新常系数非齐5-6

常系数线性非齐次微分方程第六节一、常系数线性非齐次微分方程

第五章二、欧拉方程三、常系数线性微分方程组

二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)

的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—

待定系数法一、常系数线性非齐次微分方程

1.

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,为

m

次多项式.Q(x)为

m次待定系数多项式从而得到特解形式为(3)若

是特征方程的重根,即综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.特别地例1的一个特解.解本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例2例3

求解初值问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得（利用欧拉公式）构造辅助方程即是该辅助方程的特解，则是方程一个特解.而可写为可写为注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.所以对于方程例4的一个特解

.解

本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例5解

(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例6二、欧拉方程解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．则欧拉方程的解法:

于是欧拉方程转化为常系数线性方程:例7解则原方程化为其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程①设特解:代入①确定系数,得①的通解为换回原变量,得原方程通解为例8解将方程化为(欧拉方程)

则方程化为②特征根:设特解:代入②解得A=1,所求通解为思考:如何解下述微分方程提示:原方程直接令三、常系数线性微分方程组微分方程组

由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程组．注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几个具有同一自变量的函数．常系数线性微分方程组

微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组．步骤:１.从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程．常系数线性微分方程组的解法２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数.３．把已求得的函数带入原方程组或消元过程中得到的某些方程,一般经过求导求出其余的未知函数．例9

解微分方程组由(2)式得设法消去未知函数及其导数，解两边求导得，把(3),(4)代入(1)式并化简,得解之得通解再把(5)代入(3)式,得原方程组的通解为作业

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2(1)(2)3(3)(6)4(4)5(2)四、小结(待定系数法)思考题写出微分方程的待定特解的形式.思考题解答设