泰勒公式，洛必达法则进行化简，然后找到解题思路，有些时候分部积分也是一个不错的思路，如果函数满足单调正函数，可以试试最后一种方法，方便快捷，但还是要具体问题具体分析，同时还需要记住某些常见函数的敛散性，这有助于快速解决问题.参考文献[1]华东师范大学数学系．数学分析(下册)[M]