江苏省南京市江宁区2021-2022高一年级下册数学期末试卷及答案

2021-2022学年第二学期期末试卷

占.____

[Rj一■效字2022.06

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.严22的值为

A.1B.—1C.iD.—i

2.数据0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的60百分位数为

A.6B.6.5C.7D.5.5

3.设1其为平面内一个基底，已知向量A月=1-乂；,CB=4e[-2^,函=31一3心若

A,8,。三点共线，则左的值是

A.2B.lC.-2D.-1

4.己知圆锥的表面积等于12兀cm2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为

A.1cmB.2cmC.3cmD，2cm

5.设函数f(%)=2%+%-5在区间(W+l)(kGZ)内有零点,则k的值为

A.-1B.0C.1D.2

6.已知sin

77

B.C.D.

A・半78

7.《九章算术》把底面为直角三角形，旦侧棱垂直于底面的三

棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的

四棱锥称为“阳马”，现有如图所示的“堑堵〃ABC-AgG，

其中ACLBC,AA}=AC=\f当“阳马”（即四棱锥

B-A.ACCJ体积为寸，贝IJ“堑堵”即三棱柱ABC—4片G

的外接球的体积为

A.3万B.^~兀C.邪九

2

8.在中，通•通=9,sin(A+C)=cosAsinC,=6,

AABCSAABC户为线段A3上的动点,

CACB21

且.同厨则r7的最小值为

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列有关复数的说法正确的是

A.若复数z=5,则zeRB.若z+彳=0,则Z是纯虚数

C.若Z是复数，则一定有|z『=z2D.若Z],Z2eC,则Z]-Z2=Z/Z2

10.已知d夕是不同的平面，丸〃是不同的直线，则使得加〃〃成立的充分条件是

A.mlla,nllaB.m//a,mup,ac/3=n

C.mVa,nVaD,m//a,nc:/3,a//

11.在AABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知4=45。,0=2,下列说法正确的

是

A.若。=有两解

B.若〃=3,AA3C有两解

C.若为锐角三角形，则b的取值范围是(0,2立)

D.若AABC为钝角三角形，则方的取值范围是(0,夜)

12.已知点O为AABC所在平面内一点，且2砺+3万+4无=0则下列选项正确的有

A.AO=-AB+-ACB.直线AO过BC边的中点

39

__k_,_.3

c.S△408:S&BOC=2:1D.若1041=|。31=1OC|=1,则°C・AB=-0

16

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空3分，第二空2分，共20

分。

13.tan15=▲.

14.在正方体4笈G〃中，尸为5〃的中点，则直线即与44所成的角为▲

15.在平面直角坐标系my中，点”(1,2)、8(2,3)、C(3,-l),以线段月8,XC为邻边作平行

四边形，两条对角线中较长的对角线长为▲

16.我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜累，

并大斜累，减中斜塞，余半之，自乘于上；以小斜暴乘大斜基，减上，余四约之，为实；

一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即S=JLC/-(C2+"2")2](其中s为

V42

三角形面积，&b,c为三角形的三边).在非直角“A8C中，a,b,c为内角A,B,C所对应的

三边，若。=3且"=C(COSB+6COSC),则-ABC面积的最大值是▲,此时

^ABC外接圆的半径为▲

四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知复数4=l-3i,z2=a+i,«eR,若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复

数

为“理想复数”，已知马仁为“理想复数”.

(D求实数”；

呼1，㈤斗2|

(2)定义复数的一种运算“③"：Z|(g)Z2=42，求

18.社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用.某市

进行人才引进，需要进行笔试和面试，按笔试成绩从高分到低分排序，根据面试人数确

定面试人员，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在［40,100］内，将笔试

成绩按照［40,50)、［50,60)、……、［90,100］分组，得到如图所示频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中”的值；

(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数(每组数据以区间中点值为代表)；

(3)若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线.

分数

4()50607080901()0

19.已知尸为锐角，tana=2,sin(cr-P)=.

(1)求cos2c的值；

(2)求尸的值.

20.在△MC中，©Ac分别为角A3,C的对边，沅=(2/?+G85。),”=(一〃,8&4),且历〃万，

a-2y/3.

(1)求A角大小.

(2)。为BC边上一点，AD=\,且▲,求AABC的面积.

(从①AO为N8AC的平分线，②。为3c的中点，两个条件中任选一个补充在上面的

横线上并作答.如果都选，以选①计分.)

21.如图，三棱锥4-8CZ)中，AABC为等边三角形，且面43。_1面88,CD±BC,

(D求证：CDA.AB；

(2)当AO与平面腼所成角为45°时，求二面角C-AD-B的余弦值.

CP

22.已知△四。的内角A,B,C的对边分别为mb,c,。=6,P,。为边比上两点，黑

Dr

粉/2,“T

(1)求雨的长;

(2)过线段心中点£作一条直线/,分别交边也，然于机N两点，设Ri=x标，AN=yAC

(不必)，求x+y的最小值.

