高考数学 合情推理与演绎推理课后作业 文 新人教A版

课后作业(三十八)合情推理与演绎推理一、选择题1．(2013·厦门质检)如图6－5－2是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()图6－5－22．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)3．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确4．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值eq\f(\r(3),2)a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值()A.eq\f(\r(6),3)aB.eq\f(\r(6),4)aC.eq\f(\r(3),3)aD.eq\f(\r(3),4)a5．(2013·南昌调研)观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72011的末两位数字为()A．01B．43C．07D．496．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f(eq\f(x1＋x2,2))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为()A．y＝log2xB．y＝eq\r(x)C．y＝x2D．y＝x3二、填空题7．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．9．如图6－5－3甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2＝BD·BC，该结论称为射影定理．如图6－5－3乙，在三棱锥A—BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD这三者之间满足的关系式是________．图6－5－3三、解答题10．设f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，试求：(1)a18的值；(2)该数列的前n项和Sn.12．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解析及答案一、选择题1．【解析】该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.【答案】A2．【解析】由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．【答案】D3．【解析】f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，∴上述推理过程中小前提不正确．【答案】C4．【解析】正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为eq\f(\r(3),4)a2，正四面体的体积为eq\f(\r(2),12)a3，则有eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝eq\f(\r(2),12)a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝eq\f(\r(6),3)a.【答案】A5．【解析】∵72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，77＝823543，…∴7n(n∈Z，且n≥2)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，又∵2011＝502×4＋3，∴72011与73的末两位相同，未两位数字为43.【答案】B6．【解析】结合函数图象，直观观测C满足，事实上f(eq\f(x1＋x2,2))＝(eq\f(x1＋x2,2))2，eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＝eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),2).∵2x1x2＜xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)(x1≠x2)，∴(eq\f(x1＋x2,2))2＝eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋2x1x2,4)＜eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),2)，因此f(eq\f(x1＋x2,2))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)，y＝f(x)＝x2在D上为凹函数．【答案】C二、填空题7．【解析】进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝eq\f(n（n＋3）,2)，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.【答案】148．【解析】根据等比数列的性质知，b1·b2·b3·b4，b5·b6·b7·b8，b9·b10·b11·b12，b13·b14·b15·b16成等比数列，即T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．【答案】eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)9．【解析】连接DO并延长交BC于点E.连接AE，则BC⊥DE，BC⊥AE.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE，S△BCO＝eq\f(1,2)BC·EO，S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DE，又AE2＝EO·ED，∴Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCO·S△BCD.【答案】Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCO·S△BCD三、解答题10．【解】f(0)＋f(1)＝eq\f(1,20＋\r(2))＋eq\f(1,2＋\r(2))＝eq\f(1,1＋\r(2))＋eq\f(1,2＋\r(2))＝eq\r(2)－1＋eq\f(2－\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)，同理可得f(－1)＋f(2)＝eq\f(\r(2),2)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(\r(2),2).这三个特殊的式子中，自变量之和均等于1，归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝eq\f(\r(2),2).证明设x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝eq\f(1,2x1＋\r(2))＋eq\f(1,21－x1＋\r(2))＝eq\f(1,2x1＋\r(2))＋eq\f(1,\f(2,2x1)＋\r(2))＝eq\f(1,2x1＋\r(2))＋eq\f(2x1,2＋\r(2)·2x1)＝eq\f(\r(2)＋2x1,\r(2)（\r(2)＋2x1）)＝eq\f(\r(2),2).11．【解】(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1，2，…)，故a18＝3.(2)当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝2＋2＋…＋2eq\f(n,2)个2＋3＋3＋…＋3eq\f(n,2)个3＝eq\f(5,2)n；当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝eq\f(5,2)(n－1)＋2＝eq\f(5,2)n－eq\f(1,2).综上所述：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)n（n为偶数），,\f(5,2)n－\f(1,2)（n为奇数）.))12．【证明】如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连