结构力学课件

結構的幾何構造分析

（機動分析）

(組成分析）

§2-1幾何構造分析的幾個概念

一．體系——杆件＋約束(聯繫)

杆件：不考慮材料應變，視作剛體，平面剛體稱為“剛片”。

約束：限制剛片運動的裝置。二、兩種體系幾何不變體系——在不考慮材料應變的條件下，體系的位置和形狀不能改變。幾何可變體系——在不考慮材料應變的條件下，體系的位置和形狀可以改變。

幾何可變：形狀可變；整體（或部分）可動。幾何組成分析的目的

（1）、檢查並保證結構的幾何不變性。（體系是否可做結構?並創造新穎合理的結構形式）

（2）、區分靜定結構和超靜定結構。

（3）、指導結構的內力計算（幾何組成分析與內力分析之間有密切聯繫）。三、自由度

體系的運動自由度=體系獨立位移的數目。自由度是度量體系是否運動的數量標誌，有自由度的體系必然運動，自由度等於零的體系可能不運動。1、平面內一個自由的點：平面內一個自由的點有兩個自由度。

S=2

即：由兩個獨立的座標可唯一地確定這個點的位置。xy0AxAyA2、平面內的一個自由的剛片（平面剛片）：平面內一個自由的剛片有三個自由度。

S=3

即：由三個獨立的座標可以唯一地確定這個剛片的位置。xy0AxAyABθ四、約束（聯繫）—限制（或減少）

運動自由度的裝置1、鏈杆—兩端是鉸的剛性杆件。被約束物體不能沿鏈杆方向移動，減少了被約束物體的一個運動自由度。一根鏈杆=一個約束。AB2、單鉸—聯結兩剛片的圓柱鉸。被約束物體在單鉸聯結處不能有任何相對移動，減少了被約束物體的兩個運動自由度。

一個單鉸=兩個約束=兩根鏈杆。ⅠⅡA3、複鉸—聯結兩個以上剛片的圓柱鉸。ⅠⅡⅢA如圖：n=3–1=2個單鉸。一個複鉸=n–1

個單鉸。（n—複鉸連接的剛片數）4、實鉸與虛鉸（瞬鉸）。從暫態微小運動來看，與A點有實鉸的約束作用一樣。ⅠⅡA圖1

ⅠⅡA圖2A’無窮遠處的瞬鉸ⅠⅡ相交在∞點5、必要（非多餘）約束和多餘約束

鏈杆1、2（不共線），將A與地面相連接，為必要約束。A12A123

鏈杆1、2、3（不全共線），將A與地面相連接，只限制了兩個自由度，有一根鏈杆是多餘約束（多餘聯繫）。

必要約束：為保持體系幾何不變所需的最少約束。如果在一個體系中增加一個約束，體系的自由度因此減少，此約束稱為必要約束（或非多餘約束）。

多餘約束：如果在一個體系中增加一個約束，而體系的自由度並不因此減少，稱此約束為多餘約束。

規律1:

一個剛片與一個點用兩根鏈杆相連，且三個鉸不在一直線上，則組成幾何不變的整體，並且沒有多餘約束。ⅠABC1、一個點與一個剛片之間的聯結方式§2-2平面幾何不變體系的組成規律引論:二元體(片)規則

二元體(片）：由兩根相互不平行的鏈杆聯接一個新結點的裝置，稱為二元體（片）。二元體規則：在一個剛片上增加一個二元體，體系仍為幾何不變體系。並且無多餘約束。ⅠABC二元體Ⅰ例：

結論：在一個體系上，增加或拆除二元體（片），不會改變原體系的幾何性質。2、兩剛片之間的聯接方式

規律2：

兩剛片用一個鉸和一根鏈杆相聯結，且三個鉸不在一直線上，則組成幾何不變的整體，並且沒有多餘約束。ⅠⅡABC3、三剛片之間的聯結方式

規律3：三個剛片用三個鉸兩兩相連，且三個鉸不在一直線上，則組成幾何不變整體，且無多餘約束。ⅠⅢABCⅠⅡⅢ三剛片六鏈杆Ⅱ

規律4：兩剛片用不全交於一點也不全平行的三根鏈杆相聯，則組成的體系是沒有多餘約束的幾何不變體系。ⅠⅡ注：

（1）、以上規律，雖然表達方式不同，但可以歸納為一個基本規律，即三角形規律。說明如三鉸不共線，則一個鉸結三角形是幾何不變的，且無多餘約束。（2）、如果把Ⅰ（剛片I）看成為基礎，則規律1，說明一點的固定方式；規律2、4，說明一個剛片的固定方式；規則3，說明兩個剛片個固定方式。（三種基本的裝配方式）

（3）、每個規律中均有限制條件，如不加限制，則會有什麼情況出現？ⅠⅡOⅠⅡ瞬變體系三杆不等長瞬變三杆等長常變

瞬變體系ⅠⅡⅢABC瞬變體系的特性1、瞬變體系：某一瞬時可以發生微小運動，經過微小運動（位移）後，又成為幾何不變的體系，稱為瞬變體系。A’ABC

2、瞬變體系的特徵（靜力特徵）：A’ll①②FPFN1FN2θ

受力分析：由∑x=0FN1=FN2=FN∑y=02FNsinθ-FP=0

FN=FP/2sinθAA’BCθ趨近於零，則FN趨近於無窮大。表明：瞬變體系即使在很小的荷載作用下，也會產生很大的內力，從而導致體系迅速破壞。

結論：工程結構不能採用瞬變體系，接近瞬變的體系也應避免使用。二、幾何組成分析舉例

例1：用基本規律分析圖示體系的幾何構造。

解Ⅰ：用固定一個點的裝配方式。從基礎出發：基礎A、B→C、D→E、F→GGABCDEFCDFGEGABCDEFGABCDEF

解Ⅱ：因為基礎可視為幾何不變的剛片，可用減二元體的方法進行分析。注:二元體遇到,可以先去掉。例2：分析圖示體系

解：

固定一個剛片的裝配方式。

AB部分與基礎固結在一起，可視為一擴大的剛片Ⅰ。CD視為剛片Ⅱ，Ⅰ、Ⅱ用鏈杆1，2，3聯結。ⅠⅡ1

23

結論：幾何不變，無多餘約束。ABCD例3：分析圖示體系

解：

AB

與基礎視為擴大的剛片Ⅰ，BC視為剛片Ⅱ，用鉸B和鏈杆1聯結，滿足規律4，視為擴大的剛片Ⅰ’，CD視為剛片Ⅲ，與Ⅰ’，用鉸C和鏈杆2，3聯結。ⅠⅡ1Ⅰ’Ⅲ23有一個多餘約束。

