专题03 一网打尽指对幂等函数值比较大小问题 （9大核心考点）（讲义）分析

PAGE1专题03一网打尽指对幂等函数值比较大小问题【目录】 2 3 3 4 8考点一：直接利用单调性 8考点二：引入媒介值 10考点三：含变量问题 11考点四：构造函数 14考点五：数形结合 18考点六：特殊值法、估算法 21考点七：放缩法、同构法 22考点八：不定方程 26考点九：泰勒展开 29指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．考点要求考题统计考情分析指对幂比较大小2022年新高考I卷第7题，5分2022年天津卷第5题，5分2022年甲卷第12题，5分2021年II卷第7题，5分2021年天津卷第5题，5分【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，应该会以压轴小题形式考查．具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力．（2）热点是灵活构造函数比较大小．（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常见函数的麦克劳林展开式：①②③④⑤⑥1．（2022•新高考Ⅰ）设，，，则A． B． C． D．【答案】【解析】构造函数，，则，，当时，，时，，单调递减；时，，单调递增，在处取最小值（1），，且，，，；，，，；设，则，令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，当时，，当时，，单调递增，，，，．故选：．2．（2022•天津）已知，，，则A． B． C． D．【答案】【解析】因为是定义域上的单调增函数，所以，即；因为是定义域上的单调减函数，所以，且，所以；因为是定义域上的单调增函数，所以，即；所以．故选：．3．（2022•甲卷）已知，，，则A． B． C． D．【答案】【解析】，，，，，构造函数，，，，，在单调递增，（8），又因为，故，故选：．4．（2021•全国）已知，则以下四个数中最大的是A． B． C． D．【答案】【解析】令，，则，，，，故最大的是，故选：．5．（2021•新高考Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是A． B． C． D．【答案】【解析】，，．故选：．6．（2021•天津）设，，，则三者大小关系为A． B． C． D．【答案】【解析】，，，，，，，故选：．7．（2020•新课标Ⅲ）设，，，则A． B． C． D．，，，．故选：．8．（2020•新课标Ⅰ）若，则A． B． C． D．【答案】【解析】因为；因为，所以，令，由指对数函数的单调性可得在内单调递增；且（a）；故选：．9．（2020•新课标Ⅲ）已知，．设，，，则A． B． C． D．【答案】【解析】解法一：由，，而，即；，，，；，，，，综上，．解法二：，，，，，，，，，，，．故选：．10．（2020•天津）设，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【答案】【解析】，，则，，，故选：．考点一：直接利用单调性利用指对幂函数的单调性判断例1．（2023·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小顺序是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，又因为在上单调递增，所以，即，因为，所以，又因为在上单调递增，所以，即，综上：.故选：D.例2．（2023·北京顺义·高三校考阶段练习）已知，，，比较a，b，c的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数在上单调递增，所以，又，所以；又因为函数在上单调递增，所以，所以.综上，.故选：C例3．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）设，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】指数函数，为减函数，∴，∵幂函数为增函数，∴，∴，∵对数函数为减函数，∴，即，∴.故选：A.考点二：引入媒介值寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．例4．（2023·天津河东·一模）已知，，，则，，的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以.故选：C.例5．（2023·湖南郴州·统考一模）有三个数：，大小顺序正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，所以.故选：A例6．（2023·江苏镇江·高三统考开学考试）设，，，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，又，，即.故选：D.例7．（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期中）下列各式大小比较中，其中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，∴，即，选项A错误；，则，得，故选项B错误；，选项C错误；，，∴，选项D正确.故选：D考点三：含变量问题对变量取特殊值代入或者构造函数例8．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）下列不等式中，正确的有（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，令，则，即证，令，则，所以在上单调递增，故，所以，即，故A正确；对于B，当时显然不成立，故B错误；对于C，当是第三象限角时，则，所以，可得，故C错误；

对于D，当时，为单调递增函数，若，则，这与矛盾，故D错误.故选：A.例9．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知正实数x，y，z满足，则不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，，则，，.选项A，，，，则，故A正确；选项B，，，，下面比较的大小关系，因为，，，所以，即，又，所以，即，故B不正确；选项C，，，，因为，又，所以，即，故C正确；选项D，，因为，所以，又，所以，故D正确；故选：B.例10．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】要比较，，中的大小，等价于比较，，中的大小，∵，由定义域可知，故，∵在定义域上单调递减，，，∵，∴，∵，∴，故，则，，，由定义域可知：，又∵，∴，则，，故，∵，，∴，，.故选：A.考点四：构造函数例11．（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校联考期中）已知，则的大小为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，设，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，，又因为，所以.故选：D.例12．（2023·河南许昌·高三统考阶段练习）设，，，则，，的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，，构造函数，则，，，，在上递增，在上递减.则有最大，即，.若有两个解，则，所以所以即,令，则，故在上单增,所以，即在上，.若，则有，即.故，所以.当时，有，故所以.综上所述：.故选：A例13．（2023·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，则，设，，设，则，当时，，所以在上单调递减，，所以，即在上单调递增，因为，所以，即，又，即，所以.故选：C.例14．（2023·湖北武汉·统考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，，又，则，，所以，对于，令，则，此时，所以.故选：A.例15．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）设，，，则（

