2023年3月南京金陵汇文九年级一轮复习讲义15讲【学生版无答案】

准九年级数学讲义

姓名：学校：

【写在前面】

我们面对的是怎样的中考?

【九年级数学课本目录】

第1章★一元二次方程4

第2章★对称图形---圆5

第3章数据的集中趋势和离散程度

第4章等可能条件下的概率

第5章★二次函数3

第6章★图形的相似3

第7章锐角三角形函数

第8章统计和概率的简单应用

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2

一、转化思想的理解与领悟

转化思想是数学中最重要的思想，它把我们遇到的新问题转变为我们已经解决过的问题，从而获

得问题的答案，其运用的关键是寻找新问题和我们已经解决过的问题的差异，并通过适当的方法解决

这些差异，其较难之处在于面对新问题时，应该把它转化为哪个我们已经解决过的问题，即转化对象

的寻找.

抛砖引玉

【问题提出】：学习了三角形全等的判定方法(即“SAS'、"ASA”、"A4S'、"SSS')和直角三角形

全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对

角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】：我们不妨将问题用符号语言表示为：在△48。和4

OEF中，AC=DF,BC=EF,乙B=4E.然后，对

48进行分类，可分为23是直角、钝角、锐角”三

种情况进行探究.

【深入探究】第一种情况：当乙8是直角时，AABC三4DEF.

(1)如图①，在△A8C和AOE尸中，AC=DF,

可以知道RtAABC=RtAD£F.

第二种情况：当乙8是钝角时，△A8C三△OEE.

(2)如图②，在aABC和△DE/中，AC=DF,

BC=EF,乙B=LE,且48、NE者B是钝角.

求证：AABC三ADEF.

第三种情况：当乙8是锐角时，△ABC和△QEF不一定全等.

(3)在△A8C和△OEF中，AC=DF,BC=EF,乙B=^E,

且NB、NE都是锐角，请你用尺规在图③中作出△OEF,

使△£>£/和△A3C不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

(4)还要满足什么条件，就可以使请直接填写结论：

在△43C和△OEF中，AC^DF,BC=EF,乙B=2E,且乙8、2E都是锐角,

若则

3

'x+y+z=3,

思考：你会解三元一次方程组上一2y—z=-2,吗？

、2x+y—z=2

海纳百川

问题1只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：

(1)在图1中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴；

①量出底边8c的长度，将线段8c二等分，即画出8c的中点力；

②画直线AO,即画出等腰三角形43c的对称轴.

(2)在图2中画乙408的对称轴，并写出画图的方法.

问题2

(1)如图1,在RtZ\45C中，ZC=90°,AC=BC.直线/经过点C,ADLl,BEL,垂足分别为£>,

E,求证：DE=AD+BE；

(2)如图2,在aABC中，ZC<90°,求作直线/,使得直线/经过点C,当A。，/,BELI,垂足分

别为。，E时，仍然有£)E=AD+BE.

4

问题3概念理解

把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“剖分——重

拼”.如图I,一个梯形可以剖分——重拼为一个三角形；如图2,任意两个正方形可以剖分—重拼

为一个正方形.

尝试操作

如图3,把三角形剖分——重拼为一个矩形.（只要画出示意图，不需说明操作步骤）

阅读解释

如何把一个矩形A6C。（如图4）剖分——重拼为一个正方形呢？操作如下:

图4中，在CO上取点F，使4尸=484。，作3£14尸，垂足为E.

把△ADF沿射线0c平移到△8CH的位置，把△AE8沿射线AF平移

到△尸GH的位置，得四边形仍”G.

请说明按照上述操作方法得到的四边形是正方形.

拓展延伸

任意一个多边形是否可以通过若干次的剖分—重拼成一个正方形？如果可以，请简述操作步

骤；如果不可以，请说明理由.

5

博采众长

1.正方形通过剪切可以拼成三角形.方法如下:

仿上用图示的方法，解答下列问题:

（1）如图2,对直角三角形，设计方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形；

（2）如图3,对任意三角形，设计方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形.

（3）如图4,对任意四边形，设计方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形等面积的矩形.