結論：有一個多餘約束的幾何不變體系。例4：分析圖示體系解：兩剛片裝配方式。從內部出發，

①、支座杆為3，可先不考慮基礎，分析體系本身。

②、幾何不變部分，可視為一剛片。ⅠⅡ

ADC→Ⅰ，CBE→Ⅱ，ⅠⅡ用鉸C和鏈杆DE聯結滿足規律2，組成一大剛片。上部體系與基礎用3根鏈杆聯結。

結論：體系幾何不變，無多餘約束。例5：分析圖示體系解：支座杆多於3，上部體系與基礎一起分析。兩點用鉸與其他部分聯結的曲、直杆均可視為鏈杆。基礎→Ⅰ，CDE→Ⅱ，兩剛片用1，2，3鏈杆聯結。ⅠⅡ123O

由規律4，可見三杆交於一點。

結論：幾何瞬變體系。例6(a)：分析圖示體系解：用規則1，2、4均不妥。體系有九根杆，規律3適用。取三根不相鄰的鏈杆作剛片，相連的三個鉸不共線。ⅠⅡⅢOⅠⅡOⅡⅢOⅠⅢ結論：體系內部幾何不變，無多餘約束。例6(b)：分析圖示體系解：用規則1，2、4均不妥。體系有九根杆，規律3適用。取三根不相鄰的鏈杆作剛片，相連的三個鉸共線。結論：體系內部幾何瞬變。ⅠⅡⅢOⅠⅡOⅡⅢOⅠⅢ小結:

（1）、應用以上基本規律，可組成各種各樣的平面杆系體系（結構），關鍵是靈活應用。（2）、用基本規律分析平面杆系體系時，體系中所有杆件（部件）不可重複使用，也不可漏掉，否則有誤。

（3）、有些在分析中常用的方法，可歸納如下：支杆數為3，體系本身先（分析）；支杆多於3，地與體系聯；幾何不變者，常可作剛片；曲杆兩端鉸，可作鏈杆看；二元體遇到，可以先去掉。等等同學們在解題過程中，可自己總結歸納，提高解題能力和技巧。§2-3平面杆件體系的計算自由度

平面杆件體系是由若干部件（剛片、杆件或點）加入約束組成的。計算其自由度時，可以：（1）、按部件（剛片、杆件或點）都是自由的計算出自由度數目；（2）、計算全部約束（一般應分出非多餘約束和多餘約束）；（3）、兩者相減，即得出體系的自由度。計算自由度：W=（各部件自由度總和）-（全部約束數）1、一般公式（研究對象：平面杆件體系）組成=m個自由剛片+（h個單鉸+r個支座鏈杆）計算自由度=m個自由剛片的自由度數–

（h個單鉸+r個支座鏈杆）

W=3m–2h-r

(2-6)

例：m=4,h=4,r=3W=3×4-(2×4+3)=1

自由度為1，可變體系。m=5,h=6,r=3W=3×5-(2×6+3)=0

自由度為零，體系可能幾何不變。例：m=4,h=5,r=3W=3×4-(2×5+3)=-1

有多餘約束，體系可能幾何不變。m=5,h=6,r=4W=3×5-(2×6+4)=-1

有多餘約束，體系可能幾何不變。2、平面鉸接體系計算公式

（研究對象：鉸結點）

組成=j個自由的點+b

個單鏈杆

+r個支座鏈杆計算自由度=j個自由結點的自由度數

-b

個單鏈杆-r個支座鏈杆

W=2j-b-r

（2-2）

例：

j=5,b=7,r=3W=2×5-10=0

體系可能幾何不變。

j=5,b=8+（2×3–3）=11W=2×5-11=-1

體系可能幾何不變。注：1、用兩種公式計算自由度，結果相同。對平面鉸結體系，用（2-2）式較方便。

2、由於兩公式研究對象不同，計算鉸結點的數目不同。

在計算中，有時只檢查體系本身的幾何不變性而不考慮支座鏈杆，這時可以把體系的自由度分成兩部分：（1）、體系在平面內作整體運動時的自由度，其數目等於3。（2）、體系內部各部件之間作相對運動時的自由度。簡稱為內部可變度V。V=3m-2h-3(2-3)V=2j-b-3(2-4)3、計算自由度結果分析①、W＞0，或V＞0，體系是可變的。②、W=0，或V=0，如無多餘約束體系幾何不變。如有多餘約束，體系幾何可變。③、W＜0，或V＜0，體系有多餘約束，是否幾何不變則需分析。說明：

W≤0，是體系幾何不變的必要條件，非充分條件。體系的幾何組成，不僅與約束的數量有關，而且與約束的佈置有關。說明：

（1）、Ｗ≤０是體系幾何不變的必要條件，非充分條件。（2）、體系的幾何組成（是否幾何不變）不僅與約束的數量有關，而且與約束佈置有關。W=2×6-9-3=0

體系幾何不變W=2×6-9-3=0

體系幾何可變習題課Ｉ：平面杆件體系的幾何構造分析

重點：掌握用基本規律分析體系幾何組成的方法。要求:

1、明確幾何構造分析的目的和計算步驟。２、掌握用基本規律分析體系的幾何構成。３、瞭解結構的組成順序和特點。

提問:

1、為什麼要對體系進行幾何組成分析？（1）、判斷體系是否幾何不變。（2）、有助於選擇計算方法。

2、幾何組成的基本規律是什麼？應注意什麼問題？（1）、一點與一剛片（二元體）。

（2）、二剛片（兩剛片三鏈杆或一鉸一鏈杆）。

（3）、三剛片（三剛片、三單鉸）。

結論：三鉸不共線≡鉸接三角形的形狀是不變的，且無多餘約束。

幾何組成分析時，應分清剛片（組合剛片）和約束，所有部件使用不重複不遺漏。注意對於某些複雜體系，基本規律不適用。習題一：

計算圖示體系的計算自由度,並進行幾何組成分析。ⅠⅡ123ⅠⅡ4ⅠⅡⅢ∞習題二:

計算圖示體系的計算自由度,並進行幾何組成分析。Ⅰ習題三:計算圖示體系的計算自由度,並進行幾何組成分析。ⅠⅡⅢO12O23O13ⅠⅡⅢO12O13O23一虛鉸在無窮遠處ⅠⅡⅢO12O23O13兩虛鉸在無窮遠處ⅠⅡⅢO12O13O23三虛鉸在無窮遠處瞬變小結：三剛片中虛鉸在無窮遠處1、

一虛鉸在無窮遠處虛鉸方向與另外兩鉸連線不平行，幾何不變。

ⅠⅡⅢ

虛鉸方向與另外兩鉸連線平行，幾何瞬變。ⅠⅡⅢⅢ2、

兩虛鉸在無窮遠處ⅠⅡⅠⅡⅢ

兩虛鉸方向不平行（兩對平行鏈杆互不平行），體系幾何不變。

兩虛鉸方向平行（兩對平行鏈杆相互平行），體系幾何可變。3、

三虛鉸在無窮遠處ⅠⅡⅢ瞬變體系習題四:計算圖示體系的計算自由度,並進行幾何組成分析。(a)(b)(a)ⅠⅡⅢO12O13O23

瞬變體系(b)ⅠⅡⅢO12O23∞O13

瞬變體系

第一部分

靜定結構

本部分討論靜定結構。

內容包括：靜定結構的內力分析和位移計算。靜定結構分析的要點：1、如何選擇“好的”隔離體；2、怎樣建立比較簡單而又恰當的平衡方程，計算最為簡捷。基本理論：隔離體、平衡方程。

對基本原理，困難不在於理解，而在於運用；不在於知識，而在於能力。提高在四個方面：

（1）從單杆分析（梁、簡單桁架）到杆系分析，即複雜的靜定結構。（2）從靜力分析與構造分析的內在聯繫中，找出結構靜力分析的規律。（3）在靜力分析的基礎上，找出結構的受力性質與合理形式，（總結、優化和創新）。（4）從固定（恒）荷載分析到移動（活）荷載分析。第三章靜定結構的受力分析§3-1梁的內力計算回顧§3-2靜定多跨梁§3-3靜定平面剛架§3-5靜定平面桁架§3-7組合結構§3-8三鉸拱第三章靜定結構的受力分析常見：簡支梁、懸臂梁、伸臂梁。

計算方法：取全梁為隔離體，可用平面一般力系，三個平衡方程。組成：兩剛片組成規律。三個支座反力。一、單跨靜定梁的反力§3-1梁的內力計算回顧（復習）二、用截面法求指定截面上的內力計算內力的方法：截面法。橫截面上的內力：FN、FQ、M。正負號規定：軸力和剪力如圖所示。彎矩在結構力學中，不規定正負號，畫彎矩圖時，彎矩畫在受拉纖維一面，不注明正負號。dxFNFNFQFQMM（內力分量及正負號）截面內力算式：軸力=截面一邊所有外力沿杆軸切線方向的投影代數和。剪力=截面一邊所有外力沿杆軸法線方向的投影代數和。彎矩=截面一邊所有外力對截面形心的力矩代數和。三、內力圖的特徵1、荷載與內力之間的微分關係，由材力知：微元體平衡方程推導出：qxFNFQMFN+⊿FNFQ+⊿FQM+⊿Mydxxqy

2、荷載與內力之間的增量關係，Fx、Fy、MO為集中荷載:FNFQMFN+⊿FNFQ+⊿FQM+⊿MydxxFxFyMO由平衡方程得出增量關係：3、荷載與內力之間的關係

積分的幾何意義：B端軸力=A端軸力-該段荷載qx圖的面積。B端剪力=A端剪力-該段荷載qy圖的面積。B

端彎矩=A端彎矩+該段剪力圖的面積。4、剪力圖與彎矩圖的形狀特徵

（據上面的各種關係推出）梁上情

況內力圖剪力圖彎矩圖無外力區段常數(水平線)直線變化(平直線或斜直線)均布荷載qy作用區段斜直線(自左至右)拋物線(凸出方向向同qy指向)零極值集中荷載Fy作用處有突變(突變值為Fy)有尖角(尖角突出方向同Fy指向)集中力偶MO作用處無變化有突變(突變值為MO)鉸處為零注：

(１)在鉸結處一側截面上如無集中力偶作用，M＝０。在鉸結處一側截面上如有集中力偶作用，則該截面彎矩＝此外力偶值。

(２)自由端處如無集中力偶作用，則該端彎矩為零。自由端處如有集中力偶作用，則該端彎矩＝此外力偶值。14416113.680M圖

(kN•m)72

886020FQ圖(kN)x=5.6m例：用內力圖規律作梁的剪力圖和彎矩圖解：1、求支座反力2、繪剪力圖3、繪彎矩圖

控制截面：集中力（包括反力）作用點左右；分佈荷載起、終點，自由端等等。本題：A右，C左，B左，B右，D

控制截面：集中力（包括反力）作用截面；分佈荷載起、終點；集中力偶作用截面左右；自由端；剪力零點處等等。本題：A，C左，C右，B，DFyA=72kN（↑）FyB=148kN（↑）FyAFyBAB2mFP=20kNM=160kN•mq=20kN/m8mCD2m四、分段疊加法作彎矩圖1.簡支梁彎矩疊加.梁上荷載:跨間荷載FP(或q),

