2022年山东省青岛市中考数学试卷（解析版）

2022年山东省青岛市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）（2022•青岛）我国古代数学家祖冲之推算出n的近似值为萃，它与n的误差

113

小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为（）

A.3X10-7B.0.3X10-6C.3X106D.3X107

2.（3分）（2022•青岛）北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506

件，其中很多设计方案体现了对称之美.以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中

3.（3分）（2022•青岛）计算J适）X患的结果是（）

A.返B.1C.75D.3

3

4.（3分）（2022♦青岛）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古

代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是（）

（图②）

A.B.

点M在右上，则NCME的

5.（3分）（2022♦青岛）如图，正六边形A8CDEF内接于00,

6.（3分）（2022•青岛）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点。旋转180°,得

到△A8C,则点A的对应点4的坐标是（）

-1--3)D.(-3,-1)

7.（3分）（2022•青岛）如图，。为正方形ABCO对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若

AB=2,则OE的长度为（)

A.近B.V6C.2V2D.2V3

2

8.（3分）（2022•青岛）已知二次函数y=o?+法+c的图象开口向下，对称轴为直线x=-1,

且经过点（-3,0）,则下列结论正确的是（）

A.b>0B.c<0C.a+b+c>0D.3a+c=0

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）（2022•青岛）-2的绝对值是

2

10.（3分）（2022•青岛）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲

形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分.若将三项得分依次按3：4：3的比例确

定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为分.

11.（3分）（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体

质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，

比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%,少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平

均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为.

12.（3分）（2022•青岛）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面

上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,

用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中N4BC的度数

是_______

13.（3分）（2022•青岛）如图，A3是。。的切线，8为切点，OA与。0交于点C,以点A

为圆心、以0C的长为半径作而，分别交AB,AC于点E,F.若0C=2,AB=4,则图

14.（3分）（2022•青岛）如图，己知△ABC,AB=AC,BC=\6,ADIBC,/ABC的平分

线交4。于点E,且。E=4.将NC沿GM折叠使点C与点E恰好重合.下列结论正确

的有：.（填写序号）

①8。=8

②点E到AC的距离为3

③£知=也

3

@EM//AC

三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保保留作图痕迹。

15.（4分）（2022•青岛）己知：RtAABC,ZB=90°.

求作：点尸，使点P在△ABC内部.S.PB=PC,NPBC=45：

四、解答题（本大题共10小题，共74分）

16.（8分）（2022•青岛）（1）计算：一土2一4-（1+」^）；

a2-4a+4a-2

’2x》3（x-1）,

（2）解不等式组：*/

2号＜L

17.（6分）（2022•青岛）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、

王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情.小冰和小雪参

加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得.小冰

和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享.游戏规则如下：

甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1,2,3,4,5的五个球，两口袋

中的球除编号外都相同.小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸

出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜.

请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

18.（6分）（2022•青岛）已知二次函数＞=/+皿+混-3（〃?为常数，，"＞0）的图象经过点

P（2,4）.

（1）求m的值；

（2）判断二次函数旷=7+加什*-3的图象与x轴交点的个数，并说明理由.

19.（6分）（2022•青岛）如图，AB为东西走向的滨海大边，小宇沿滨海大道参加“低碳生

活•绿色出行"健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°

的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米

到达点£时，观光船沿北偏西40。的方向航行至点。处，此时，观光船恰好在小宇的正

北方向，求观光船从C处航行到。处的距离.

（参考数据：sin40°心0.64,cos40°~0.77,tan400=0.84,sin68°~0.93,cos680七

20.（6分）（2022•青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好

的老师.阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门

的金钥匙.某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中

随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，

对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：

学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表

组别时长/（单人数累计人数

位：h）

第一组14V2正正正正正正30

第二组2W/V3正正正正正正正正正正正正60

第三组3WY4正正正正正正正正正正正正正70

正

第四组4«正正正正正正止正40

根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图；

（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第组；

（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比

为,对应的扇形圆心角的度数为°；

（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2〃，请你估计，该校学生中有多

少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？

学生每周自主发展兴趣爱好时长频数百:方图

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在AABC和△AEC中，AD,4。分别是8c和8C边上的高线，且AO

=A'D\则AABC和△AbC是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用SAABC，SMFC分别表示△ABC和B'C的面积，

贝|JSAABC=』BC'A。，SMBC=工"C'A'D',

22

'：AD=A'D'

SAABC：SAA'B'C=BC：B'C.