2.（1）野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼.烙

好一面后把饼翻身，这块饼仍能正好落在“锅'’中.这是为什么？

①②③

（2）小丽用如图①的直角三角形铁皮，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼.如果烙好一面后就把饼

翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中.如图②小丽将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结

果饼就能正好落在“锅”中.这又是为什么？

（3）如果用来烙饼的铁皮既不是等腰三角形也不是直角三角形（如图③），那么烙好一面后，将烙饼

怎样翻身，烙饼仍能正好落在“锅”中？

（4）如果用来烙饼的铁皮是一个多边形，你能让烙饼翻身后正好落在“锅”中吗？说说你的想法.

3.如图，在边长为1的菱形ABC。。乙43c=60。，将沿射

线80的方向平移得到△Ab。'，分别连接AC,A'D,B'C,贝

AC+8C的最小值为.

6

4.如图，点/为△ABC的内心，A3=4,AC=3,BC=2,将乙4c3平移使其

I

顶点与/重合，则图中阴影部分的周长为（）

A.4.5B.4C.3D.

5.如图，在平面直角坐标系X。），中，函数y=（（x>0）的图象与直线y=x-2交于点A（3,W.

（1）求公m的值；

（2）已知点P（〃，〃）（〃>0）,过点P作平行于工轴的直线,

作平行于y轴的直线，交函数），=[（x>0）的图象于点M

①当〃=1时，判断线段PM与/W的数量关系，并说明理由；

②若PMPM,结合函数的图象，直接写出〃的取值范围.

7

二、类比思想的理解与领悟

数学思想是数学的灵魂，中考数学成绩的优秀与良好的区别就在于数学思想理解的深度.本节我们

研究类比的思想.考查类比思想试题的主要情形有两种，一种是“几个题目的条件一样，但图形中某些点

或线的位置发生了改变”，还有一种是“从特殊到一般”（在中考中通常是“从全等到相似“，我们在假

期的后续学习中会深入研究），其运用方法是在解决第一个问题的情况下，遵循原有的解题思路继续解决

剩下的问题.

抛传引玉

已知45〃CZ）,在下面的第一个图中，我们可以过E点做MN〃43,证得/A+NC=NA£C.

你能在第二个图和第三个图中做相同的辅助线，找到/A、/C和NAEC之间的关系吗？

海纳百川

问题I已知：如图，NAOB外有一点P,试画出点P关于直线0A的对称点外，再画出点外关于直

线0B的对称点P2.

（1）试探索NPOP2与/A0B的数量关系，为什么？

（2）若点P在NAO8的内部，上述结论还能成立吗？为什么？

8

问题2如图，P是正方形ABC。的对角线上一点，连接PA、PC.E是射线CB上一点，且满足

PE=PC,连接AE.

(1)如图1,若E点在线段CB的延长线上，判断的形状，并说明理由；

(2)如图2,若E点在线段CB上，(1)中的结论还成立吗？说出你的理由.

图1图2

图1图2

问题3

(1)如图1,在四边形AC8O中，A8与CO相交于点O,AB=CD,E、产分别是8C、49的中点,

连结ER分别交OC、A8于点M、N,判断△0MN的形状并证明.

(2)如图2,在四边形A8CO中，AB=CD,E、尸分别是8C、AO的中点，连结EF并延长，分别与

BA.CD的延长线交于点M、N,求证：/BNE=/CME.

9

博采众长

1.ZVIBC是等边三角形，点。是射线8c上的一个动点（点。不与点8、C重合），是以

A。为边的等边三角形，过点E作8C的平行线，分别交射线AB、AC于点RG,连接8E.

（1）如图（a）所示，当点。在线段BC上时.

①求证：AAEB当AADC；

②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（6）所示，当点。在8c的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？

（3）在（2）的情况下，当点。运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由.

10

3.已知：正方形A8CO中，ZMAN=45°,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交C8,DC

（或它们的延长线）于点用、N.

当NM4N绕点A旋转到8M=£W时（如图①），易证

（1）当NM4V绕点A旋转到现存DN时（如图②），线段BM,£W和MN之间有怎样的数量关

系？写出猜想，并加以证明.

（2）当NM4N绕点A旋转到如图③的位置时，线段8M,£>N和A/N之间又有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想.

11

三、分类思想的理解与领悟

纵观全国各地中考试卷的压轴题，90%考查的主要思想就是分类思想，可见分类思想的重要

性.分类的关键是分类标准的确定，因此，在解决本节的所有问题时，要求先确定标准，准确分类,

再对每种类型求解！

抛砖引玉

在等腰△ABC中，乙4=40。，求的度数.