）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜b【答案】D【解析】由，，，得，，，构造函数，则，当时，x＝1，时，，单调递减；时，，单调递增，在x＝1处取最小值，时，，即，取，得，，，即；设，则，令，，因为当时，令，，单调递减，又时，，则，即，所以，因为当时，，所以当时，，函数单调递增，又，所以，即，所以当时，函数单调递增，所以，即，，即，.故选：D例16．（2023·湖南·模拟预测）设，，，则，，的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，故构造函数，则，令，解得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，又因为，，所以，．因为，又，所以，即，故，故选：A．考点五：数形结合转化为两函数图象交点的横坐标例17．（2023·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知正数，满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，可得，，可得，，可得，且考虑和的图象相交，在同一平面直角坐标系中画出、、与的图象如下：根据图象可知.故选：B.例18．（2023·广东汕头·统考三模）已知，，，则a，b，c大小为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，可以看成与图象的交点的横坐标为，画出函数的图象如下图所示，由图象可知，.故选：D.例19．（2023·贵州贵阳·高三阶段练习）均为正实数，且，，，则的大小顺序为A． B． C． D．【答案】D【解析】作出函数，，，的图象如下图所示：则、、视为函数与函数、函数与函数，函数与函数的交点的横坐标，由图象可知.故选：D.考点六：特殊值法、估算法例20．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）若，b=1.2，c=ln3.2，则a，b，c的大小关系为（

）A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>>c【答案】A【解析】令，则，∴在上单调递增，，即，∴，又，，∵，，，故，∴．故选：A．例21．（2023·贵州贵阳·高三统考开学考试）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】构造函数，所以在上单调递增，所以，，；故只需比较与；也即比较与；也即比较与，而，，所以，所以.综上所述，.故选：B例22．（2023·湖南·校联考模拟预测）若，（）试比较的大小关系（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，故，又，故，由常用数据得，下面说明，令，，当时，，单增，当时，，单减，则，则，则，，令，则，，，则，综上，.故选：D.考点七：放缩法、同构法例23．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知正数满足（为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得，令，，则恒成立，所以在上单调递增，故，所以，B正确，，A正确，，D正确，C选项，，，又在上单调递增，，故，所以，故，设，，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，故，即，当且仅当时，等号成立，故，则，所以，又，故，C错误.故选：C例24．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）已知，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，大小不确定【答案】B【解析】由可知，，移项可得，即，当时，，此时，即，故A错，B对，当时，，此时，即，故A错，B对，当时，，此时，即，故C，D错，故选：B.例25．（2023·四川绵阳·高一统考期末）已知，，，比较a，b，c的大小为（

）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【答案】D【解析】，因函数在上单调递增，则，.，因，则.故，综上有.故选：D例26．（2023·浙江·模拟预测）已知正数，，满足，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由解得，构造函数，，显然，故是减函数，结合，故时，，故，，再令，，，当时，，故在单调递增，结合，故，，则，，所以，，，故，由，，都是正数，故．故选：D．例27．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】分别对，，两边取对数，得，，．．由基本不等式，得:，所以，即，所以．又，所以.故选：D．例28．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）间的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，则，所以在上单调递增，故，即，所以，则，即，故；因为，所以其展开通项公式为，故，，，所以，令，则，所以在上单调递增，则，即，所以，故，即；令，则，因为，所以，则，故，所以在上单调递增，则，即，易知，所以，则，即；综上可得.故选：B考点八：不定方程例29．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知实数满足：，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，即，所以，设，，设是单调递增函数，所以，所以，即，又是单调递减函数，且，所以，设设是单调递增函数，所以，所以，即又是单调递减函数，且，，所以，同理，由得，又是单调递减函数，且，，所以，由，所以且是单调递减函数，所以.综上可得故选：A例30．（2023·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则实数m的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由，，得，，于是，，令，函数在上递减，在上递增，显然，因此，令函数，，令，在上单调递减，在上单调递增，而，即，于是，因为对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则，所以实数m的取值范围是.故选：C例31．（2023·全国·长郡中学校联考二模）设实数，满足，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D