【性质应用】

(1)如图②，。是△/!水：的边BC上的一点.若BD=3,£>C=4,则S^ABD：S^ADC=；

(2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和A8边上的点.若BE：AB=\：2,CD：

BC-\:3,S^ABC=1)则SABEC=，SACDE=;

(3)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE：AB=l：m,CD：

BC=1：n,S/\ABC=a,则SGCDE=-

(图①)(图②)(图③)

22.(8分)(2022•青岛)如图，一次函数>=丘+6的图象与x轴正半轴相交于点C,与反比

例函数y=-2的图象在第二象限相交于点A(-1,m),过点4作ACx轴，垂足为£>,

X

AD=CD.

(1)求一次函数的表达式；

(2)已知点E(小0)满足CE=CA,求。的值.

23.（8分）（2022•青岛）如图，在四边形A8C。中，AB〃C£>,点E,尸在对角线BO上，

BE=EF=FD,NBAF=NDCE=90°.

（1）求证：/XABF丝△CQE；

（2）连接AE,CF,已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号）,

请判断四边形4EC尸的形状，并证明你的结论.

条件①：ZABD=30°；

条件②：AB=BC.

（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

24.（10分）（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10

千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，

批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经

验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多

销售1箱.

（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；

（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多

少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

25.(10分)(2022•青岛)如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,将

△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ACE,连接CD点P从点B出发，沿BA

方向匀速运动、速度为law/s；同时，点Q从点4出发，沿A。方向匀速运动，速度为

\cmJs.PQ交AC于点F,连接CP,EQ,设运动时间为f(s)(0Vf<5).解答下列问题：

(1)当EQJ_A。时，求f的值；

(2)设四边形PCQQ的面积为S(。疡)，求S与，之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻r,使尸Q〃C£>?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

2022年山东省青岛市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）（2022•青岛）我国古代数学家祖冲之推算出皿的近似值为萃，它与n的误差

113

小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为（）

A.3X10〃B.0.3X10-6C.3X10-6D.3X107

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXl（T”,与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的0的个数所决定.

【解答】解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3X107

故选：A.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为&X10",其中lW|a|V10,

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

2.（3分）（2022•青岛）北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506

件，其中很多设计方案体现了对称之美.以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中

心对称图形的是（）

［分析］根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

【解答】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意;

B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意;

故选：C.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对

称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自

身重合.

3.（3分）（2022•青岛）计噂（V27X芯的结果是（）

A.近B.1C.V5D.3

3

【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减

法即可.

【解答】解：x患

=V9-V4

=3-2

=1,

故选：B.

【点评】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解

此题的关键.

4.（3分）（2022•青岛）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古

代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是（）

（图②）

A.B.

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

【解答】解：图②“堑堵”从上面看，是一个矩形，

故选：C.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

5.（3分）（2022•青岛）如图，正六边形ABCOEF内接于。。，点”在会上，则的

【分析】由正六边形的性质得出NCOE=120°,由圆周角定理求出NCME=60°.

【解答】解：连接。C,OD,OE,

'：多边形ABCDEF是正六边形，

:.NCOD=NDOE=60°,

AZCOE=2ZCOD=120°,

二/CME=』/COE=60°,

2

【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周

角定理求出NCOM=120°是解决问题的关键.

6.（3分）（2022•青岛）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点。旋转180°,得

【分析】利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称点的性质直接得出答案.

【解答】解：由图中可知，点A（3,-2）,将aABC先向右平移3个单位，得坐标为:

（6,-2）,再绕原点O旋转180°,得到△AB'C,则点A的对应点A'的坐标是（-1,

-3）.

故选：C.

【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键.

7.（3分）（2022•青岛）如图，O为正方形4BC。对角线4c的中点，△ACE为等边三角形.若

AB=2,则OE的长度为（）

A.喙B.76C.272D.25/3

【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC,然后利用等边三角形的性质可求出OE.

【解答】解；•••四边形ABCO为正方形，AB=2,

:.AC=2近,

为正方形ABCD对角线AC的中点，XACE为等边三角形，

:.AC=AE=2近,A0=瓜

，OE=MXy=心

故选：B.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了等边三角形的性质，有一定的综

合性.