海纳百川

问题1如图，点A、B、C都在方格纸的格点上.请你再找一个格点。，使点A、B、C、。组成一个

轴对称图形.

cdd

AAAA

问题2如图，由4个全等的正方形组成L形图案.在图案中改变1个正方形的位置（不

与其他正方形重合），使新的图案变成中心对称图案，则不同的中心对称图案

（注：“不同，，指经过翻折、平移或旋转后不能重合）共有（）

A.7种B.8种C.9种D.10种

12

思考：如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分

（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由口到馋的比

为1：2：3,则折痕对应的刻度有种可能，分别是多少？

折展剪断处

问题3

（1）已知△48C中，乙4=90。，28=67.5。，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角

形.（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来.只需画图，不必说明理

由，但要在图中标出相等两角的度数）

（2）已知aABC中，NC是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角

形，请探求〃8c与/C之间的关系.

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问题5已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm,一个内角为40度.

（1）请你借助图I画出一个满足题设条件的三角形；

（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你

在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；

（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm,一个内角为40。”，那么满足这

一条件，且彼此不全等的三角形共有几个.

博采众长

1.已知等腰三角形的两边长分别为6cm、5cm,则该等腰三角形的周长是.

2.已知等腰三角形一条腰上的高等于腰长的一半，这个等腰三角形的顶角的度数是.

3.如图的方格纸上画有2条线段.你能再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形吗？

（要求画出满足条件的所有线段.）

4.已知△ABC中，AC=BC,ZACB=9O0,直线/经过直角顶点C,ADU,BEU,垂足分别为Q、E.

当直线/绕点C转动时，若BE=b,试画出示意的图形并用含外匕的代数式直谈表示出

DE的长度.

d

/---------------/

D

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5.长为1,宽为。的矩形纸片，如图1那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一

次操作），再把剩下的矩形如图2那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为

第二次操作）......如此反复操作下去.若在第〃次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终

止.当”=3时，求。的值.

图2

6.如图，在边长为4的正方形N5CD中，请画出以力为一个顶点，另外两个顶点在正方形的

边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角

形长为3的边上标注数字3）

15

7.在正方形ABC。中，48=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP,则AP的长

为.(体会阿波罗尼斯圆的价值)

8.在平面直角坐标系中，函数卜=区(x>0)的图象G经过点A(4,1),直线/：y=^x+8与

x4

图象G交于点8,与y轴交于点C.

(1)求女的值；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段。4,OC,BC围

成的区域(不含边界)为W.

①当b=-l时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围.

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四、再探一元二次方程

本讲中，我们将解决有关一元二次方程的根的情况的题目，同时，在南京的中考中，往往把上一

讲实际问题中的一元二次方程模型再做一些变化，我们将对这些变化做一些深入的探究，另外，我们

还将从“彩”的角度探讨一元二次方程的解法，感受数形结合的数学思想.

抛得引玉

已知一元二次方程x(x+2)=24,你能赋予它一个实际意义吗？

(1)用配方法解一元二次方程(+2x-24=0(x>0)时，把方程(+2x-24=0变形为/+入=24,即

x(x+2)=24.配方的过程，可以看成将一个长为x+2、宽为x、面积为24的矩形经过割、拼、补变

化成一个正方形的过程.请在图①中“？”处补全“拼成一个正方形”过程的图形，并做必要的标

注；

(2)现有长为x+b、宽为x、面积为c的矩形(x>0,6、c是常数且均为正)，如图，你能利用四个这样相

同的矩形构造1个图形，并利用你的拼图直观描述方程(+6x=c•的配方过程吗？请在图向的位置画

图并说明.

x(x+2)=24

x2+2x=24

方

X2+2X+12=24+12

(X+1)2=25

图2

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思考：古代数学中构造图形解一元二次方程:

古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希

腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解.

在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+or=〃(心0,匕>0)的方程的图解法是：如图，以m和

AC=b为两直角边做RraABC,再在斜边上截取BD=BC,则AD的长就是所求方程的解.

(1)请用含字母“、％的代数式表示的长；

(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处.

海纳百川

1.我们研究过的解一元二次方程的常见方法有4种.

(1)在探索一元二次方程解法的过程中体现最清晰地数学思想是()；

A.转化8.类比C.数形结合D.逐步逼近

(2)用三种不同的方法解一元二次方程(x+3)=x(x+3).

