华师大九年级上册《第23章+图形的相似》2020年单元测试卷

华师大新版九年级上册《第23章图形的相似》2020年单元测

试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）下列图形中一定是相似形的是（）

A.两个等边三角形B.两个菱形

C.两个矩形D.两个直角三角形

2.（3分）如图，点。和点E分别是8c和84的中点，已知AC=4,贝iJOE为（）

3.（3分）若2x=3y,且xWO,则立的值为（）

y

A.AB.C.AD

332-4

4.（3分）如图，已知直线a〃b〃c,直线机、〃与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、

F,AC=4,CE=6,BD=3,。尸=（）

5.（3分）点B是线段AC的黄金分割点，且若AC=2,则BC的长为（）

A.遥+]B.疾TC.V5+1D.V5-1

22

6.（3分）如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“X”（作业本中的横格线都

平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、。都在横格线上，且线段AQ、

8c交于点O.若线段A8=4a〃，则线段CO长为（）

B

O'

CD

A.4cmB.5ctnC.6cmD.Sent

7.（3分）如图，已知NACO=N8,若AC=6,AO=4,BC=10,则CO长为（）

A.皎B.7C.8D.9

3

8.（3分）如图，矩形ABCZJs矩形阳HG,连接M,延长GH分别交80、3c于点I、J,

延长C。、尸G交于点E,一定能求出面积的条件是（）

A.矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差

B.矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差

C.矩形ABCC和矩形A”GF的面积之差

D.矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差

9.（3分）如图，已知△ABC与△OEF位似，位似中心为0,且△ABC的面积与尸的

面积之比是16：9,则AO：AQ的值为（）

10.（3分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=4,8c=3,P是A8边上一动点，PD

_LAC于点。，点E在P的右侧，且PE=1,连接CE,P从点A出发，沿4B方向运动，

当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化的

情况是（）

C.先增大后减小D.先减小后增大

填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11.（4分）在一幅比例尺是1：6000000的图纸上，量得两地的图上距离是2厘米，则两地

的实际距离是千米.

12.（4分）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（5,0）,O（0,0）,8（3,6）,以点。

为位似中心，相似比为2,将△AOB缩小，则点8的对应点9的坐标是.

3

13.（4分）一个四边形的边长分别是3,4,5,6,另一个与它相似的四边形最小边长为6,

则另一个四边形的最长边是.

14.（4分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.5"?,测得

BC=6m,则建筑物CD的高是m.

D

口

口

口

15.（4分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,和△OEF的顶点

都在网格线的交点上.设AABC的周长为Ci，ADEF的周长为。2,则£二的值等

C2

于

16.（4分）如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2,那么这个梯形的中位线把梯形分成

两部分的面积之比是.

17.（4分）如图，在四边形ABCO中，点P是对角线BD的中点，点E,尸分别是AB,CD

，则NPF£的度数是,

18.（4分）如图，在等腰RtZXABC中，AC=BC=6&,NE£>尸的顶点。是AB的中点,

且/E£>F=45°,现将NEQF绕点。旋转一周，在旋转过程中，当NEQ尸的两边。E、

。厂分别交直线AC于点G、H,把△DGH沿。"折叠，点G落在点M处，连接AM,若

A4=3,则A”的长为

AM4

19.（6分）如图，已知。E〃BC,FE//CD,A尸=3,AD=5,AE=4.

（1）求CE的长;

（2）求A8的长.

20.(6分)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板QEF测量树的高度A3,他调整自己

的位置，设法使斜边。尸保持水平，并且边OE与点8在同一直线上.已知纸板的两条

边"'=50。”，DE=40a”，测得边DF离地面的高度AC=15"，CD=\2m,求树高A8.

B

21.(6分)画图题.

在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1.请画出符合下列要求的图形:

(1)图1中将三角形A的各条边按1：3放大，得到三角形以

(2)图2中将长方形C的各条边按2：1缩小，得到长方形D

22.(7分)如图，在△48C中，BC=3,。为4c延长线上一点，AC=3C£>,ZCBD=^ZA,

过。作£W〃A8,交BC的延长线于点从

(1)求证：△HCDs^HDB.

