江苏省2022年中考数学压轴试题精练（含答案）

江苏省中考数学压轴精练试题

（含答案）

1.（本题满分10分）如图，在四边形力及力中，AB-DC,E、夕分别是

AD、式的中点，G、〃分别是初、4C的中点.

（1）求证：四边形比/月是菱形；

（2）若/庐4,且胡、切延长后相交所成的锐角是60°,求四边

形切）刃的面积.

2.（本题满分10分）如图，小明在/处利用测角仪观测气球。的仰

角为30°,然后他沿正对气球方向前进了40m到达〃处，此时观测

气球的仰角为45°.如果测角仪高度为1m,那么气球的高度是多少？

（精确到0.1m）

（备注：72^1.414,百处1.732）「

2

D

40mB

3.(本题满分10分)如图：一次函数的图像交x轴正半轴于

点4y轴正半轴于点区且物=。后1.以线段4夕为边在第一象限作

正方形居修，点〃在反比例函数尸%图像上.

X

(1)求一次函数的关系式，并判断点。是否在反比例函数片名图

X

像上；

(2)在直线相上找一点R使用外的值最小，并求出点尸的

坐标.

4.(本题满分12分)如图1,已知四=8,直线/与四平行，且/

与然的距离为4,尸是/上的动点，过点尸作垂足为C,

点C不与儿夕重合，过4C,尸三点作。Q

(1)若。。与线段外交于点〃，/PAD=22.5°,则/力必等于多

少度？

(2)如图2,。〃与线段处的一个公共点为D,一条直径垂直45

于点反且与/〃交于点〃

①若超=",求4?的长；

②当赃'的长度最大时，判断直线必与。。的位置关系，并说明

理由.

5.(本题满分14分)已知二次函数产a(x+l)(x—勿)(a为常数，a>

1)的图像过点(1,2).

(1)当a=2时，求"的值；

(2)试说明方程a(x+l)(x—加)=0两根之间(不包括两根)存在唯

一整数，并求出这个整数；

(3)设"(〃，力)、N(/T+1,%)是抛物线上两点，当〃<—1时，

试比较巧与%的大小.

6.(8分)如图，一*次函数y=kx-4(kWO)的图象与y轴交于点A,

与反比例函数y=^(x>0)的图象交于点B(6,b).

X

(1)b=；k=.

(2)点C是直线AB上的动点(与点A,B不重合)，过点C且平行于

y轴的直线1交这个反比例函数的图象于点D,当点C的横坐标为3

时，得△()，口,现将△OCD沿射线AB方向平移一定的距离(如图)，

得到△()'C',若点0的对应点0'落在该反比例函数图象上，

求点0',»的坐标.

7.(10分)如图，在AABC中，ZABC=ZACB,以AC为直径的。。分

别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上，且NCAB=2NBCP.

(1)求证：直线CP是。。的切线.

(2)若BC=2泥，sinNBCP=百，求点B至UAC的距离.

(3)在第(2)的条件下，求4ACP的周长.

8.(10分)如图1,在RtZiABC中，AC=8cm,BC=6cm,D、E分别为

边AB、BC的中点，连结DE,点P从点A出发，沿折线AD-DE运动，

到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以lcm/s的

速度运动，过点L作PQLAC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN.设

点P的运动时间为t(s).

(1)当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为cm.(用含

t的代数式表示)

(2)当正方形PQMN与AABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的

面积为S(cm?),求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围.

(3)如图2,若点0在线段BC上，且CO=1,以点0为圆心，1cm长

为,半径作圆，当点P开始运动时，。。的半径以0.2cm/s的速度开

始不断增大，当。。与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t

值.

9.(10分)如图1,抛物线y=ax2-6ax+6(aWO)与x轴交于点A(8,

0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<8),过点

E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM_LAB

(1)分别求出直线AB和抛物线的函数表达式.

(2)设4PMN的面积为S”4AEN的面积为S2,若Si：S2=36：25,

求m的值.

(3)如图2,在(2)条件下，将线段0E绕点。逆时针旋转得到0E',

旋转角为a(0°<a<90°),连接E'A、E'B.

①在x轴上找一点Q,使△OQE'-A0EzA,并求出Q点的坐标.

②求BE'+*AE'的最小值.

答案

1.(10分)

(1)..下是AD的中点,G是BD的中点,.,.EG/7AB,EG」AB,2分

2

同理FH〃AB,FH」AB,EH〃CD,EH=iCD,FG/7CD,FG、CD・“4分

222

又AB=CD,.•.四边形EGFH是菱形.........5分

(2)BA、⑺延长后相交所成的角是60°,由上知N

员沪60°.........7分

VAB=4/.EG=2,即四边形EGFH是有一角为60°的菱形.....9分

求得菱形EGFH的面积为2石.........10分

2.(10分)

解：如图，点A、B、C分别表示观测点及气球的位置。

由题意知，ZCAD=30°,ZCBD=45°,CD_LAD,AB=40m,设CD=xm.