(3)请运用解一元二次方程的思想方法解方程x3—x=0.

2.阅读下面的例题：

解方程/一|xI—2=0

i解：(1)当x20时，原方程化为/-x-2=0,解得：x,=2,及=-1(不合题意，舍去)；

(2)当x<0时，原方程化为/+x-2=0,解得：制=1(不合题意，舍去)，X2=-2.

二原方程的根是XI=2,电=-2.

请参照例题解方程炉一Ix-1I-1-0.

18

3.学习完《一元二次方程的解法后》后，我们可以借助探索研究过程中所获得的经验，继续探索另一类

方程的解法.小明用下面的方法求出方程2也一3=0的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程

的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中.

方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解

",

令4=3332

2«-3=0t=-r=->0

则229

2/-3=0所以冗=：

4

令6=t,

x+2>/x-3=0

则产+2/-3=0

X+yjX—2-4=0

4.选取二次三项式以2+法+。(〃邦)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方.例如

①选取二次项和一次项配方：x2-4x+2=(x-2)2-2：

②选取二次项和常数项配方：

x1-4x+2=(x—巾)2+(2^2-4)x,或/-4*+2=(x+,)2-(4+2®x

③选取一次项和常数项配方：4x+2=C-\[2x—\[2)2—x2.

根据上述材料，解决下面问题：

(1)写出x2—8x+4的两种不同形式的配方；(2)已知/+尸+孙一3y+3=0,求/的值.

19

博采众长

1.下列一元二次方程中，有实数根的是（）.

4./-x+l=OB.^+%-1=0C./-2r+3=0D./+4=0

2.关于x的一元二次方程a（x+2）2+3=0的解的情况是（）.

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

3.若关于x的方程/+2（Z—l）x+R=O有实数根，则4的取值范围是.

4.已知关于x的方程近2—2/+l）x+k—1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

5.写出一个解为1、3的一元二次方程：.

6.已知用是方程JC2—*—1=0的一个根，则代数式加2—机+2的值为.

7.已知x=-l是关于x的方程加一以一层=0的一个根，则

8.已知：关于x的方程依2—（4Z+l）x+3&+3=0.

（1）请说明：此方程必有实数根；

（2）若/为整数，且该方程的根都是整数，直接写出k的值.

20

五、一元二次方程解决实际问题

本讲中，我们将解决有关一元二次方程的实际问题，在南京中考中，一元二次方程的属于常考类

型，在学习中，弄清楚文字表达的含义，分清楚问题的类型尤为重要，一元二次方程的应用问题还常

常和将来学习的二次函数进行混搭，值得注意！

抛砖引玉

I.若一个一元二次方程的两个根分别是即△ABC的两条直角边长，且SAABC=3,请写出丁个符合题意的

一元二次方程.

2.某商店经销一批小家电，每个小家电进价40元.经市场预测，售价为50元时，可销售200个，在一定范

围内，售价每增加1元，销售量将减少10个.如果商店进货后按同一售价刚好全部销售完，赚了2000

元，问每个小家电售价为多少元？问该商店进了多少个小家电？

分析：(1)如果定价增加2元，销售量将减少__________个，销售量为__________个；

如果定价增加3元，销售量将减少—_____个,销售量为一_____个;

如果定价增加X元，销售量将减少__________个，销售量为__________个;

(2)商品利润=单利X件数=(售价一进价)X件数

(3)设每个小家电售价在50元基础上增加了x元:

定价进价每天的销售量

涨价前5040200

涨价后

海纳百川

1.某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额是288万元，如果每月比上月增长的百分数相同,

则平均每月的增长率是多少？

21

2.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200口，出油率为50%（即每100必花生可加工成花生油

50依）.现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132仅，其中花生出油率的增长率是

亩产量的增长率的去求新品种花生亩产量的增长率.

3.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若

当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低

0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返

利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.

（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；

（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？

（盈利=销售利润+返利）

22

5.如图，客轮沿折线A—B—C从A出发经8再到C匀速航行，货轮从AC的中点。出发沿直线匀速航

行，将一批物品送达客轮.两船同时起航，并同时到达折线A-B—C上的某点E处.已知A8=8C=

200海里，ZA8C=90。，客轮速度是货轮速度的2倍.