杆端力偶,MA、

MB。分為兩組:(1)MA,

MB

單獨作用,M圖是直線,(2)FP

單獨作用,M0

圖是折線。在M圖的基礎上加

MO

,即為總的M圖。abl=MAFPMAMBABCMAMBMAMBFPFPab/lMBFPab/l+M

圖M0

圖M

圖注：

（1）彎矩圖疊加,是縱坐標疊加,不是圖形的簡單拼合,其關係為:

（2）同側彎矩縱坐標相加，異側彎矩縱坐標相減。MO的豎標⊥梁軸線。M(x)＝M（x）＋MO（x）

2、結構中任意直杆段彎矩的疊加法取AB段

跨中荷載q杆端力：彎矩MAB，MBA

剪力FQAB，FQBA軸力FNAB，FNBA不影響彎矩，可暫不予考慮。比較相應簡支梁跨中荷載q杆端彎矩MAB，MBA支座反力FYA，FYB

應用平衡條件分別可從b），c）中得出：FQAB，FQBA

和FYA0，FYB0

可知：FYA0=FQAB，FYB0=FQBA

故知：b），c）中，彎矩圖完全相同。作任意直線段彎矩圖

歸結作相應簡支梁彎矩圖。lABqFPABM0(a)BAqFQBAFQABFNBAFNABMBAMAB(b)qABMABMBAFYA0FYB0(c)(d)MABMBAqlAB2/8用分段疊加法作直杆M圖的步驟(1)、豎：用截面法求杆端彎矩。(2)、聯：將杆兩端彎矩縱標聯以直線(3)、疊加：以聯線為基礎，疊加由於杆跨上荷載所產生的簡支梁彎矩圖。3、梁彎矩圖的一般作法(1)求控制截面（點）的彎矩值，畫在圖上。（控制點：集中力作用處，分佈q的起、終點等）(2)分段作M圖，取“無荷段連直線，有荷段加簡支”。五、示例：作圖示簡支梁的內力圖。q=20kN/mFP=40kNFyA=70kNFyB=50kN解：1、求支座反力2、作剪力圖+-701050FQ圖（kN)3、作彎矩圖1204010040100

M圖（kN·m)例：作圖示梁的內力圖。FP=40kNq=20kN/mM=20kN·m1、求支座反力。FyA

=35kNFyB=45kN2、作彎矩圖。3040×2/4=20352020×22/8=10

M圖(kN·m)§3-2靜定多跨梁由中間鉸將若干根梁（簡單梁）聯結在一起而構成的靜定梁，稱為靜定多跨梁。1、幾何組成：基本部分+附屬部分。（1）、基本部分：不依賴其他部分，本身能獨立承受荷載並維持平衡。（2）、附屬部分：依賴於其他部分而存在。2、層疊圖和傳力關係（1）、附屬部分荷載傳基本部分或支撐它的附屬部分。（2）、基本部分的荷載對附屬部分無影響，從層疊圖上可清楚的看出來。3、計算原則先計算附屬部分，再計算基本部分。

組成：先固定基本部分，再固定附屬部分（搭）。計算：先計算附屬部分，再計算基本部分（拆）。FP1FP1FP2FP2FP3FP3FP1FP1FP2FP2FP3FP3例：作圖示梁的內力圖FPABCDEFG2aaaaaa/2ABFPDFGCEFPDFGFP/23FP/2CEFP/2FP/2FPABFP/2FP/43FP/4ABCDEFGABCDEFGFPa/2FPa/2FPa/2FPFP/2FP/2FP/4M圖Q圖FPDFGFP/23FP/2CEFP/2FP/2FPABFP/2FP/43FP/4例：6kN10kN2kN2kN/m3+2=5kN2kN4kN12.5kN2.5kN13kN9kN8kN·m15kN·m7.5kN·m10kN·m2.5kN12kN·m4kN·m16kN·m2kN/m6kN3kN10kN2kN10kN·m15kN·m7.5kN·m8kN·m12kN·m4kN·m16kN·mM圖多跨靜定梁的彎矩圖10kN2kN2kN/m3+2=5kN2kN4kN12.5kN2.5kN13kN9kN6kNFQ圖

(kN)+2.57.55-+24-97+-2+10kN·m2.5kN10kN·m15kN·m7.5kN·m8kN·m12kN·m16kN·mM圖21kN·m14.25kN·m21.25kN·m4kN·m16kN·m4kN·m一系列簡支梁的M圖2kN/m6kN3kN10kN2kN§3-3靜定平面剛架

一、剛架的特點（組成及類型）

1、剛架：由梁柱相互剛結（或部分鉸接）組成，主要由剛結點維持的幾何不變的體系。

優點：剛度大，淨空大，應用廣。變形特點：在剛結點處各杆不能發生相對轉動，各杆件可以產生彎曲、剪切、軸向變形。受力特點：內力相應有M，FQ，FN。杆件可稱為“梁式杆”。FP1FP22、類型二、靜定剛架支座反力：求解靜定剛架時，懸臂式剛架可先不求反力；簡支式剛架、三鉸式剛架和組合類型剛架，一般應先求反力，再進行內力計算。三、各杆的杆端內力

1、計算方法：隔離體，平衡方程，截面法。

2、內力表示方法：內力符號雙腳標，兩個字母表示兩個杆端,第一個字母表示杆端力是哪一端的，如MAB為AB杆A端的彎矩。3、內力正負號規定：彎矩M—不規定正負方向，彎矩圖縱坐標畫在杆件受拉纖維一邊。剪力FQ—規定同材力。軸力FN—規定同材力。4、計算步驟反力→M圖→FQ圖→FN圖→校核四、例題1、懸臂剛架解:(1)、計算支座反力。(2)、作彎矩圖。先求各杆杆端彎矩，再用分段疊加法作彎矩圖。FP1=1kNFP2=4kNq=0.4kN/mFxA=3kNFyA=3kNFP3=1kNMA=15kN·mCBFP1=1kNMBCBDEFP2=4kNFP3=1kNMBEABq=0.4kN/mMBAFxA=3kNFyA=3kNMA=15kN·mBFQBCFQBEFQBA作隔離體圖,如左圖:FP1=1kNFP2=4kNFP3=1kNq=0.4kN/m（2）、作彎矩圖:求各杆杆端彎矩:CB段:

MCB=0MBC=1kN·m(左側受拉)BE段:

MEB=0MBE=-4kN·m(上側受拉)BA段:MBA=5kN·m(左側受拉)MAB=15kN·m(左側受拉)14425151.25

M圖(kN·m)CBFP1=1kNMBCBDEFP2=4kNFP3=1kNMBEABq=0.4kN/mMBAMA=15kN·mBFQBCFQBEFQBA（3）、作剪力圖:

由杆件平衡計算杆端剪力,再由規律作剪力圖。CB杆：FQBC=+1kNFQCB=?BE杆：FQBE=+3kNFQEB=?BA杆：FQBA=+1kN

FQBC=?由杆件平衡計算杆端剪力，再由規律作剪力圖。CB杆：FQBC=+1kNFQCB=?BE杆：FQBE=+3kNFQEB=?BA杆：FQBA=+1kN

FQBC=?+1+31-3+

FQ

圖(kN)（4）、作軸力圖:由結點平衡計算杆端軸力，再由規律作軸力圖。B113FNBC=0FNBC=-3kNFNBC=0-3FN

圖(kN)（5）、校核：由結點彎矩平衡校核彎矩計算是否正確。用計算中未使用過的隔離體平衡條件校核結構內力計算是否正確。BMBC=1kN·mMBE=4kN·mMBA=5kN·mFP1=1kNFP2=4kNFP3=1kN1kN3kN5kN·m2、簡支剛架解:（1）、求支座反力∑y=0FCy=80kN(↑)40kN40kN·m20kN/mFCy=80kNFAx=120kNFBx=80kNO∑m0=0FAx=120kN(←)∑x=0FBx=80kN(→)校核：∑mC=0（2）、求杆端彎矩，作彎矩圖可利用特點，直接作彎矩圖。MAD=0MDA=120×3=360kN·m（右側受拉）MBE=0MEB=80×4=320kN·m（左側受拉）40kN40kN·m20kN/mFCy=80kNFAx=120kNFBx=80kNMGF=0MEB=40×2=80kN·m（左邊受拉）MFC=40×2=80kN·m（上邊受拉）=MCF求MDE、MED和MEC。MDE=120×3+40=400kN·m=MED（下側受拉）40kN40kN·m20kN/mFCy=80kNFAx=120kNFBx=80kN40kN·mFAx=120kNMDE40kN20kN/mFCy=80kNMECMEC=80×4-20×4×2-20×2=80kN·m（下側受拉）作彎矩圖。360400320808040（3）、校核：各剛結點彎矩是否平衡。D

M

圖（kN·m）40kN·mMDA=360kN·mMDE=400kN·mEMED=400kN·mMEB=320kN·mMEC=80kN·m3、三鉸剛架（包括有斜杆的靜定剛架）8kN/m626.325m解:1、求支座反力。36kN12kN11.077kN11.077kN∑MB=0FAy=36kN(↑)∑MA=0FBy=12kN(↑)∑x=0FAx=FBx=Fx

∑MC=06.5FBx–6FBy=0

FBx=Fx

=11.077kN(←)2、作彎矩圖。MAD=0MDA=MDC

=11.077×4.5=49.847kN·m（外側受拉）MCD=0MBE=0MEB=MEC=49.847kN·m（外側受拉）8kN/m12kN11.077kN36kN11.077kN49.4878×62/8=3649.487

M

圖(kN·m)3、作剪力圖8kN/m12kN11.077kN36kN11.077kN36kN11.077kN49.847kN·mFQDAFNDA=-11.0778kN/mα626.32549.847kN·mFQDCFQCDFNDCFNCD=30.648kN=-14.886kN49.847kN·mFQECFQCEFNCEFNEC=-7.88111.077-30.64814.886+7.811-11.077+FQ

圖(kN)4、作軸力圖8kN/m12kN36kN11.077kN11.07711.077kN30.648kN36kNFNDC=-21.892kN14.886kN7.881kNFNCD=-6.713kNFNCE=-14.303-3621.8926.713-14.303-12-

FN

圖(kN)小結：（1）、三鉸剛架在豎向荷載作用下，有水準反力。用整體三個平衡方程不能求出所有反力，需用鉸C處彎矩為零的條件。（三剛片組成的體系，求反力的特點）（2）、注意斜杆的彎矩、剪力、軸力的計算。速繪彎矩圖：l/2l/2l/2MMMFPFP2M/l2M/lM/lM/lM/lM/lFP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/24、多層多跨剛架

多層多跨靜定剛架一般有兩種基本組成形式：①、基本部分+附屬部分組成形式。②、三剛片組成形式。（1）、基本部分+附屬部分組成形式計算原則：①、進行組成分析，找出基本部分和附屬部分；②、先計算附屬部分，再計算基本部分。舉例說明：解：1、組成：基本部分：AFGB附屬部分：FHJG2、計算：先計算FHJG部分，再計算AFGB部分。計算圖示於下。

M=24kN·mFP=8kN

M=24kN·mFP=8kN

M=24kN·m3333FP=8kN33337111

M=24kN·m3333FP=8kN333371111212241212441616M

圖（kN·m）

M=24kN·m3333FP=8kN333371113-3-3+331-1+4+-4FQ

圖(kN)

M=24kN·m3333FP=8kN33337111+33-3-1-7-2+

FN

圖(kN)（2）、三剛片組成的複雜剛架解：1、上部體系為三剛片組成規律，上部體系與基礎兩剛片組成規律。2、先計算支座反力，再計算上部體系。FP=8kN8kN12kN12kNFP=8kN8kN12kN12kN8kN12kN12kN4480FP=8kN4488kN12kN12kN440FP=8kN448323232

M圖(kN·m)8kN12kN12kN440FP=8kN4488+8+-84-

FQ圖(kN)8kN12kN12kN440FP=8kN4481212+-4+-8+8-FN

圖(kN)4(3)、多層多跨剛架舉例（只討論分析過程）FPFAyFByFCyFDyFAxFDxO1FARO2FDRF1xF1yF2xF2y若荷載特殊，如上圖，可不解聯立方程。若荷載任意，則必解聯立方程組。

