现代控制工程七

6．1状态反馈与极点配置6．2输出反馈与极点配置

6．3状态重构与状态观测器设计6．4降维状态观测器的概念返回控制系统的状态空间综合1第六章线性定常控制系统的综合设计本章主要内容是极点配置，通过设计反馈控制来改善系统极点的分配，达到改善系统相应特性的目的。系统反馈控制的分类：1

按照反馈信号的来源或引出点分（1）状态反馈

（2）输出反馈2

按照反馈信号的作用点或注入点分（1）反馈至状态微分处（2）反馈至控制输入处

2特点：系统无需可控可观便可以任意配置耦合极点，且设计上只须将状态反馈阵与原有的系统矩阵合并即可。能够实现这种反馈控制的系统极少。配置后系统的可控性与可观性可能改变。（1）状态反馈至状态微分处§6.1状态反馈与极点配置原系统方程状态向量x通过待设计的状态反馈矩阵k，负反馈至控制输入处，（2）输出反馈至状态微分处§6.1.1反馈至状态微分处

§6.1.2反馈至控制输入处于是从而构成了状态反馈系统。

3是系统可控（可观性可能改变）。状态反馈至控制输入状态反馈系统方程证明

这里以SISO系统进行证明。设SISO系统可控，设计定理：

引入反馈后，系统可控性不变，闭环极点可任意配置的充要条件

将状态方程化为可控标准型，

通过

4在变换后的状态空间内，引入状态反馈阵（8-185）这里分别由引出反馈系数，故变换后的状态动态方程为有

5式中显见仍为可控标准型，故引入状态反馈，系统可控不变。适当选择，可满足特征方程中n个任意特定系统的要求，因而闭环极点可任意配置。充分性得证。

再证必要性.其闭环特征方程为

设系统不可控，必有状态变量与输入u无关，不可能实现全状态反馈。于是不可控子系统的特征值不可能重新配置，传递函数不反映不可控部分的特性。必要性得证。6对在变换后状态空间中设计的k

应换算回到原状态空间中去，故(6—1)

对原受控系统直接采用状态反馈阵k，可获得于式(6—1)相同的特征值，这是因为线性变换后系统特征值不变。

实际求解状态反馈阵时，并不一定要进行到可控标准型的变换，只需校验系统可控，计算特征多项式

和特征值，并通过与具有希望特征值的特征多项式相比较，便可确定k阵。

因为非奇异线性变换后传递函数矩阵不变，故原系统的传递函数矩阵为另外需注意:

状态反馈系统仍是可控标准型。由于7而状态反馈系统的传递矩阵为显然，的分子相同，

例8-46

设系统传递函数为

试用状态反馈使闭环极点配置在－2，－1。解

单输入-单输出系统传递函数无零极点对消，故可控可观测。其可控标准型实现为8（1X3）状态反馈矩阵为

期望闭环极点对应的系统特征方程为由两特征方程同幂项系数应相同，可得

即

系统反馈阵

将系统闭环极点配置在－2，－1。

状态反馈系统特征方程为

9

例8-47

设受控系统状态方程为，试用状态反馈使闭环极点配置在－1。解

由系统矩阵为对角阵，显见系统可控，但不稳定。设反馈控制律为，，则闭环特征多项式为

10

例8-48

设受控系统传递函数为综合指标为①超调量：；

②峰值时间；③系统带宽：；试用极点配置法进行综合。④位置误差。因此，最后，闭环系统的状态方程为

11解

1）如图所示，本题要用带输入变换的状态反馈来解题，AvS(A,B,C)KU图8-24带输入变换的状态反馈系统原系统可控标准型动态方程为

2）根据技术指标确定希望极点系统有三个极点，为方便，选一对主导极点，另外一个为可忽略影响的远极点。

12由第三章，上述指标计算公式如下：

式中，分别为阻尼比和自然频率。于是，闭环主导极点为，将上述数据代入，从前两个指标可以分别求出：

；代入带宽公式，可求得；综合考虑响应速度和带宽要求，取。取非主导极点为。

3）

确定状态反馈矩阵

k

状态反馈系统的特征多项式为13由此，状态反馈矩阵

4）确定输入放大系数状态反馈系统闭环传递函数为

因此由，可以求出14§6.2输出反馈与极点配置

输出反馈至控制输入

§6.2.1输出反馈至控制输入

原系统闭环系统其中

式中，h为(nx1)

输出反馈阵。

输出至输入的反馈不会改变原系统的可控性和可观测性。只要输出是仪器传感器测得，系统总是可以实现的。注意：15§6.2.1输出反馈至状态微分处

输出反馈至状态微分处

原系统闭环系统式中，h为(nx1)输出反馈阵

输出反馈至状态微分处设计定理：定理

用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是系统可观测提示：此定理可用对偶定理来证明。定理的证明也可以用与状态反馈配置极点定理证明类似的步骤进行。16§6.3状态重构与状态观测器设计