(1)两船相遇之处E点在()

A.线段48上B.线段8c上

(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？

博采众长

1.某厂一月份生产机器100台，计划第二季摩共生产380台.设二、三月份每月的平均增长率为x,则根

据题意列出的方程是().

A.100+100(1+x)+100(1+x)2=380B.100(1+x)+100(1+x)2=380

C.100+100(1+x)2=380D.100(1+x)2=380

2.在一幅长为8(kro,宽为50c〃?的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成二

一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是540(W,设金色纸边的宽为x

cm,那么x满足的方程是.(第2题)

3.(2008南京)某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1.在温室内，沿前侧内

墙保留3胆宽的空地，其它三侧内墙各保留所宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植

区域的面积是288m2?____________________________

前

侧蔬菜种植区域

空

(第3题)

23

4.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤.第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如

果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降

低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的7恤一

次性清仓销售，清仓时单价为40元.设第二个月单价降低工元.

（1）填表（不需化简）：

时间第一个月第二个月清仓时

单价（元）8040

销售量（件）200

（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应该是多少钱?

5.如图，已知正方形ABC。的边长为1,E、尸分别在BC、CD边上,若△AEF为正三角形，求厂的

边长.

24

六、从二次方程到二次函数

我们学习过一元一次方程和一次函数，从“数”和“形”两个方面研究过二者之间的联系，类似的，

在一元二次方程学习的基础上，我们也可以研究二次函数和一元二次方程之间的联系，本讲主要从

“数''的角度揭示这种联系，并运用二次函数的相关知识解决问题.

形如yuG+bx+c(a、b、c是常数，4知)的函数叫做二次函数.

抛砖引玉

1.一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间有什么联系？举例说明.

2.回顾我们学过的一次函数、反比例函数，我们常常研究函数的哪些方面？

思考：

1.随便写出几个二次函数，并尝试写出二次函数的一般形式.

2.试写出以上二次函数的自变量x取值范围、函数值y的取值范围.

3.哪些二次函数的函数值y有最大值？哪些二次函数的函数值y有最小值？由什么确定？怎样求出y的最

大值或最小值？

海纳百川

1.下列二次函数有最大值或最小值吗？此时x的值为多少？

(1)y=3/+4的最值是,此时，x的值是；

(2)y=-2(x—-2的最值是,此时，x的值是；

(3)y=：(x+3)2-2的最值是,此时，x的值是；

(4)y="(X—1)2+2016的最_____值是,此时,x的值是

2.通过配方，求出下列二次函数最大或最小值，并指出此时x的值.

(1)y=2x2+4x—4：(2))>=那2—4^+5.

25

3.通过配方，求出二次函数（。、6、c是常数，«#））的最大或最小值，求出此时x的值.

4.通过配方或者公式，求下列函数的最大值或最小值.

(1)y=x2~3x+4；(2)y=1—2x—JC2；(3)y=100-5x2.

5.用6,w长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框.应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框

的透光面积最大？最大透光面积是多少？（不计框宽）

6.某商店把进价为每件4元的文化衫按每件10元售出，每天能卖200件，在换季时期，预计单价每降低

1元，每天可多卖80件，如果销售单价定为每件x元（xW10）.

（1）写出商店每天销售这种文化衫的利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式:

（2）商店要想每天获得最大利润，每件的销售价应定为多少元?最大利润是多少？

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教学楼

6.【问题情境】

已知矩形的面积为。(。为常数，«>0),当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少?

【数学模型】设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为y=2(x+》(x>0).

【探索研究】

(1)我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数(x>0)的图像和性质.

②观察图像，写出该函数两条不同类型的性质;

③在求二次函数卜二十+云+0(〃W0)的最大(小)值时,除了通过观察图像，还可以通过配方得到.

请你通过配方求函数(x>0)的最小值.

【解决问题】

(2)用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案.，

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七、二次方程到二次函数的图像

二次函数的图像叫抛物线，它的发现来源于伟大的物理学家伽利略，伽利略发现任何物体抛出去

之后都会得到一条每秒的曲线，而数学家们则给出了它的代数形式，这就是我们今天要学习的内容！

抛砖引玉

1.画函数图像的一般步骤是、、,函数图像也可以通过变换得到；

2.若函数图像的形状未知，为了使画出的图像更准确，我们常常,同时，由于我们无

法准确描出图像上所有的点，因此我们画出的图像总是的.