(2)求。”长度.

B

D

H

23.（8分）如图所示，在△ABC中，DE//BC,AD=5,80=10,AE=3.

（1）求CE的长.

（2）在△4BC中，点。，E,Q分别是A8,AC,BC上，5.DE//BC,AQ交DE于点P.小

明认为】巳型，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由.

BQQC

24.（8分）在直角坐标系中，已知线段AB,点A的坐标为（1,-2）,点8的坐标为（3,

0）,如图所示.

（1）平移线段AB到线段CD,使点A的对应点为。，点B的对应点为C,若点C的坐

标为（-2,4）,求点。的坐标；

（2）平移线段AB到线段CQ,使点C在y轴的正半轴上，点。在第二象限内，连接BC,

BD.如图2所示，若SABCD=7（SABCD表示三角形3。的面积），求点C、。的坐标.

v

25.（8分）如图，Rt/XABC,ZC=90<>,AC=10cm,BC=8c7〃.点P从点C出发，以2cm/s

的速度沿CA向点A匀速运动，同时点。从点B出发，以Icm/s的速度沿BC向点C匀

速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止.

（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的2?

5

（2）经过几秒，△PC。与△ABC相似?

26.（9分）如图，ZVIBC中，DE//BC,G是AE上一点，连接3G交。E于F,作G”〃AB

交DE于点H.

（1）如图1,与△G/7E相似的三角形是（直接写出答案）；

（2）如图1,若AD=3BD,BF=FG,求典的值；

AG

（3）如图2,连接C4并延长交AB于尸点，交BG于Q,连接尸尸，则一定有尸尸〃CE,

请说明理由.

华师大新版九年级上册《第23章图形的相似》2020年单元测

试卷

参考答案与试题解析

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.【考点】相似图形.

【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边

形.

【解答】解：•.•等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，

，两个等边三角形一定是相似形，

又；直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，

，两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，

故选：A.

【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②

对应边的比相等.

2.【考点】三角形中位线定理.

【分析】根据三角形中位线定理解答即可.

【解答】解：♦.•点。和点E分别是BC和8A的中点，

是△ABC的中位线，

.•.DE=LC7X4=2,

22

故选：B.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于

第三边的一半是解题的关键.

3.【考点】比例的性质.

【分析】根据比例的性质求出三=旦，变形后代入，即可求出答案.

y2

【解答】解：*.,2x=3y,且x#0,

.•.两边除以2y得：三=§,

y2

.•.立=三-1=旦-1=工，

yy22

故选：C.

【点评】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键.

4.【考点】平行线分线段成比例.

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到蛆=毁，即g=9,然后利用比例性质求

CEDF6DF

。尸的长.

【解答】解：••,直线。〃b〃c,

•AC-BDnn4_3

••———~~,IA|Jj

CEDF6DF

2

故选：D.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线

段成比例.

5.【考点】黄金分割.

【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC=£1AC,将AC=2代入即可得

2

出BC的长度.

【解答】解：•••点3是线段AC的黄金分割点，且A8VBC,

：.BC=^~^AC,

2

：AC=2,

；.8C=&-1.

故选：D.

【点评】本题考查了黄金分割的定义：把线段A3分成两条线段AC和3cCAOBC),

且使AC是4B和8C的比例中项(BPAB：4c=AC：BC),叫做把线段AB黄金分割，

点C叫做线段Afi的黄金分割点.其中618A8,并且线段AB的黄金

2

分割点有两个.

6.【考点】相似三角形的应用.

【分析】过点0作OELAB于点E,OFVCD于点F,则由相似三角形(△AOBs/V)OC),

根据平行线分线段成比例可得迪=堕，代入计算即可解答.

CDOF

【解答】解：如图，过点。作0EL4B于点E,。尸，C。于点尸，则0£、。尸分别是△

AOB、△OOC的高线，

；练习本中的横格线都平行，

/.△AOB^ADOC,

•AB—0E目口4—2

CDOFCD3

CD—6cm.

故选：C.