8.（3分）（2022•青岛）已知二次函数y=o?+〃x+c的图象开口向下，对称轴为直线x=-1,

且经过点（-3,0）,则下列结论正确的是（）

A.B.c<0C.a+b+c>QD.3a+c=0

【分析】根据抛物线的开口方向及对称轴位置判断选项A;根据对称轴x=-1及过点（-

3,0）求出抛物线与x轴的另一个交点，据此来判断选项以当x=l时，二次函数的值

y—a+b+c,据此判断选项C；根据对称轴得出“，6之间的关系，并代入y=〃+6+c中，

据此判断选项D.

【解答】解：选项A：•••抛物线开口向下，

Aa<0.

•.•对称轴为直线彳=-1,

-a=-1.

2a

**•b=2£i.

AZ?<0.故选项A错误；

选项8：设抛物线与x轴的另一个交点为G,0）,

则抛物线的对称轴可表示为（x-3）,

2

-1=A（x-3）,解得x=l,

2

.•.抛物线与X轴的两个交点为（1,0）和（-3,0）.

又；抛物线开口向下，

，抛物线与y轴交于正半轴.

.♦.c>0.故选项B错误.

选项C：；抛物线过点（1,0）.

匕+c=0.故选项C错误；

选项Q：•:b=2a,且〃+〃+c=0,

.*.3<7+C=0.故选项D正确.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图像的位置与有关系数的关

系是解题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）（2022•青岛）-1的绝对值是

2~2~

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式；第二步根

据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数.

【解答】解：|-1|=1.

22

故本题的答案是工.

2

【点评】规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0

的绝对值是0.

10.（3分）（2022•青岛）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲

形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分.若将三项得分依次按3：4：3的比例确

定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为8.3分.

【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果.

【解答】解：根据题意得：

9X3+8X4+8X3=83（分）.

3+4+3

故小明的最终比赛成绩为8.3分.

故答案为：8.3.

【点评】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解

是解题的关键.

11.（3分）（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体

质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，

比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%,少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平

均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为3000__3000.

一x一（l+25%）x

【分析】根据等量关系：原来参加3000米比赛时间-经过一段时间训练后参加3000米

比赛时间=3分钟，依此列出方程即可求解.

【解答】解：依题意有：3000._3000=3

x（1+25%）x

故答案为：3000__3000=3

x(1+25%)x

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目

中的等量关系，设出未知数，列出方程.

12.（3分）（2022•青岛）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面

上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,

用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中NA8C的度数是

60°.

图①图②

【分析】先确定NBA。的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出N

ABC的度数.

•：NBAD=NBAE=NDAE,ZBAD+ZBAE+ZDAE=3f>0°,

AZBAD=ZBAE=ZDAE=12O0,

,JBC//AD,

：.ZABC=180°-120°=60°,

故答案为：60.

【点评】本题考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出/

BAD的度数是解题关键.

13.（3分）（2022•青岛）如图，AB是。。的切线，8为切点，04与交于点C,以点A

为圆心、以0C的长为半径作邪，分别交A8,AC于点E,F.若0C=2,AB=4,则图

中阴影部分的面积为4-TT

【分析】连接08,根据切线的性质可得NOBA=90°,从而可得NBOA+NA=90°,根

据题意可得O8=OC=AE=AF=2,然后利用阴影部分的面积=/\4。8的面积-（扇形

B0C的面积+扇形EAF的面积），进行计算即可解答.

【解答】解：连接08，

「AB是。。的切线，B为切点，

：.ZOBA=90°,

...N8O4+NA=90°,

由题意得：

OB=OC=AE=4F=2,

••・阴影部分的面积=/\408的面积-（扇形B0C的面积+扇形EAF的面积）

=148,如90冗X22

2360

=JLX4X2-TT

2

=4-IT,

故答案为：4-n.

【点评】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面

积的计算是解题的关键.

14.（3分）（2022•青岛）如图，已知△ABC,AB=AC,8c=16,AD±BC,NABC的平分

线交AQ于点E,且OE=4.将/C沿GM折叠使点C与点E恰好重合.下列结论正确

的有：①④.（填写序号）

①BD=8

②点E到AC的距离为3

③我〃=也

3

@EM//AC

【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设DM

=x,则EM=8-x,结合勾股定理和三角形面积公式进行分析求解，从而判断③，利用

锐角三角函数可判断④.