3.不画图像，通过分析的结构特点，我们可以大致确定函数图像的位置、主要性质.

4.我们常常研究函数图像的哪些性质？

要研究二次函数丫=谒+云+。（0片0）的图像，我们可以从到、从到,

基于以上策略，我们可以依次研究哪些类型的二次函数图像？

我们先研究“表达式最骨感”的二次函数＞=r的图像和性质.

1.由数想形：根据二次函数表达式你能分析出它的图像有什么特征吗？

2.在坐标系中画出二次函数y=N的图像，并写出该图像的主要性质.（在演算纸上列表，下同）

3.不画图像，你只能直接说出二次函数y=-/、'=2^2、y=*的大致位置吗？

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海纳百川

4.在同一坐标系中，画出二次函数y=$2、y=/、丫=3/、y=—$2、),=—/、y=—3炉的图像.

5.总结：二次函数y二以2(a/0)的图像是一条,其顶点在—、对称轴是—.

“的决定了抛物线的:当______时,当______时;

“的决定了抛物线的：a的越大，抛物线的越小.

增减性和最值：

6.函数图像可以由平移等变换得到，如：将y=/的图像向_平移一个单位长度可得函数y=f+l的图

像，据此，我们可以直接得到一类二次函数丫=加+k的图像及性质.试填写下表：

函数表达式形状顶点坐标最值对称轴增减性

y=x1+\

y=-x2+2

y=ax2+k

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7.在坐标系中画出y=(x+3)2、y=(x-4)2的图像，并观察它的图像与抛物线之间的关系.

(1)发现：抛物线y=(x+3)2可由抛物线丫=(向平移个单位得到：］

-左右平移的规律:

抛物线y=(x—4尸可由抛物线y=T向平移个单位得到；J

(2)对比：

函数表达式形状顶点坐标对称轴增减性

y=(x+3)2

y=(x—4)2

y=a(x—m^

y=(x+3)2+l

y=a(x—m)2+k

(3)联系：将函数表达式y=(x+3＞化为一般式，结果是y=

根据以上探索，你能直接说出二次函数)=办2+法+。(a=0)的图像的对称轴和顶点坐标吗?

8.由此，二次函数yuo?+fev+c(a/0)的图像：

(1)形状：(2)顶点坐标：(3)对称轴：

(4)开口方向：(5)与y轴交点坐标：(6)增减性:

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9.用简练的话总结一下a、仄c三个常数对二次函数图像的作用.

博采众长

1.画出二次函数y=-/—4x+3的图像，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值.

3.若将二次函数y=2(x+3)2—1的图像分别沿x轴、)，轴翻折，会得到哪个二次函数的图像?

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4.从图像中获取信息

（1）二次函数yna^+fov+cS#））的图像如图所示，给出下列结论:

①〃2—4ac>0；②2。+/?<0：③4a—2/?+c=0：

④a"：c=-1：2：3.其中正确的是（）

A.®@B.②③C.③④D.①④

（2）已知6<0,二次函数了=改2+公+〃_1的图像为下列四个图像之一.试根据图像分析，。的值应

等于（）A.-2B.-1C.2D.1

（3）在同一坐标系内，一次函数y=ax+。与二次函数y=ar2+8x+》的图像可能是（）

（4）已知二次函数y=af+6x+c（其中a>0,b<0,c<0）,关于这个二次函数的图像有以下说法：

①图像的开口一定向上；

②图像的顶点一定在第三象限；

③图像与x轴的公共点至少有一个在y轴左侧.中正确的说法是（填上正确的序号）.

（5）对于题目“一段抛物线L：y=-x（%-3）+c（0姿3）与直线/：y=x+2有唯一公共点，若c为

整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=l,乙的结果是c=3或4,则（）

A.甲的结果正确B.乙的结果正确

C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确

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八、二次函数与一元二次方程

在上一讲的基础上，本讲重在运用二次函数的相关知识解决问题，在解决问题的过程中，既要进

一步熟悉配方法，又要感受二次函数和一元二次方程、一次函数的内在联系.更要进一步体会函数的

2.一般地:

二次函数y—a^+bx+c的图像与一元二次方程a^+bx+c—O的--------对应.

二次函数y=c*+bx+c的图像一元二次方程ax2+bx+c=0

与X轴有两个公共点

有两个相等的实数根