巧解外接球问题

巧解外接球问题摘要：外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜，本文就长方体、正方体及棱锥的外接球有关问题，给出了特殊解法。关键词：巧解外接球问题《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了根本要求：“在立体几何初步局部，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；……。〞由此可见，长方体模型是学习立体几何的根底，掌握长方体模型，对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的难点之一，这与学生的空间想象能力以及化归能力有关，本文通过近年来局部高考试题中外接球的问题谈几种解法。一、直接法1、求正方体的外接球的有关问题例1假设棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为.解析：要求球的外表积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故外表积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，假设该正方体的外表积为，那么该球的体积为.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体外表积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是所以球的半径为.故该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，那么此球的外表积为.解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为，故球的外表积为.例4、〔2006年全国卷I〕各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，那么这个球的外表积为〔〕.A.B.C.D.解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，应选C.二、构造法1、构造正方体例5假设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，那么其外接球的外表积是.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，那么，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求外表积是.(如图1)图2图2图1图1例6一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，那么此球的外表积为〔〕A.B.C.D.解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体满足条件，即，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为，从而外接球的直径也为，所以此球的外表积便可求得，应选A.(如图2)例7在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，那么三棱锥的外接球的体积为〔〕.A.B.C.D.解图3析：〔如图3〕因为，，所以图3，即三棱锥为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，应选C.例8球的面上四点A、B、C、D，，，，那么球的体积等于.图4解析：此题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于，，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，那么此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.〔如图4〕图42、构造长方体例9点A、B、C、D在同一个球面上，，，假设，那么B、C两点间的球面距离是.图5解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是为球的直径，O为球心，为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.〔如图5〕图5参考文献：