一、計算簡圖及受力特性1、計算簡圖

實際結構

計算簡圖§3-5靜定平面桁架2、計算假定（1）、各杆兩端用絕對光滑而無摩擦的理想鉸相互聯結。（2）、各杆的軸線都是絕對平直，且在同一平面內並通過鉸結點的中心。（3）、荷載和支座反力都作用在結點上並位於桁架平面內。3、桁架的受力特點桁架主要承受軸力，杆上的應力分佈均勻，材料可充分利用，用料節省，自重輕，大跨度結構常常採用此種結構形式。桁架的計算簡圖並不符合實際結構，桁架中存在主內力和次內力。由鉸接計算簡圖計算出的軸力稱為主內力。實際結構由於不滿足計算假定而產生的附加內力（主要為彎矩），稱為次內力。二、桁架介紹上弦杆下弦杆豎杆斜杆d節間三、桁架類型桁架可以有許多種分類方法，如：空間、平面。靜定、超靜定。外形、支座反力等。從計算方法入手，一般應按桁架的幾何組成方式分類。按照桁架的幾何組成方式分類1、簡單桁架：由基礎或一個基本三角形開始，依次增加二元體所組成的桁架。2、聯合桁架：由幾個簡單桁架按照兩剛片或三剛片相聯的組成規則聯成的桁架。3、複雜桁架：不是按照上述兩種方式組成的其他桁架。四、桁架的計算方法

（结点法、截面法及其联合应用）斜杆內力的常用演算法：注意：計算時，通常都先假定杆件內力為拉力，若所得結果為負，則為壓力。llxlyABFNFNFNFNxFNy

（3-4）在求桁架的內力時，可截取桁架的結點為隔離體，利用各結點的靜力平衡條件計算各杆的內力（軸力），此法稱為結點法。對於簡單桁架，利用結點法可計算出全部各杆的內力。注意計算按組成的相反順序。1、結點法（1）示例用結點法求圖示桁架各杆的軸力。8kN20kN解：(1)、求反力。(2)、內力計算。Fx1=8kNFy1=6kNFy2=14kN3453132結點1:∑y=0Fy13+Fy1=0

Fy13=-6kN

Fx13=-6×4/3=-8kNFN13=-6×5/3=-10kN∑x=0FN12+Fx13–8=0FN12=-(-8)+8=16kNFx1=8kNFy1=6kNFN13FN12Fy13Fx138kN20kNFx1=8kNFy1=6kNFy2=14kN345313220kN16kNFN24FN23Fx23Fy23結點2:∑y=0Fy23–20=0

Fy23=20kN

Fx23=20×1/3=6.67kNFN23=20×√10/3=21.08kN∑x=0FN24+Fx23–16=0FN24=(-6.67)+16=9.33kN8kN20kNFx1=8kNFy1=6kNFy2=14kN34531328kN10kN21.08kNFN34結點3:∑y=0-Fy34-20+6=0

Fy34=-14kN

Fx34=-14×2/3=-9.33kNFN34=-14×√13/3=-16.83kN86206.678kN20kNFx1=8kNFy1=6kNFy2=14kN3453132校核:結點4，可作校核用。Fy2=14kNFN24=9.33kNFN34=16.83kN8kN20kNFx1=8kNFy1=6kNFy2=14kN3453132注：1、簡單桁架，可按不同的結點次序組成，用結點法計算時，可按不同的順序截取結點脫離體進行計算。2、利用分力與合力的幾何關係，可用分力代替合力，以簡化計算。3、選擇適當的投影軸，一個軸垂直於一個（或幾個）未知力，避免解聯立方程。4、用結點法計算桁架軸力時，有時可利用力的滑移原理，然後用力矩方程進行計算。例如：38kN10kN8621.08kN6.6720FN34F34xF34y（2）、結點單杆

（结点汇交力系平衡的特殊情况）如果在同一結點的所有內力為未知的各杆中，除某一杆外，其餘各杆都共線，則稱該杆為此結點的單杆。有如下兩種情況：①結點只包含兩個未知力杆，且此兩杆不共線，則每杆都是單杆。②結點只包含三個未知力杆，其中有兩杆共線，則第三杆都是單杆。單杆單杆FPFP單杆關於結點單杆的一些性質：①結點單杆的內力，可由該結點的平衡條件直接求出。而非結點單杆的內力不能由該結點的平衡條件直接求出。②當結點無荷載時，單杆的內力必為零。或者，無載結點的單杆必為零杆。FN1FN2FN1=FN2=0FN1FN2FN3=FN1FN2=0FN3通常將內力為零的杆稱為“零杆”③如果依靠拆結點單杆的方法可以將整個桁架拆完，則此桁架即可應用結點法按照每次只解一個未知力的方式將各杆內力求出。aaaa10kN12345678910111210kN例：應用以上結論，簡化下列桁架的計算。FP0000000000000000例:判斷圖示桁架有幾根零杆?00000FPFP2、

截面法取部分桁架為脫離體，利用平面一般力系的平衡條件，求截斷杆內力。對於求聯合桁架中的聯繫杆，簡單桁架的指定杆，複雜桁架的特殊杆件的軸力等問題，使用截面法計算較簡便。（1）、一般情況，基本方法

求圖示桁架杆13、14、24的軸力。解：（1）、求反力。l=6dh1h2FPFPFPFPFPFyAFyB（2）、計算指定杆軸力，作截面I-I。IIl=6dh1h2FPFPFPFPFPFyAFyBIIFyAFN13FN14FN244Oa3Fx13Fy13Fx14Fy14∑M1=0求出FN24∑M4=0求出Fx13∑MO=0求出Fy14FP（2）、截面單杆

