高考数学 专题阶段评估模拟卷4 立体几何 文

专题阶段评估(四)立体几何【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)题号12345678910答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·江西高三上学期七校联考)已知直线a和平面α、β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α、β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行 B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面2．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为()A.eq\f(8\r(2)π,3) B.eq\f(8π,3)C.eq\f(32π,3) D．8π3．(2013·湖南五市十校检测)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为()A.eq\f(4\r(3),3) B．4eq\r(3)C．8 D．124．(2013·江西卷)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．200＋9π B．200＋18πC．140＋9π D．140＋18π5．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∥γ))⇒β∥γ②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,m∥α))⇒m⊥β③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m∥β))⇒α⊥β④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n⊂α))⇒m∥α其中正确的命题是()A．①④ B．②③C．①③ D．②④7．(2013·湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为eq\r(2)的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.eq\f(\r(3),2) B．1C.eq\f(\r(2)＋1,2) D.eq\r(2)8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1A．有无数条 B．有2条C．有1条 D．不存在9．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC10．(2013·东北三校模拟)点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为eq\f(2,3)，则这个球的表面积为()A.eq\f(125π,6) B．8πC.eq\f(25π,4) D.eq\f(25π,16)第Ⅱ卷(非选择题共100分)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分二161718192021得分二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．(2013·陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．12．(2013·山西省诊断考试)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C113．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)14．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．15．(2013·山西省诊断考试)已知三棱锥P－ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO⊥平面ABC，eq\f(AC,BC)＝eq\r(3)，则三棱锥与球的体积之比为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(2013·长春市调研)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)若E是线段A1B上一点，且满足VE－BCC1＝eq\f(1,12)·VABC－A1B1C1，求A1E的长度．17．(本小题满分12分)(2013·安徽卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝eq\r(6).(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．18．(本小题满分12分)(2013·荆州市质量检查)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，M是PB的中点．(1)求证：AM＝CM；(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.19．(本小题满分13分)(2013·东北三校模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1(1)求证：CF∥平面AB1E；(2)求三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高．20．(本小题满分13分)如图，多面体ABC－A1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1(1)若O是AB的中点，求证：OC1⊥A1B1；(2)在线段AB1上是否存在一点D，使得CD∥平面A1B1C1，若存在，确定点D21．(本小题满分13分)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求证：BD⊥平面POA；(2)记三棱锥P－ABD的体积为V1，四棱锥P－BDEF的体积为V2，求当PB取得最小值时V1∶V2的值．详解答案专题阶段评估(四)一、选择题1．D依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.2．A由题意，球的半径为R＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故其体积V＝eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3)，选A.3．C由三视图可知该几何体为正四棱锥，底面边长为2，斜高为2，侧面为4个全等的等腰三角形，所以该几何体的侧面积为S＝4×eq\f(1,2)×2×2＝8.4．A由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体．长方体的长、宽、高分别为10、4、5，半圆柱底面圆半径为3，高为2，故组合体体积V＝10×4×5＋9π＝200＋9π.5．B可以通过观察正方体ABCD－A1B1C1D1进行判断，取BC1为直线m，平面ABCD为平面α，由AB，CD均与m垂直知，选项A错；由D1C1与m垂直且与α平行知，选项C错；由平面ADD1A1与m6．C对于②，直线m与平面β可能平行或相交；对于④，直线m可能也在平面α内．而①③都是正确的命题，故选C.7．