【解答】解：在AABC中，AB=AC,BC=16,ADLBC,

:.BD=DC=1BC^S,故①正确；

2

如图，过点E作于点儿E”J_AC于点〃，

,JADLBC,AB=AC,

平分NBAC,

：.EH=EF,

:BE是NABD的角平分线,

"：EDIBC,EFLAB,

：.EF=ED,

：.EH=ED=4,故②错误；

由折叠性质可得：EM=MC,DM+MC=DM+EM=CD=8,

设。M=x,则EM=8-x,

比△EQM中，EM2=DM2+DE2,

(8-x)2=42+xi,

解得：x—3,

：.EM=MC=5,故③错误；

设AE="，则AO=AE+EQ=4+a,80=8,

：.AB2^(4+a)2+82,

..'△ABEI^XEFSAEXBD,

SabdeyBDXEDyEDXBD

•••-A-E--A-B-，

EDBD

..•—a=_—AB,

48

：.AB=2a,

/.(4+〃)2+82=(2a)2,

解得：。=变或。=-4(舍去)，

3

9+4

.•.tanC=岖=J_l工

DC83

又VtanZEMD=毁.，

DM3

:./C=NEMD,

：.EM//AC,故④正确，

故答案为：①④.

【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，掌握

相关性质定理，正确添加辅助线是解题的关键.

三、作图题(本大题满分4分)用直尺、圆规作图，不写作法，但要保保留作图痕迹。

15.(4分)(2022•青岛)己知：RtAABC,ZB=90°.

求作：点P，使点P在△ABC内部.且PB=PC,ZPBC=45°.

【分析】作NABC的角平分线，作BC的垂直平分线，两条线交于点P即可.

【解答】解：①先作出线段8c的垂直平分线EF；

②再作出/ABC的角平分线BM,EF与BM的交点为P；

则尸即为所求作的点.

【点评】本题考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决

本题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的作法.

四、解答题（本大题共10小题，共74分）

16.（8分）（2022•青岛）（1）计算：一二2一:（1+二」）；

a2-4a+4a-2

’2x>3（x-1）,

（2）解不等式组：x/

2-1<l,

【分析】（1）先根据分式的加法法则计算括号里面的，再把除法转化为乘法，约分即可;

（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

【解答】解：（1）原式=—^11—《a-2+l

a2-4a+4a-2

=a-l.a-2

（a-2）2a-1

=1.

~^2'

2x>3（x-1）①

（2）%j八，

2.71②

解不等式①得：xW3,

解不等式②得：x>2,

，不等式组的解集为：2Vx<3.

【点评】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握分式的混合运算的方

法以及一元一次不等式组的解法是正确解答的关键.

17.（6分）（2022•青岛）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、

王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情.小冰和小雪参

加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得.小冰

和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享.游戏规则如下：

甲口袋装有编号为1,2的两个球，乙口袋装有编号为1,2,3,4,5的五个球，两口袋

中的球除编号外都相同.小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸

出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜.

请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

【分析】先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小冰获胜和小雪获胜的

概率，进行比较即可求解.

【解答】解：所有可能的结果如下：

'''''''12345

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)

共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶

数的有5种结果，

:.p（小冰获胜）=-L=l,p（小雪获胜）=_L=1,

102102

,：P（小冰获胜）=P（小雪获胜），

...游戏对双方都公平.

【点评】本题考查列表法，游戏公平性，解题的关键是正确列出所有可能的结果.

18.（6分）（2022•青岛）已知二次函数y=/+/nx+"2-3（机为常数，”>0）的图象经过点

P(2,4).

（1）求的值；

（2）判断二次函数丫=f+，质+，川-3的图象与x轴交点的个数，并说明理由.

【分析】（1）将（2,4）代入解析式求解.

（2）由判别式A的符号可判断抛物线与x轴交点个数.

【解答】解：（1）将（2,4）代入y=x1+mx+m2-3得4=4+2,“+?/-3,

解得〃“=1，mz--3,

又•.•心0,

・♦机=1.

（2）

.,.y=/+x-2,

VA=户-4«C=12+8=9>0,

...二次函数图象与x轴有2个交点.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握

二次函数与方程的关系.