2021-2022学年第二学期期末试卷

高一数学参考答案

一、单选题：

1.B2.D3.D4.B5.C6.D7.B8.C

二、多选题

9.AD10.BC11.AC12.ACD

三、填空题

13.2-V314.615.V1716.恒.3

4

四、解答题

17.由题得Z]=1—3i,z2=a+i

z,-z2=(l-3i)(a+i)=a+3+(l-3a)i2分

・・,ZK是“理想复数”

.•.(4+3)+(1-3々)=0

a=2.........................4分

(2)

由(1)知马=l-3i,Z2=2+i,则团=/15,22|=石

由㈤=&5习Zz|二石.........................................6分

得43入=^1^=五+l=U+i=(l-3i)(2T)+」=q-Zi..............]

12分

z2z22+i555

18.解：

(1)由题意有(0.005+0.010+a+0.030+a+0.015)xl0=l,解得。=0.020.........2分

⑵应聘者笔试成绩的众数为丁=75,4分

应聘者笔试成绩的平均数为

45x0.05+55x0.1+65x0.2+75x0.3+85x0.2+95x0.15=74.5........7分

(3)方法一：因为面试150人，•■•^=0.75,所以最低分数在前25%,应该在[60,70)范

200

围内；

0.25-0.15

所以最低分数线估计为：60+x10=65

0.35-0.15

方法二•••标=。75,所以，面试成绩的最低分为25%百分位数，

前两个矩形面积之和为QO5+O.1=0.15,前三个矩形的面积之和为0.15+0.2=0.35,

设25%百分位数为小，则0.15+(机-60)x0.02=0.25,解得帆=65.

因此，若计划面试150人，估计参加面试的最低分数线为65................12分

19.(1)因tan<z=2,所以

〜2.，cos2a-sin2aI-tan2a3

cos2a=cos~a-sin**a=——--------------=-------------=................................................5分

cos~a+sin~al+tan~a5

⑵因a4为锐角，则—g<a—而sin(a-0=巫，则

2210

cos(a_=-sin2(a-/?)=,..................................................................................分

于是得tan（a-/?）=\,所以lan尸二tan［a—（a—.）］二-「“丁一丁”（:-"------^=1..........TO分

31+tanatan（a一4）］+2xl

3

=~...................................................................................12分

4

20.（1）*:tnlIn,:.（2b+c）cosA=-acosC..............................................................................2分

由正弦定理得：

（2sinB+sinC）cosA=-sinAcosC

2sin4cosA+sinCcos/4+sirtAcosC=0

2sinBcosA+sin（A+C）=0

2sinBcosA+sinB-0

sinB（2cosA4-l）=0

vsinB^O,

1

cosA=—

2

・・•Aw（0,乃），.・.4=4...................................................................................4分

(2)选①：

由AO平分44C得：ShABC=S^D+SMD

—Z?csinl20=—x1xcsin60+—xlx/?sin60,

222

所以。c=Z?+c,(1)...................................6分

22

在AABC中,由余弦定理得：a=b+a?-26ccosl20,〃=26

所以廿+d+历=]2，(2).....................................8分

⑴⑵联一汇，得f%+bec=»bc+c=l2

解得(〃c)2-历-12=0,解得物;=4,.....................................10分

所以S,8c=4esinl20=』x4x且=6，.....................................12分

we222

选②：

AD2=^(AB+AC)2=^{AB2+2AB-AC+AC2^

1=；(/+2历(：8120+〃)，得^+/-乩=4(1).............................6分

△ABC中，由余弦定理得/=/+c2-2bccosl20,a=2石

所以巨+。2+庆=12，(2)...................................8分

(2)-(1)即可得Z?c=4,.....................................10分

SARC=—/?csinl20=—x4x—=6....................................12分

AAOL222V

21.(1)在三棱锥A-8c。中，平面ABC_L平面88,平面4?。门平面3cD=8C,而

CDrBC,

CZ)u平面88,因此有CD_L平面ABC,又有ABu平面ABC,

AFu平面A8C,于是得AFJ_平面8C£>,

ZADF是A£>与平面BCD所成角，即ZADF=45,.......................6分

令BC=2,则=A尸=百，因C£>J_3C,即有OC=J5，由（D知，DCVAC,则有

AD=BD=瓜>

过。作CO_LA/）交4〃于0,在平面ABD内过。作。E_LA£>交切于E,连CE,从而得NCOE

是二面角C-A£>—B的平面角，........................8分

RSA8中，34彩晦，3后浙阿谤卷

（病2+（向222=2

△A3。中，由余弦定理得cos/EDO=一"+'"一"。

2ADBD2x^/6x^63

DE=———=—,OETDE2-OD?=叵，显然£是Rtz^CZ）斜边中点，则

cos/EDO26

CE=；BD当,

2+由-金

△COE中，由余弦定理得cos/COE=

2COEO

以二面角C—AD—8的余弦值巫....................................12分

10

通二』和

22.解:1）在丛ABD与△/宓中分别有正弦定理可得:

CD_AC

sin/CAQsin/AQC

BQ_AB*sinZBAQ

两式相除可得:

QC-AC-sinZCAQ

又因为导詈旨2,所以可得sin-in/。。,

jr

因为/。4石，NBAQG（0,五），

jro

所以-或（舍），...................................2分

33

因为”=绘=2,所以CP=2BP,AB=2AC,

BPAC

又a=6,在中，由余弦定理可得a=IJ+C-2/>ccosZBAC,可得目=

36

.................................................

在△力园