D由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为eq\r(2)的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为eq\r(2)，宽为1的矩形，其面积为eq\r(2).8．A∵平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1∴两平面有1条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF9．D由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.10．C如图所示，O为球的球心，由AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2可知∠ABC＝eq\f(π,2)，即△ABC所在的圆面的圆心O1为AC的中点，故AO1＝1，S△ABC＝1，当D为OO1的延长线与球面的交点时，D到平面ABC的距离最大，四面体ABCD的体积最大．连接OA，设球的半径为R，则DO1＝R＋eq\r(R2－1)，此时VA－BCD＝eq\f(1,3)×S△ABC×DO1＝eq\f(1,3)(R＋eq\r(R2－1))＝eq\f(2,3)，解得R＝eq\f(5,4)，故这个球的表面积为4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2＝eq\f(25π,4).二、填空题11．解析：原几何体可视为圆锥的一半，其底面半径为1，高为2，∴其体积为eq\f(1,3)×π×12×2×eq\f(1,2)＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)12．解析：依题意得，该几何体的侧视图是边长分别为2和eq\r(3)的矩形，因此其侧视图的面积为2eq\r(3).答案：2eq\r(3)13．解析：由两平面平行的性质，易知由③⑤⇒m∥β；由②⑤⇒m⊥β.答案：③⑤②⑤14.解析：折叠后的四面体如图所示．OA，OC，OD两两相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2eq\r(2)，所以体积V＝eq\f(1,3)S△OCD·OA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3).答案：eq\f(8\r(2),3)15.解析：依题意，AB＝2R，又eq\f(AC,BC)＝eq\r(3)，∠ACB＝90°，因此AC＝eq\r(3)R，BC＝R，三棱锥P－ABC的体积VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f(1,3)×R×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(3)R×R))＝eq\f(\r(3),6)R3.而球的体积V球＝eq\f(4π,3)R3，因此VP－ABC∶V球＝eq\f(\r(3),6)R3∶eq\f(4π,3)R3＝eq\f(\r(3),8π).答案：eq\f(\r(3),8π)三、解答题16．解析：(1)证明：∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC∴A1O⊥AC，又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C∩底面ABC＝AC，A1∴A1O⊥平面ABC.(2)∵VE－BCC1＝eq\f(1,12)VABC－A1B1C1＝eq\f(1,4)VA1－BCC1，∴BE＝eq\f(1,4)BA1，即A1E＝eq\f(3,4)A1B.连接OB，在Rt△A1OB中，A1O⊥OB，A1O＝eq\r(3)，BO＝1，故A1B＝2，则A1E的长度为eq\f(3,2).17．解析：(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD.又因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面APC.又PC⊂平面APC，因此BD⊥PC.(2)因为E是PA的中点，所以V三棱锥P－BCE＝V三棱锥C－PEB＝eq\f(1,2)V三棱锥C－PAB＝eq\f(1,2)V三棱锥B－APC.由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝eq\r(3)，AC＝2eq\r(3)，BO＝1.又PA＝eq\r(6)，所以PO2＋AO2＝PA2，所以PO⊥AC，故S△APC＝eq\f(1,2)PO·AC＝3.由(1)知，BO⊥平面APC，因此V三棱锥P－BCE＝eq\f(1,2)V三棱锥B－APC＝eq\f(1,2)·eq\f(1,3)·BO·S△APC＝eq\f(1,2).18．证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，∴AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2)，∴BC⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝eq\f(1,2)PB，在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝eq\f(1,2)PB，∴AM＝CM.(2)连接DB交AC于点F，∵DC綊eq\f(1,2)AB，∴DF＝eq\f(1,2)FB.取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM，又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，∴DG∥平面AMC.连接GN，则GN∥MC，∴GN∥平面AMC，又GN∩DG＝G，∴平面DNG∥平面AMC.又DN⊂平面DNG，∴DN∥平面AMC.19．解析：(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG，∵F、G分别是AB、AB1的中点，∴FG∥BB1，FG＝eq\f(1,2)BB1.∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC，FG＝EC，∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC∴BB1⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1∴VA－EB1C＝eq\f(1,3)S△EB1C·AC＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×1＝eq\f(1,6).∵AE＝EB1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(6)，∴S△AB1E＝eq\f(\r(3),2)，∵VC－AB1E＝VA－EB1C，∴三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高为eq\f(3VC－AB1E,S△AB1E)＝eq\f(\r(3),3).20.解析：(1)证明：取线段A1B1的中点E，连接OE，C1E，CO，已知等边三角形ABC的边长为4，AA1＝BB1＝2CC1＝4，AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1∥CC1，∴四边形AA1B1B是正方形，OE⊥AB，CO⊥AB，又∵CO∩OE＝O，∴AB⊥平面EOCC1，又A1B1∥AB，OC1⊂平面EOCC1，故OC1⊥A1B1，(2)设OE∩AB1＝D，则点D是AB1的中点，∴ED∥AA1，