概率论及数理统计复习资料

概率论及数理统计复习资料汇报人：AA2024-01-19CATALOGUE目录概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念和方法方差分析和回归分析初步了解典型例题解析与练习题选讲01概率论基本概念不可能事件空集∅，不包含任何样本点。必然事件包含样本空间中所有样本点的事件，即S本身。基本事件只包含一个样本点的事件。样本空间所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合，常用大写字母A、B等表示。样本空间与事件概率定义事件A发生的可能性大小，记为P(A)。概率性质非负性、规范性（必然事件的概率为1）、可加性（互斥事件的概率和）。等可能概型每个基本事件发生的可能性相同，概率等于事件包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数。概率定义及性质条件概率在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。乘法公式P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)，用于计算两个事件的交事件的概率。独立性如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。条件概率与独立性030201全概率公式与贝叶斯公式全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。贝叶斯公式在全概率公式的条件下，可以计算事件Bi已发生的条件下事件A发生的概率，即P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。02随机变量及其分布随机变量定义及分类随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量定义根据随机变量可能取值的性质，可以将其分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。随机变量分类离散型随机变量的分布律是指它在各个可能取值上的概率分布，通常用分布列或分布函数表示。分布律定义常见的离散型随机变量分布有0-1分布、二项分布、泊松分布等。常见离散型随机变量分布离散型随机变量分布律概率密度函数定义连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，它在某个区间内的积分值等于该区间内随机变量取值的概率。常见连续型随机变量分布常见的连续型随机变量分布有均匀分布、指数分布、正态分布等。连续型随机变量概率密度函数VS随机变量函数是指通过一定的函数关系将一个随机变量映射为另一个随机变量的过程。随机变量函数的分布随机变量函数的分布可以通过原随机变量的分布和函数关系求得，常见的求法有公式法和变换法。随机变量函数的定义随机变量函数分布03多维随机变量及其分布对于二维离散型随机变量(X,Y)，其所有可能取值的概率分布称为联合分布律。对于二维连续型随机变量(X,Y)，如果存在一个非负可积函数f(x,y)，使得对任意x,y，二维随机变量(X,Y)落在区域D内的概率可表示为∬Df(x,y)dxdy，则称f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合密度函数。联合分布律定义联合密度函数定义二维随机变量联合分布律/密度函数边缘分布律定义二维离散型随机变量(X,Y)中，随机变量X（或Y）自身的概率分布称为边缘分布律。边缘密度函数定义二维连续型随机变量(X,Y)中，随机变量X（或Y）自身的概率密度函数称为边缘密度函数。边缘分布律/密度函数条件分布律定义在二维离散型随机变量(X,Y)中，当已知X=x的条件下，Y取各个值的条件概率分布称为条件分布律。要点一要点二条件密度函数定义在二维连续型随机变量(X,Y)中，当已知X=x的条件下，Y的条件概率密度函数称为条件密度函数。条件分布律/密度函数定义如果对于所有的x和y，都有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，则称二维随机变量(X,Y)是相互独立的。性质相互独立的随机变量意味着一个随机变量的取值不会影响另一个随机变量的取值。在实际应用中，这个性质可以大大简化概率计算的过程。相互独立随机变量04数理统计基本概念和方法总体研究对象的全体个体组成的集合，具有共同的性质。样本从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体性质。统计量根据样本数据计算出来的用于描述样本特征的量，如样本均值、样本方差等。总体、样本和统计量当试验次数足够多时，频率趋于稳定，即事件发生的概率。大数定律不论总体分布如何，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。中心极限定理样本统计量的概率分布，如t分布、F分布、卡方分布等。抽样分布抽样分布定理用样本统计量的某个值直接作为总体参数的估计值。点估计根据样本统计量的分布性质，构造出总体参数的一个置信区间，并给出该区间包含总体参数真值的概率。区间估计参数估计方法假设检验原理及步骤假设检验原理：先对总体参数提出一个假设，然后利用样本信息判断假设是否成立。假设检验原理及步骤0102031.提出原假设和备择假设。2.选择适当的检验统计量，并确定其分布。假设检验步骤假设检验原理及步骤013.根据显著性水平和样本信息，确定拒绝域。024.根据样本观测值计算检验统计量的值，并判断是否在拒绝域内。5.作出决策：若在拒绝域内，则拒绝原假设；否则接受原假设。0305方差分析和回归分析初步了解方差分析原理方差分析是一种通过比较不同组别数据的方差来推断总体均值是否存在显著差异的统计方法。它基于F分布，通过计算组间方差和组内方差，构造F统计量，进而进行假设检验。应用场景方差分析广泛应用于医学、社会科学、经济学等领域。例如，在医学研究中，可以通过方差分析比较不同治疗方法对患者病情的影响；在社会科学中，可以比较不同群体对某一政策的态度差异；在经济学中，可以分析不同市场因素对股票价格的影响。方差分析原理及应用场景回归分析原理及应用场景回归分析是一种研究自变量与因变量之间关系的统计方法。它通过构建回归模型，描述自变量对因变量的影响程度，并可用于预测和解释数据。回归分析原理回归分析在金融、经济、医学、工程等领域有广泛应用。例如，在金融领域，可以利用回归分析预测股票价格或评估投资风险；在经济领域，可以分析消费者行为与市场需求之间的关系；在医学领域，可以研究疾病与基因、环境等因素的关系；在工程领域，可以预测产品质量或分析工艺参数对产品性能的影响。应用场景线性回归模型是一种描述自变量与因变量之间线性关系的模型。建立线性回归模型需要确定自变量和因变量，选择合适的模型形式（如一元线性回归、多元线性回归等），并通过最小二乘法等方法估计模型参数。线性回归模型建立建立线性回归模型后，需要进行模型检验以评估模型的拟合效果和预测能力。常见的模型检验方法包括残差分析、拟合优度检验（如R方值）、F检验、t检验等。这些检验方法可以帮助我们判断模型的可靠性、稳定性和适用性。模型检验线性回归模型建立与检验06典型例题解析与练习题选讲设随机事件A与B相互独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，求P(A∪B)。例题1例题2例题3设X服从参数为λ的泊松分布，求E(X)和D(X)。设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ未知，σ²已知。现有样本X₁,X₂,...,Xₙ，求μ的置信水平为1-α的置信区间。典型例题解析练习题2设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={2