在RtaBDC中，由tan45°=出，得BD==x……3分

BDtan45"

在RtZiADC中，由tan30°=空，得AD=^^=百x.……6分

ADtan30"

VAD-BD=40,73x-x=40........................8分

.\x=20+20V3^54.6.由于测角仪的高度为lm,因此气球的

高度约为55.6m.

答：气球的高度约为55.6m...........10分

3.(10分)

解：(1)由已知得：A(l,0),B(0,1)可求得一次函数关系式为y=

—x+1...2分

过D作DE±x轴于E,由全等可求得：D(2,1)4分

进而得到反比例函数的关系式y=2,

X

求出点C(1,2)可得点C在反比例函数图像上……6分

(2)延长DA交y轴于F可得：AB垂直平分DF

连接CF交AB于p,则点P即为所求.......................7分

求出CF所在函数的关系式为y=3x-l................9分

求得点P(1,...............................10分

22

4.(12分)

解：(1)：PC_LABAZACP=90°;.AP是。0的直径AZPDA=90°

ZAPD=90°-ZPAD=90°-22.5°=67.5°...........4分

(2)①连接AP,由PCLAB得AP是直径，从而ADLPB,ZBAD+ZB

=90°,

又NBPC+NB=90°,即NEAM=NCPB,.•.△MEAs^BCP.........5

分

0E±AB,又,:0A=0C,AE=EC.

设AE=x,则BC=8—2x.由逛,

BCPC

32

得2_=二化简得

8-2x4

2

25x—100x+64=0,解得x尸x2=y>即AE=|■或g8分

②当ME的长度最大时，直线PB与该圆相切.

方法一：由①设AE=x,则BC=8—2x.

由簧嘴，可得MEE+2........9分

x>0,8-2x>0,0<x<4.又-l<0,

2

...当x=2时，ME的长度最大为2..............10分

当ME=2时,AE=EC=2,即AC=4；BC=4,

由NACP=90°得AP为直径；又AC=PC=BC=4,得NAPB=45°+45°

=90°

二直线PB与该圆相切...........12分

方法二：由①设AE=x,则BC=8—2x.

由逛=丝可得ME=—L(x-2)2+2.……9分

BCPC2

x>0,8-2x>0,0<x<4.又,:~-<Q,

2

...当x=2时，ME的长度最大为2..........10分

由上知OE为aACP的中位线.0E=1PC.0E=2.当ME

2

=2时，点M与圆心0重合.即AD为直径.也即点D与点P重合.也

即此时圆与直线PB有唯一交点.

所以此时直线PB与该圆相切............12分

5.(1)a=2时，片2(x+1)(x—血，将(1,2)代入得2=4(1—m),

解得m=1.....4分

(2)由方程a(x+l)(才一%)=0解得Xi=-1,x2=m,.......6分

又尸a(x+l)(x—勿)过点(1,2),则2=2a(l—m),解得m=l-',

3,

'：a>l,.\0<-<1,OQiG即0<也<1,.........9分

a

.••两根之间存在唯一整数，这个整数是0.........10分

(3)方法一：•.,方程两根是一1,1一2且抛物线开口向上，由二次

a

函数图像与性质知，

n(一1时，M点纵坐标y90,

①当一2《欣一1时，一lWn+l<0,y2<0,此时山江.........12分

②当n<—2时，n+l<-l,此时M、N两点均在一1左侧，由抛物线图

像与性质知，y随x增大而减小，从而y〉y2,综上，当n<—1时，

yi>y2...14分

方法二：由上知，二次函数解析式可表示为尸a(x+l)(x—l+，),根

a

据题意得

yi=a(77+l)(77—1+-),%=a(7?+2)(/?+-),

aa

yi—Y2—a(/7+l)(/?—l+-)—a(/ri-2)(加，)=a(­2〃-1一')——

aaa

/II、八

2a(/7+-+—)........12分

2Za

a>1,,而n<—1,n+J<—^，

+白<0,—2a(7?+J)>0即yi—y2>0,.*.yi>y2......14分

22a22a

6.(8分)如图，一次函数y=kx-4(kWO)的图象与y轴交于点A,

与反比例函数丫=段(x>0)的图象交于点B(6,b).

X

(1)b=2；k=1

(2)点C是直线AB上的动点(与点A,B不重合)，过点C且平行于

y轴的直线1交这个反比例函数的图象于点D,当点C的横坐标为3

时，得△()，口,现将AOCD沿射线AB方向平移一定的距离(如图),

得到△()'C'D7,若点0的对应点0'落在该反比例函数图象上,

【解答】解：(1)•••点B在反比例函数丫=丝

X

(x>0)的图象上，

将B(6,b)代入y=丝，得b=2,

X

AB(6,2),

•.•点B在直线y=kx-4±,

A2=6k-4,

解得k-1,

故答案为：2,1.