【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，此题利用了相似三角形对应边上的高之比

等于相似比求得相关线段的长度.

7.【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】由/A=/A,NACO=/B,即可判定△4CDSZ\ABC,然后由相似三角形的对

应边成比例，即可求得答案.

【解答】解：VZA=ZA,ZACD=ZB,

/.△ACD^AABC,

•••A-C---二B-C

ADCD

：AC=6,AD=4,8c=10,

•••6-二1一0，

4CD

.•.CZ)=型

3

故选：A.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质.注意证得△ACDs/viBC是关键.

8.【考点】相似多边形的性质；三角形的面积；矩形的性质.

【分析】根据相似多边形的性质即可解答.

【解答】解：设矩形的边AH=x,GH=y,EG=a,DC=b,

则BJ=x,JC=a,

JI//CD

.,.!!=gL即〃=*_

DCBCx+a

:矩形ABCQs矩形FAHG,

•.•FG-ADf

GHDC

即三=三包，

yb

.,.x+a=^>

y

;.s阴影=2BJ.〃

2

—1xb

2x+a

,**s矩形A8/H-S矩形HDEG

—xb-ay

=Q(x+a).ay

x

=xy.

，Srnn^BIJ=—(sm形ABJH-S短彩HDEG)•

2

所以一定能求出△8〃面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差.

故选：B.

【点评】本题考查了相似多边形的性质、三角形的面积、矩形的性质，解决本题的关键

是掌握相似多边形的性质.

9.【考点】位似变换.

【分析】根据位似变换的概念得到尸，根据相似三角形的性质得到处=居,

DE3

证明根据相似三角形的性质计算，得到答案.

【解答】解：:△ABC与△£>所位似，

：.AB//DE,AABCSADEF,

•:△ABC的面积与△〃石尸的面积之比是16：9,

.,.△ABC的面积与△£>£尸的相似比是4：3,即迫=匡，

DE3

'：AB//DE,

.♦.△OABS/XOOE,

*"0DDE丁

,•而7'

故选：A.

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似变换的概

念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

10.【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】设尸。=x,A8边上的高为儿想办法求出A。、h,构建二次函数，利用二次函

数的性质解决问题即可.

【解答】解：在RtZVlBC中，，AC=4,8C=3,

2222

VAC+BC—VS+4-5,设P。=x,AB边上的高为力，

4=AOBC=12

AB

'：PD//BC,

AADP^AACB,

•••—P―D-AD,

BCAC

.\AD=^x,抬=昂，

33

Si+S2=4•£•%+2（5-昌）•-2x+6=—（x-—）2+西，

232353323

...当0<x<3时，S1+S2的值随X的增大而减小，

2

当旦WxW」2时，SI+S2的值随X的增大而增大.

25

故选：D.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股

定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于

中考常考题型.

二.填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11.【考点】比例线段.

【分析】比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可求解.

【解答】解：因为比例尺=/用噩，

_实际距禺

所以实际距离=图士?品=2X6000000=12000000（厘米），

比例尺

12000000厘米=120千米.

故答案为：120.

【点评】本题主要考查比例尺的应用，关键是根据比例尺的公式计算.

12.【考点】位似变换；坐标与图形性质.

【分析】利用相似三角形的性质求解即可.

,:△ONBsXONB',相似比为3：2,B（3,6）,

：.B'（2,4）,根据对称性可知,△OA"B"在第三象限时，B"（-2,-4）,

,满足条件的点B'的坐标为（2,4）或（-2,-4）.

故答案为（2,4）或（-2,-4）.

【点评】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题，注意一题多解.

13.【考点】相似多边形的性质.

【分析】先求出已知四边形的周长，再根据相似多边形的周长的比等于相似比列式求解

即可.

【解答】解：3+4+5+6=18,

设第二个四边形的周长为X,

；两个四边形相似，

・x=6

•下行’

解得x=36.

36X_L=12,

18

故答案为：12.

【点评】本题考查了相似多边形的周长的比等于相似比，比较简单，要注意对应边的确

定.

14.【考点】相似三角形的应用.

【分析】直接利用已知得出再利用相似三角形的性质得出答案.