反馈控制类型（方法）反馈控制能力反馈设计可实现性闭环极点任意配置条件状态反馈至状态微分处很强极差无状态反馈至控制输入处强差系统可控输出反馈至控制输入处强差系统可观输出反馈至状态微分处

弱好可控可观＋足够的输入与输出，一般情况不能任意配置极点

输出到状态观测器再到控制输入强好系统可控可观

17系统镇定6.3系统镇定受控系统通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统渐近稳定,这样的问题称为镇定问题。能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的。镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。镇定问题的重要性主要体现在3个方面:首先,稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条件,是对控制系统的最基本的要求;其次,许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设计目标;18系统镇定最后,稳定性往往还是确保控制系统具有其它性能和条件,如渐近跟踪控制问题等。镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况,它只要求把闭环极点配置在s平面的左侧,而并不要求将极点严格配置在期望的极点上。为了使系统稳定,只需将那些不稳定因子,即具有非负实部的极点,配置到s平面的左半开平面即可。因此,通过状态(输出)反馈矩阵使系统的特征值得到相应配置,把系统的特征值(即的特征值)配置在平面的左半开平面就可以实现系统镇定。19系统镇定下面分别介绍基于状态反馈输出反馈(外输出反馈)的2种镇定方法。20状态反馈镇定6.3.1状态反馈镇定

线性定常连续系统状态反馈镇定问题可以描述为:对于给定的线性定常连续系统

(A,B,C),找到一个状态反馈控制律:使得闭环系统状态方程是镇定的,其中K为状态反馈矩阵,v为参考输入。21状态反馈镇定对是否可经状态反馈进行系统镇定问题,有如下2个定理。定理6-3

状态完全能控的系统

(A,B,C)可经状态反馈矩阵镇定。

证明

根据状态反馈极点配置定理6-1,对状态完全能控的系统,可以进行任意极点配置。因此,也就肯定可以通过状态反馈矩阵K将系统的闭环极点配置在s平面的左半开平面之内,即闭环系统是镇定的。故证明了,完全能控的系统,必定是可镇定的。

22状态反馈镇定定理6-4

若系统

(A,B,C)是不完全能控的,则线性状态反馈使系统镇定的充要条件是系统的完全不能控部分是渐近稳定的,即系统

(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。证明

(1)

若系统

(A,B,C)不完全能控,可以通过线性变换将其按能控性分解为:其中,为完全能控子系统;为完全不能控子系统。23状态反馈镇定(2)由于线性变换不改变系统的特征值,故有:(3)

由于原系统

(A,B,C)与结构分解后的系统

在稳定性和能控性上等价,假设K为系统

的任意状态反馈矩阵,对引入状态反馈阵,可得闭环系统的系统矩阵为24状态反馈镇定进而可得闭环系统特征多项式为:

比较式(6-18)与式(6-20),可以发现:引入状态反馈阵后,只能通过选择来使得的特征值具有负实部,从而使能控子系统渐近稳定。但的选择并不能影响不能控子系统的特征值分布。因此,当且仅当不能控子系统渐近稳定时(的特征值均具有负实部),整个系统是状态反馈能镇定的。从而定理得证。

25状态反馈镇定基于线性系统能控结构分解方法和状态反馈极点配置方法,可得到如下状态反馈镇定算法。状态反馈镇定算法:

步1:将可镇定的系统

(A,B,C)进行能控性分解,获得变换矩阵Pc,并可得到其中,为完全能控部分,为完全不能控部分但渐近稳定。26状态反馈镇定步2:利用极点配置算法求取状态反馈矩阵,使得

具有一组稳定特征值。步3:计算原系统

(A,B,C)可镇定的状态反馈矩阵例6-6

给定线性定常系统试设计状态反馈矩阵K,使系统镇定.27状态反馈镇定解:

1)对系统进行能控性分解。表明系统不完全能控.取能控性分解变换矩阵Pc为:28状态反馈镇定于是可得原系统的能控性分解为由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1,因此不能控子系统是稳定的,系统是可镇定的。29状态反馈镇定2)对能控部分进行极点配置由上可知,系统的能控部分为设A*

为具有期望特征值的闭环系统矩阵且,本例中设期望的闭环极点取为-3和-2。因此有30状态反馈镇定显然,当反馈阵为此时,闭环系统矩阵A*为31状态反馈镇定3)求取原系统的状态反馈镇定矩阵经检验,经状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。32输出反馈镇定6.3.2输出反馈镇定(外输出反馈)