19.（6分）（2022•青岛）如图，48为东西走向的滨海大边，小宇沿滨海大道参加“低碳生

活•绿色出行"健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°

的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米

到达点E时;观光船沿北偏西40°的方向航行至点。处，此时，观光船恰好在小宇的正

北方向，求观光船从C处航行到。处的距离.

（参考数据：sin40°心0.64,cos40°««0.77,tan400-0.84,sin68°-0.93,cos680〜

【分析】过点C作CFJ_£»E于尸，根据/ACB的正切值可得A8=496m,则可得BE的长,

再根据NO的正弦可得答案.

【解答】解：过点C作CFLDE于F,

；tanNACB=迪，

CB

.,.AB=CBXtan680=200X2.48仁496(〃?)，

：.BE=AB-AE=496-200=296(m),

,：NCFE=NFEB=NCBE=90°,

四边形FEBC为矩形，

：.CF=BE=296m,

在RtaCDF中，ZDFC=90°,

VsinZD=^l,

CD

.•.CO=-^462.5(m),

0.64

答：观光船从C处航行到D处的距离约为4625".

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求

解是解决此类题目的关键.

20.(6分)(2022•青岛)孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好

的老师.阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门

的金钥匙.某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中

随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，

对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：

学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表

组别时长r（单人数累计人数

位：h）

第一组W正正正正正正30

第二组2at<3正正正正正正正正正正正正60

第三组3W/V4正正正正正正正正正正正正正70

正

第四组4W/V5正正正正正正正正40

根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图；

（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组:

（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比

为30%,对应的扇形圆心角的度数为108"；

（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2/?,请你估计，该校学生中有多

少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？

学生每周自主发展兴趣爱好时长频数目方图

【分析】（1）根据频数分布表可得第三组和第四组的频数，进而补全频数分布直方图；

（2）根据中位数的定义解答即可；

（3）用第二组的学生人数除以总人数即可得出第二组的学生人数占调查总人数的百分

比，再用其乘360°即可得出对应的扇形圆心角的度数；

（4）用样本估计总体即可.

【解答】解：（1）补全频数分布直方图如下：

学生每周自主发展兴趣爱好时长频数直方图

(2)这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组，

故答案为：三；

(3)若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比

为：篇X100%=30%；

对应的扇形圆心角的度数为：360°X30%=108°,

故答案为：30%；108；

(4)2200X_3L=330(人)，

200

答：估计该校学生中有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间.

【点评】本题考查中位数、频数分布表以及频数分布直方图，掌握频数统计的方法是解

决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法.

21.(6分)(2022•青岛)【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△A5C中，AD,4。'分别是和g。边上的高线，且AZ)

=4。、则△A8C和△AEC是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用&A8C,SMBC分别表示△A3C和△4'B'C'的面积,

则S&A'B'C=ABZC'•A'D',

22

"：AD=A'D'

・・SAABC：SaA'B'C'=BC：8c.

【性质应用】

(1)如图②，。是△A8C的边上的一点.若80=3,0c=4,贝ijSMBO：S^ADC=

34；

(2)如图③，在△A3C中，D,E分别是3C和A5边上的点.若BE：AB=\：2,CD：

BC=1:3,S^ABC=1f则S"EC=—，S/^CDE=—；

-2——6-

(3)如图③，在△ABC中，D,E分别是8C和A8边上的点.若BE：AB=］：m,CD：

=

BC1：n->SMBC=。，则SZC£)E=__—

mn

（图①）（图②）（图③）

【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；

（2）同（1）的方法即可求出答案；

（3）同（1）的方法即可求出答案.

【解答】解：⑴•••80=3,DC=4,

**•S^ABD：SAADC=BD：DC=3：4,

故答案为：3：4；

(2)•：BE：AB=\：2,

=

:•SABEC：S&ABC=BE：AB1：2,

,**SMBC=1，

•**S&BEC=—；

2

VCD：BC=1：3,

**•SACDE：S&BEC=CD：BC=\：3,

•■•5ACDE=—5ABEC=—X—=—;

3326

故答案为：.1,1；

26

⑶•:BE：AB=1：m,

**•S/sBEC'SAABC=BE：AB=1：tn.

•S^ABC=a，

.1a

SABEC=±sAABC=—;

mm

VCD：BC=\：n,

:,SACDE：S^BEC=CD：BC=\：n,

S^CDE——S^BEC—,

nnmmn

故答案为：a.

mn

【点评】此题主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比

是解本题的关键.