【解答】解：由题意可得：BE//DC,

则△A8ESZ\AC£),

故岖=里

ACDC

:标杆BE高15小AB—2m,BC—6m,

-2=1.5

**2+6-CD-'

解得：DC=6.

故答案为：6.

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键.

15.【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比

的值便可.

【解答】解：•••丝2-,--=-V-2->--

AB71W

EFV22+22

-V2)

BC2

DFA/42+22不

而

•DEEFDF=V2,

ABBCAC

二AABCsADEF,

.C1ABV2

C2DE2

故答案为：叵.

2

【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相

似.

16.【考点】梯形中位线定理.

【分析】设梯形的上底为。，用a表示出下底，根据梯形中位线的概念用a表示出梯形中

位线的长，根据梯形的面积公式计算，得到答案.

【解答】解：设梯形的上底为。，则下底为2a,

梯形的中位线=a+2a=3”,

22

•.♦梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h是相等的，

X(a+^"a)Xh

.♦.这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比——丁^-------=5,

yX(ya+2a)Xh‘

故答案为：5：7.

【点评】本题考查的是梯形的中位线，掌握梯形中位线的概念、梯形的面积公式是解题

的关键.

17.【考点】三角形中位线定理.

【分析】根据三角形中位线定理得到EP=1AD,FP=1BC,得到EP=FP,根据等腰

22

三角形的性质解答即可.

【解答】解：•••点E,P分别是AB,BD的中点，

；.EP是△43。的中位线，

:.EP=XAD,

2

同理，FP=1BC,

2

：A£>=BC,

:.EP=FP,

：.ZPFE=ZPEF=25°,

故答案为：25°.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平

行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

18.【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质.

【分析】分三种情形：①如图1中，当点”在线段AC上，点G在4c的延长线上时,

连接CD,作D/LAC于J,设44=3A,AM=4k.②如图2中，当点”在线段4c上，

点G在AC上时，连接CC,作D/LAC于J,设AH=3Z,AM=4k.③如图3中，当点

H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CZ),作D/LAC于/,设AH=3A,

AM=4k.首先证明AM,AC,利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即

可.

【解答】解：①如图1中，当点”在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CQ,

作&7_LAC于J,设AH=3«,AM=4k.

图1

\"CA=CB,NACB=90°,AD=DB,

J.CDLAB,CD=DA=DB,

.•./AC£>=NOCB=45°,/OCG=135°,

；NEDF=NEDM=45°,DG=DM,

：.ZADC=ZMDG,

：.ZADM=ZCDG,

：.COG(SAS),

AZDAM=ZDCG=135°,

VZCAB=45°,

：.ZCAM=90°,

MH=GH=VAM2+AH2=V(3k)2+(4k)2=5kf

；/GM=NGAO=45°,ZDGH^ZAGD,

：./\DGH<^/\AGD,

.DG=GH

"AGDG，

：.DG1=GH'GA=40l^,

,:AC=BC=6®,N4CB=90°,

：.AB=yf2AC=\2,

：.AD^CD=6,

"：DJ1AC,

:.AJ=JC=3近,DJ=AJ=IC=3五,

:.GJ=8K-3近,

在RtADJG中，'：DG2=DJ2+GJ2,

.•.40必=（诙-3&）2+（372）2,

解得k=对&或亚（舍弃），

22

：.AH=3k=^^-.

2

②如图2中，当点H在线段AC上，点G在AC上时，连接CO,作D/LAC于J,设AH

=3k,AM=4k.

同法可得：402=（弘-3&）2+（3&）2

解得k=3"（舍弃）或Y2,

22

.•.A〃=3%=3叵.

2

③如图3中，当点”在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD,作川，

AC于J,设A”=3Z,AM=4k.

B

同法可得：10F=(372-2D2+(372)2,

解得火=&或-3&(舍弃)，

:・AH=3k=3®.,

综上所述，满足条件的AH的值为生巨或芭叵或3让.

22

故答案为9巨或幽或3近.

22

【点评】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三

角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴

题.

三.解答题(共8小题，满分58分)

19.【考点】平行线分线段成比例.