（截面平衡的特殊情况）①、截面上只截斷三根杆，且此三杆不交於一點（或不彼此平行），則其中每一杆都是截面單杆。amm②、截面上截杆件數大於三根，但除某一杆外，其餘各杆都交於一點（或都彼此平行），則此杆也是截面單杆。amm關於截面單杆的性質：截面單杆的內力可從本截面相應的隔離體的平衡條件直接求出。例：求圖示桁架杆1軸力。解：求反力。取截面I-I。由∑MD=0FN1·2a+2FP(l+a)-FP(2l-a)=0FN1=-2FP/3aal2lFPABCD12FPIIFN1例：求圖示桁架杆1軸力。解：取截面I-I。由∑MB=0FN1·d+FP·3d=0FN1=-3FPdddABFP1IIFN1d例：求圖示桁架杆1軸力。解：求反力。取截面I-I右部。由∑x’=0-FN1·cos45o+FBy·cos45o=0FN1=FBy=0.75FPa/2a/2a/2a/2a/2aFPAB1FAy=FP/4FBy=3FP/4IIx’FN1（3）、用截面法計算聯合桁架求聯合桁架的軸力，必須先用截面法求出聯接杆的內力。聯合桁架可分為兩種類型。一類是按兩剛片相聯規則組成的聯合桁架。另一類是按三剛片相聯規則組成的聯合桁架。①、按兩剛片規則組成的聯合桁架例：分析圖示桁架。ABCFP1FP2FxAFAyFyBIIFyBFN3FN2FN1解：求支座反力。作截面I—I

由∑MC=0求出FN1。FP2例：分析圖示桁架。ABCDEFFPFyA=FP/4FyB=3FP/4解：求支座反力。作截面切斷杆AC、DE、BF。FyBFN1FN2FN3∑x=0FN1=0∑M0=0FN3=-FByO∑y=0FN2=0再由結點法計算其餘杆軸力。②、按三剛片規則組成的聯合桁架

例：分析圖示桁架。ABCDEFP1FP2解：求支座反力。FxAFyBFyA用雙截面法求聯接處內力。ⅠⅠⅡⅡFP1FP2FxAFyAFyBⅠⅡⅢⅠⅡⅢFyEFyDFEyFxDFyDFxEFxCFyC3、結點法與截面法的聯合應用在桁架計算中，對於某一杆件的內力，如果只用一個的平衡條件或只作一次截面均無法解決時，可把結點法和截面法聯合起來應用，往往能收到良好的結果。實例說明。例：截面隔離體與結點隔離體聯合求解杆內力求a,b兩杆軸力。

dddddABCDFPab作截面I-IⅠⅠFNaFNb∑y=0FNcFNacos45o-FNccos45o+FP=0KKFNaFNc∑x=0FNa=-FNc

取結點K：2FNacos45o=-FPFNa=-0.707FPⅡⅡ例：多個截面隔離體與結點隔離體聯合求解求a杆軸力。

此桁架為複雜桁架。FPABCDabFyAFyBFyCⅠⅠFNaFyBFNaFNb由結點B∑x=0FNa=FNb∑y=0FNasin450+FNbsin450+FyB=0FyB=-√2

FNa①由截面I-I右∑MD=0FyC=Fna√2/3②FPABCDabFyAFyBFyCⅠⅠFNa由整體平衡:∑MA=0FyB+2FyC-FP=0③①、②→③附加：利用對稱性計算桁架條件：結構對稱，荷載（包括反力）正對稱，或反對稱。利用對稱性計算桁架時，關鍵是注意位於對稱軸上的杆件。1、正對稱荷載作用桁架對稱（非嚴格），荷載正對稱。所以反力、內力均為正對稱。FPFP12345注意結點C：FN1FN2FN1=FN2=0因為正對稱，FN1=FN2因為結點平衡，FN1

=-

FN2故只能有：2、反對稱荷載作用桁架對稱（非嚴格），荷載反對稱。所以反力、內力均為反對稱。FPFP12345注意對稱軸上的單杆——杆3。在此，只能有：

FN3=02、一般荷載作用ddddFPFPFPFP正對稱荷載反對稱荷載FP/2FP/2FP/2FP/2000000000+FP/2+FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FPFP000+FP-FP+FP/2-FP/2√2FP2-√2FP2-√2FP2√2FP2(b)(a)各杆軸力=(a)+(b)00.707FP-0.707FP-0.707FP0.707FP00+FP-FP+FP04、各類梁式桁架比較設計桁架結構時，應根據不同的情況和要求，先選定適當的桁架形式。因此就必須明確桁架的形式對其內力分佈和構造的影響，瞭解各類桁架的應用範圍。在建築結構中常用的三種桁架為：三角形桁架、平行弦桁架和拋物線形桁架。10kN10kN10kN10kN10kN-79.1-63.2-47.410-15.815-18.03075756010kN10kN10kN10kN10kN-25-40-45-2535.421.2-15-57.102540010kN10kN10kN10kN10kN-51.5-47.5-45.3+10101000454545目前常採用的鋼筋混凝土屋架形式。習題課：靜定平面桁架重點：用結點法，截面法求解靜定平面桁架的內力。要求：1、掌握靜定平面桁架的內力分析方法（結點法，截面法及其聯合應用）。會準確地使用結點、截面平衡的特殊情況，會利用對稱性求桁架內力。2、瞭解平面桁架結構的組成和分類，會根據桁架類型選擇適當的分析方法。3、會計算組合結構的內力。習題1：求a、b、c三杆軸力，注意截面選擇。aaa/2a/2aaaaaaABFPFPabc習題2：求圖示桁架各杆軸力。

注意結構的組成方式及解題順序。aaaaFPaFPFPFPFPFPIIFPFPFP-FPFPFP-√2FPFPFPFPFP習題3：求圖示桁架各杆軸力。

注意結構的組成方式及反力特點。FP4m4m4m4m3m3mABCDEFFP4m4m4m4m3m3mABCDEFIIFNEDFNBFFBxFAyEIIAB=0習題4：求a、b、兩杆軸力。