22.（8分）（2022•青岛）如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C,与反比

例函数y=-2的图象在第二象限相交于点A（-1,机），过点A作ACx轴，垂足为D

x

AD^CD.

（1）求一次函数的表达式；

【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出〃?，再求得C点坐标，然后利用待

定系数法即可求出一次函数的解析式；

（2）由勾股定理求出AC的长，再根据CE=C4且E在x轴上，分类讨论得。的值.

【解答】解：（1）•.•点A（-1,胆）在反比例函数＞=-2的图象上，

X

：•-m=-2,解得：机=2,

AA(-1,2),

・・・AZ)_Lx轴，

：.AD=2,00=1,

:.CD=AD=2,

：.0C=CD-0D=\,

：.C(1,0)

把点A(-1,2),C(1,0)代入y=fcv+b中，

[-k+b=2,

1k+b=0'

解得，k=]

lb=l

，一次函数的表达式为y=-x+1；

(2)在RtZ\AZ)C中，AC={AD2+CD2=2衣,

:.AC=CE=2近,

当点E在点C的左侧时，a=l-2近,

当点E在点C的右侧时，。=1+2&,

.'.a的值为1±2&.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、

勾股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解答本题的关键.

23.(8分)(2022♦青岛)如图，在四边形ABC。中，A3〃C£>,点E,F在对角线8。上,

BE=EF=FD,ZBAF^ZDCE=90Q.

(1)求证：△A8尸四△COE；

(2)连接AE,CF,已知①(从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号),

请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论.

条件①：ZABD=30°；

条件②：AB=BC.

(注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分)

【分析】(1)由等式的性质得8尸=OE,由平行线的性质得从而利用

AAS证明△A8F四△CDE；

(2)若选择①，由(1)可说明A尸〃CE,则四边形AEC尸是平行四边形，由直角三角形

斜边上中线的性质得AE=/BF，利用含30°角的直角三角形的性质得AF=1BF,则

AE=AF,从而。AECF是菱形；若选择②连接AC交8。于点O,同理可得四边形AECF

是平行四边形，利用等腰三角形的性质可得8。_LAC,即从而证明结论.

【解答】(1)证明：；BE=FD,

：.BE+EF=FD+EF,

：.BF=DE,

'：AB//CD,

:./ABF=NCDE,

在AAB尸和△COE中，

，ZABF=ZCDE

<ZBAF=ZDCE

,BF=DE

:*△ABFQMCDE(AAS)；

(2)解：若选择条件①：

：.AF=CE,NAFB=NCED,

J.AF//CE,

...四边形AEC尸是平行四边形，

VZBAF=90°,BE=EF,

'：ZBAF=90°,NABD=30°,

■•AF—与1BF，

：.AE=AF,

.”AECF是菱形；

若选择条件②：

四边形AECF是菱形，理由如下:

连接AC交BZ）于点0,

：.AF=CE,NAFB=NCED,

：.AF//CE,

...四边形AECF是平行四边形，

；.A0=C0,

"：AB=BC,

：.B0±AC,

即EF±AC,

.”AECF是菱形.

故答案为：①（答案不唯一）.

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，熟

练掌握菱形的判定定理是解题的关键.

24.（10分）（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10

千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，

批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经

验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多

销售1箱.

（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；

（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多

少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克

降低0.2元得：y=8.2-0.2（x-I）=-0.2x+8.4,

（2）设李大爷每天所获利润是w元，由总利润=每千克利润X销量得w=[12-0.5（%

-1）-（-.02x+8.4）JX10x=-3（x-11）2+1681,利用二次函数性质可得李大爷

612

每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元.

【解答】解：（1）根据题意得：y=8.2-0.2（x-1）=-0.2x+8.4,

答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y=-0.M+8.4；

（2）设李大爷每天所获利润是w元，

由题意得：w=[12-0.5（x-1）-（-.02x+8.4）]X10x=-3?+41x=-3（犬-迫）2+您工，

612

V-3<0,x为正整数，且|6-鱼q>|7-生|,

66

；.x=7时，w取最大值，最大值为-3X（7-迫）2+遒L=140（元），

612

答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最