线性定常连续系统输出反馈镇定问题可以描述为:对于给定的线性定常连续系统Σ(A,B,C),找到一个输出反馈控制律:u=-Hy+v式中,H为输出反馈矩阵,v为参考输入。引入输出反馈矩阵H后,闭环系统状态方程为:对是否可经输出反馈进行系统镇定问题,有如下定理。33输出反馈镇定定理6-5

系统Σ(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中的能控且能观部分是能输出反馈极点配置的,其余部分是渐近稳定的。证明

对进行能控能观性结构分解,可得34输出反馈镇定由于输出反馈可以视为状态反馈K=HC

的一种时的特例,且原系统Σ(A,B,C)与结构分解后的系统在能观性和能控性上等价,同定理6-4证明过程,对系统引入输出反馈矩阵,可得闭环系统的系统矩阵35输出反馈镇定相应的闭环系统特征多项式为:由能控能观性分解知,当且仅当

的特征值均具有负实部时,闭环系统才能获得渐近稳定。因此,系统Σ(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件是Σ结构分解中的能控且能观部分

是能输出反馈极点配置的,其余部分是渐近稳定的。由定理6-5可知,能输出反馈镇定,一定可以状态反馈镇定。但反之则不尽然,能状态反馈能镇定的,并不一定能输出反馈镇定。36输出反馈镇定例6-7

考虑线性定常系统Σ(A,B,C),其中分析通过输出反馈的系统可镇定性。解由系统的能控能观判据知,该系统是能控且能观的。因此,系统通过输出反馈能镇定的条件是整个系统都应是能镇定的。首先求系统的特征多项式为:由劳斯判据,开环系统不稳定。37输出反馈镇定设输出反馈矩阵为H=[h1

h2]T,则闭环系统的系统矩阵为:相应的闭环系统特征多项式为:由劳斯判据,可以得出特征方程根均具有负实部(能够镇定)的h1及h2取值范围为:38输出反馈镇定在本例中,若取h1=-3,h2=-2,则闭环系统特征多项式化为:其特征根为s1=-0.57,s2=-0.22+1.3j。因此,原系统经过输出反馈H=[-3-2]T能够镇定。

39用全维状态观测器实现状态反馈原理§6.3.1全维状态观测器及其状态反馈系统组成结构原系统模拟系统设计H阵，将反馈引入状态观测器，使和尽快衰减至零。

设计原理：

40§6.3.2状态观测器的分析与设计由图（6－2），全维状态观测器状态方程为

故有，

式中,(A-HC)称为观测器系统矩阵，H为nxq

维矩阵。状态误差向量的状态方程为

其解为

为了保证状态反馈系统正常工作，必须满足41当时，恒有，输出反馈不起作用；当时，有，输出反馈便起作用，

提示：设计过程和方法与输出反馈到状态微分的系统相同这时只要观测器的极点具有负实部，状态误差向量总会按指数衰减，衰减速率取决于观测器的极点配置。设计定理

若系统可观测，则可用全维观测器

来给出状态估值，矩阵H可按极点配置的需要来设计，以决定状态估计误差衰减的速率。实际选择H阵参数时，既要防止状态反馈失真，又要防止数值过大导致饱和效应和噪声加剧等，通常希望观测器的响应速度比状态反馈系统的响应速度快3～10倍为好。42例8-49

设受控对象传递函数为

，试设计全维状态观测器，将其极点配置在－10，－10。

则有

由于

，输出反馈H为矩阵

全维观测器的系统矩阵为

解

该单输入－单输出系统传递函数无零极点对消，故系统可控可观测。若写出其可控标准型实现，

43观测器的特征方程为

由特征方程同幂系数相等可得分别为由引至

的反馈系数。期望特征方程为

一般来说，如果给定的系统模型是传递函数，建议按可观标准型实现较好，这样观测器的极点总可以任意配置，从而达到满意的效果。44状态反馈子系统的动态方程§6.3.3状态重构反馈系统分析与设计

故复合系统动态方程为由于，

且可以得到复合系统的另外一种形式。全维状态观测器子系统的动态方程为45§6.3.3状态重构反馈系统分析与设计

（6－3）

由式（6－3）

，可以导出复合系统传递函数矩阵为

利用分块矩阵求逆公式

（6－4）

则

46该式表明复合系统与状态反馈系统具有相同的传递特性，与观测器的部分无关，可用估值状态代替真实状态作为反馈。从维复合系统导出了传递函数矩阵，这是由于不可控造成的。式（6－4）右端正是引入真实状态作为反馈的状态反馈系统的传递函数矩阵。复合系统的特征值多项式为