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可.

【解答】解：⑴'.,FE//CD,

•AE一AF日”4―3

ACADAC5

解得，AC="

3

则CE=AC-4£：=型-4="

33

(2)'JDE//BC,

•AD-AE一AF即5—3

ABACADAB5

解得，AB——.

3

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题

的关键.

20.【考点】相似三角形的应用.

【分析】首先利用勾股定理计算出EF长，再证明△QCBsaOEF,由相似三角形的性质

可得g殳=匹_,求出BC长，进而可得答案.

EFDE

【解答】解：在RtZsOEF中，。炉+石尸2=。尸，

即：402+£F2=502,

：.EF=30,

由题意得：NBCD=NDEF=90°,ZCDB=ZEDF,

:.△DCBS/\DEF,

ACB=DC；

••丽DE，

"：EF=30cm=03m,OE=40CTH=0.4〃7,CD=\2m,

.BC=12：

一言oTi'

解得：BC=9米，

"：AC=1.5m,

.*.AB=AC+BC=1.5+9=10.5〃?.

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握三角形相似对应边成比例.

21.【考点】作图-位似变换：矩形的性质.

【分析】（1）如图1,以点。为位似中心，把三角形A放大3倍；

（2）如图2,以点。为位似中心，把正方形C缩小2倍.

图2

【点评】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再

分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的

位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

22.【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】(1)根据两个角对应相等即可证明△，C£>S^，DB；

(2)根据。AB,AC=3CD,对应线段成比例可得C/7=1,再结合(1)A//CD-A

HDB,对应边成比例即可求出DH的长度.

【解答】解：(1)证明：

ZA=ZHDC,

'：ZCBD=ZA,

:./HDC=NCBD,又NH=NH,

:.△HCDS^HDB；

(2)'JDH//AB,

•CD=CH,

AC而，

"：AC=3CD,

..」=里

,,百T，

:.CH=1,

：.BH=BC+CH=3+l=4,

由(1)知△HCDs^HDB,

.DH=CH

,•丽DH)

：.DH=2(负值舍去).

答：Z)H的长度为2.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判

定与性质.

23.【考点】相似三角形的判定与性质：平行线分线段成比例.

【分析】(1)证明△AOES/XABC,所以3_=_代入数据即可求出CE的长

AD+BDAE+EC

度.

(2)在△ABQ中，由于。P〃B。，所以根据相似三角形的性质即可求

出答案.

【解答】解：(1)由DE//BC,

.•.△AOEs/\ABC,

•AD=AE

AD+BDAE+EC

'：AD=5,80=10,AE=3,

：.CE=6.

(2)结论正确，理由如下，

在△ABQ中，由于£>P〃8。，

△A£>PSA48Q,

.•屈=£

"BQAQ'

同理可得：空=星，

CQAQ

•DP=EP

*'BQCQ

【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题

属于中等题型.

24.【考点】坐标与图形变化-平移；三角形的面积.

【分析】(1)利用平移规律解决问题即可.

(2)连接0D.根据SABCD=SABOC+SMOD-S^BOO构建方程求解即可.

【解答】解：⑴■:B(3,0)平移后的对应点C(-2,4),

.•.设3+a=-2,0+6=4,

.".a--5,b=4,

即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C(-2,4),

A点平移后的对应点D(-4,2).

（2）•.•点C在y轴上，点。在第二象限，

...线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意,

：.C（0,2+y）,。（-2,y）,

连接。£»，

S&BCD=SABOC+SACOD-S&BOD

=AoBXOC+AoCX2-AoBXv=7,

222

1♦y=2,

AC(0,4),Z)(-2,2).

图2

【点评】本题考查坐标与平移变换-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

25.【考点】相似三角形的判定；一元二次方程的应用.

【分析】（1）设经过x秒，aPCQ的面积等于aABC面积的2,根据三角形的面积和已

5

知列出方程，求出方程的解即可；

（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出f即可.