(2)•.•点C的横坐标为3,

把x=3代入y=x-4,得y=-1,

AC(3,-1),

•.•CD〃y轴，

...点D的横坐标为3,

把x=3代入y=今，可得y=4,

AD(3,4).

由平移可得，ZiOCD之△()'C'D',

设O'(a,L"),则C'(a+3,--1),

aa

•.•点C'在直线y=x-4上,

---l=a+3-4,

a

...—12_—a,

a

Va>0,

•»a=2

.,.0，（2F，2证），

.,.D，（273+3,2m.

7.(10分)如图，在AABC中，ZABC=ZACB,以AC为直径的。0分

别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上，且NCAB=2NBCP.

(1)求证：直线CP是。。的切线.

(2)若BC=2泥，sinNBCP=理，求点B至UAC的距离.

(3)在第(2)的条件下，求4ACP的周长.

【解答】解：(1),.,NABC=NACB且NCAB=2NBCP,在△ABC中，Z

ABC+ZBAC+ZBCA=180°

.*.2ZBCP+2ZBCA=180o,

.,.ZBCP+ZBCA=90°,

又C点在直径上，

直线CP是。0的切线.

(2)如右图，作BDLAC于点D,

VPC1AC

.,.BD/7PC

，ZPCB=ZDBC

•.，BC=2而sinNBCP忑，

5

sinNBCP=sinNDBC=E=M=艰，

DCH55

解得：DC=2,

...由勾股定理得：BD=4,

.•.点B到AC的距离为4.

(3)如右图，连接AN,

VAC为直径，

AZANC=90°,

CN二CN二遥

Rt△ACN中，AC=cosZACN=sinZBCP7^=5,

又CD=2,

.*.AD=AC-CD=5-2=3.

VBD/7CP,

.BDAD

••正证，

吟.

22

在RtZ\ACP中，AP=VAC+CP=-V，

AC+CP+•AP=5+号•+^-=20,

...ZXACP的周长为20.

8.（10分）如图1,在Rt^ABC中，AC=8cm,BC=6cm,D、E分别为

边AB、BC的中点，连结DE,点P从点A出发，沿折线AD-DE运动，

到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以lcm/s的

速度运动，过点P作PQ_LAC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN.设点

P的运动时间为t(s).

(1)当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为(t-1)cm.(用

含t的代数式表示)

(2)当正方形PQMN与AABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的

面积为S(cm?),求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围.

(3)如图2,若点0在线段BC上，且CO=1,以点0为圆心，1cm长

为半径作圆，当点P开始运动时，。。的半径以0.2cm/s的速度开始

不断增大，当。0与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t

值.

【解答】解：(1)由勾股定理可知AB=MAC2+BC2=IO.

ID、E分别为AB和BC的中点,

.*.DE=yAC=4,AD=yAB=5.

...点P在AD上的运动时间=g=ls,

当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为(t-1)s,

VDE段运动速度为lcm/s,

/.DP=(t-1)cm,

故答案为：t-1.

(2)当正方形PQMN与4ABC重叠部分图形为五边形时,有一种情况，

如下图所示.

当正方形的边长大于DP时，重叠部分为五边形,

.*.3>t-1,t<4,DP>0,

At-l>0,解得t>l.

VADFN^AABC,

.DN=AC=_8=4_

••丽一前一TV，

VDN=PN-PD,

.,.DN=3-(t-1)=4-t,

.4-t_4

一针二，

4

.\FM=3-3”)=乎

44

S=S梯形卜MID+S矩形DHQP，

.,.S=±x(4+3)X(4-f)+3(t-1)=-4t2+3t+3(l<t<4).

248

(3)①当圆与边PQ相切时，如下图，

由(1)可知，PD=(t-1)cm,

.\PE=DE-DP=4-(t-1)=(5-t)cm,

Yr以0.2cm/s的速度不断增大，

/.r=l+0.2t,

/.1+0.2t=5-t,角牟得：t=-r-s.

②当圆与MN相切时，r=CM.

由(1)可知，DP=(t-1)cm,则PE=CQ=(5-t)cm,MQ=3cm,

MC=mq+cq=5-t+3=(8-t)cm,

.*.1+0.2t=8-t,解得：t=-^-s.

到E点停止，

At-1^4,即tW5,

.*.t=-^-s(舍)，

综上所述，当t=^s时，。。与正方形PQMN的边所在直线相切.

9.(10分)如图1,抛物线y=ax2-6ax+6(ar0)与x轴交于点A(8,

0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<8),过点

E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM±AB

于点M.

(1)分别求出直线AB和抛物线的函数表达式.

(2)设△PMN的面积为S”AAEN的面积为S2,若S1：S2=36：25,

求m的值.

(3)如■图2,在如)条件下，将线段下绕点。逆时针旋转得到0E',

旋转角为a(0°<a<90°),连接E'A、E'B.

①在x轴上找一点Q,使△OQE'S/XOE'A,并求出Q点的坐标.

②求BE'+*AE，的最小值.

【解答】解：(1)把点A(8,0)代入抛物线y=ax?-6a