注意對稱性利用和特殊截面選擇。3m3m3m3m4mFP=40kNba特殊截面：3m3m3m3m4mFP=40kNIIⅡⅡFNaFNEAFNBFFCyIIOⅡⅡFNADFNb0FByO1FP=40kN對稱性利用：20kN20kN20kN20kNab20kN20kN20kN20kN§3-7組合結構一、組合結構：由二力杆和梁式杆組成的結構。三鉸式屋架下撐式五角形屋架加勁式吊車梁靜定組合結構二、組合結構的計算用截面平衡條件計算組合結構時，應注意被截斷的杆是二力杆，還是梁式杆。二力杆只有軸力，梁式杆一般應包括有彎矩、剪力、軸力。分析時一般應先分析體系的幾何組成，以便選擇恰當的計算方法（順序）。計算時，一般先求出支座反力和各鏈杆（二力杆）的軸力，然後計算梁式杆的內力，並作彎矩、剪力和軸力圖。例：作圖示組合結構的內力圖解：1、反力計算。

1kN1kNFyA=1.25kNFyB=0.75kN2、鏈杆內力計算。IIFyB=0.75kNCFNDE∑MC=0FNDE×1.5-0.75×4=0FNDE=2kN(拉力)2kNFNDFFNDAFNDA=2.5kN（拉力）FNDF=-1.5kN（壓力）同理可得：FNEB=2.5kN（拉力）1kN1kNFyA=1.25kNFyB=0.75kNFNEG=-1.5kN（壓力）提問：1、能否用圖示結點受力圖計算杆FD、EG的軸力？1kNFNFDFNGE2、圖示A結點受力圖是否正確?FyA=1.25kNFNDA=2.5kNFNAC為什麼？FQAC各杆軸力:+2.0+2.5-1.5-2.0-1.5-2.0+2.5

FN圖(kN)3、計算梁式杆的內力,並作內力圖。(1)、用分段疊加法作杆AC、CB的彎矩圖。1kN1kNFyA=1.25kNFyB=0.75kNAC1kN1.5kNCB1.5kNM圖(kN·m)1.25kN2.5kNFQCA2.5kN0.75FQCB2.5kN

（2）、作杆AC、CB的剪力圖AC杆:∑y=0FQCA=0.25kNFQAC=?BC杆:∑y=0FQCB=0.75kNFQCA=?AC1kN1.5kNCB1.5kN1.25kN2.5kNFQCA2.5kN0.75FQCBFQ圖(kN)2.01.5習題：作圖示組合結構的內力圖。FPaaaaFPaaaaFP0FNHG=FPHDFGFPFNFE=-2FPAEC2FP0FNCD=4FP2FPBD4FPFNDGFQDG=FPFNDCFNDB=0FQDBFBy=3FPMB=3FPa作彎矩圖，並標出各杆軸力3FPaFPa2FPa+FP-2FP+4FP0000

彎矩

軸力§3-8、三鉸拱一、拱的構成及其受力特點組成：杆件多為曲杆（也有折線杆），至少有兩個水準約束，支座不能自由移動。受力特點：在（向下的）豎向荷載作用下，支座產生（向內的）水準推力。因為有水準推力的存在，拱軸上各個截面上的彎矩通常比相應的曲梁（或簡支梁）小。拱的優點：拱軸截面中的彎矩較小，以承受軸向壓力為主。可以用抗拉性能差而抗壓性能好的材料（如磚、石材混凝土等）建造。經濟、美觀、淨空大、自重輕。拱的缺點：對支承部分的受力要求嚴格。製造較複雜。Clf拱軸線FP1FP2FP3FVAFVBFHAFHB跨度矢高拱頂拱趾CFP1FP2FP3FHAFHBFVAFVBFP1FP2FP30FVAFVB相應的曲梁FP1FP3FVARBFP2FHA二、拱的類型1、基本類型：靜定：三鉸拱超靜定：二鉸拱無鉸拱2、其他分類方法：可按：拱軸的曲線形式（如拋物線，圓，懸鏈線等）；拱軸的構造（實體式，桁架式，帶拉杆式等）；拱趾的位置（平拱，斜拱）等分類方式。實體三鉸拱平拱帶拉杆的拱斜拱三、三鉸拱的數解法(一)、支座反力的計算公式：

（注：平拱，豎向荷載）

由∑MA=0,∑MB=0可得：FVA=∑FPibi/lFVB=∑FPiai/l由∑x=0

FHA=

FHB=

FHClfFP1FP2FP3FVAFVBFHAFHBl1l2xya1a2a3b1b2b3CFP1FP2FP3

相應簡支梁由∑MA=0,∑MB=0可得：

FVA=∑FPibi/l

FVB=∑FPiai/l

由∑x=0,FHA=

FHB=

FH由∑MC=0,可以看出，與相應簡支梁相比，三鉸拱的豎向反力恰等於相應簡支梁的豎向反力。三鉸拱的水準反力公式的分子部分相當於相應簡支梁截面C處的彎矩M0C。

因此，公式可寫為：

FAy=F0VAFBy=F0VB（3-7）FH=M0C/f（3-8）

水準反力只與三個鉸的位置有關，與拱軸曲線的形狀無關。

水準反力與拱的高跨比成反比。1、彎矩的計算公式規定：使拱的內側纖維受拉的彎矩為正，反之為負。

MK=[FVAxK–FP1(xK–a1)]-FHyK

M=M0-FHy

（3-9）

由此可見，因為推力的存在，使得拱軸截面上的彎矩比相應簡支梁對應截面上的彎矩小。（二）、內力的計算公式ClfFP1FP2FP3FVAFVBFHAFHBxya1a2a3b1b2b3CFP1FP2FP3KxkykφkAKFVAFHAFP1KφkMKFQKFNK2、剪力的計算公式規定：拱軸內的剪力正負號規定同材料力學。任一截面K的剪力FQK

等於該截面一側所有各力沿該截面方向投影的代數和。

FQK=FVA

cosφK–FP1

cosφK-FH

sinφK=(FVA–FP1)

cosφK-FH

sinφK

FQ=

F0Qcosφ-FH

sinφ(3-10)

式中：φ為截面K處拱軸切線的傾角，φ在左半拱為正，在右半拱為負。3、軸力的計算公式