【解答】解：（1）设经过x秒，△PC。的面积等于aABC面积的2,

5

119

春・2x・（8-x）=^X10X8Xg

NZD

解得：XI=X2=4,

答:经过4秒后，△PC。的面积等于△ABC面积的2；

5

（2）设经过f秒，△PC。与△A8C相似,

因为NC=NC,

所以分为两种情况：①型=CQ,

BCAC

2t=8-t

T而，

解得：f=①；

7

②里=竺，

ACBC

2t=8-t

Io丁，

解得：f=殁；

13

答：经过也秒或丝秒时，△PCQ与△ABC相似.

713

【点评】本题考查了三角形的面积，直角三角形，相似三角形的判定等知识点，能得出

关于X的方程是解（1）的关键，能求出符合的所有情况是解（2）的关键.

26.【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】（D利用平行线的性质即可解决问题；

（2）首先证明BO=G4,由GH〃A。，推出或=反旦=理=4，由此即可解决问题；

AEADAD3

（3）欲证明BF〃AC,只要证明此=里即可解决问题；

FGPA

【解答】（1）解：如图1中,

:.丛GHES&ADE,

'JDE//BC,

：.△ACEs/XABC,

△GHEs/\ABC,

故答案为△AOE,△4BC.

⑵解：'JGH//BD,

，ZFGHZDBF,

.BF=FG,NDFB=NGFH,

:.4BFD迫4GFH(ASA),

：.BD=GH,

"：GH//AD,

1

EG-GH-BD--

AEA1DAD3

-

EG一

2

AG-

(3)证明：如图2中,

：GH//BD,

•BF=BD

,FGGH，

JGH//PA,

•GH=CH,

*PACP"

JDH//BC,

.CH=BD

*CPPB'

•GH=BD

*PAPB'

•PB=BD

"PAGH"

•BF=PB,

.而PA,

,.PF//AG,即PF//AC.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质和判定等知识，解题的关键

是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

考点卡片

1.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为“，十位数是江则这个两位数表示为106+a.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为“（I+尤）；第二次增长后为。（1+x）2,即原数x（1+增长百分率）

2=后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相

似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹U：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

4.解：准确求出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

6.答：写出答案.

2.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵

坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离

求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

3.三角形的面积

(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即5△=上义底X高.

2

(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

4.等腰直角三角形

(1)两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

(2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和

直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是45°,斜边上中线、角平分线、斜边上的高，

三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,而高又为内切圆的直径(因为等

腰直角三角形的两个小角均为45°,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三

角形，则两腰相等)；

(3)若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则外接圆的半径R=^/5+l,所以r：R=\：

V2+1.

5.三角形中位线定理

(1)三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

(2)几何语言：

如图，♦.•点D、E分别是A8、AC的中点

J.DE//BC,DE^lBC.

6.矩形的性质

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在

的直线；对称中心是两条对角线的交点.

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半.

7.梯形中位线定理

（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.（2）梯形中位线定理:

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

（3）梯形面积与中位线的关系:

梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即

梯形的面积=2X2X中位线的长义高=中位线的长义高

2

（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线.

8.坐标与图形变化-平移

（1）平移变换与坐标变化

①向右平移«个单位,坐标P(X,y)nPCx+a,y)

①向左平移〃个单位,坐标尸(x,y)(x-a,y)

①向上平移h个单位,坐标P(x,y)(x,

①向下平移。个单位,坐标P(x,y)nP(x,y-t))

（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a,相

应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移。个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加

（或减去）一个整数“，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.（即:

横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.）

9.旋转的性质

（1）旋转的性质：

—①对应点到旋转中心的距离相等.—②对应点与旋转中心所连线段的夹角等

于旋转角.—③旋转前、后的图形全等.—（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋

转方向；③旋转角度.—注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.

10.比例的性质

(1)比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，

中间的两项叫做比例的内项.

(2)常用的性质有：

①内项之积等于外项之积.若包=£,则加=儿.

bd

②合比性质.若包=£，则三也=£士包.

bdbd

③分比性质.若旦=£，则三”=£二生

bdbd

④合分比性质.若且=q,则三也=£士曳

bda-bc-d

⑤等比性质.若且=£=•••=&(8+4+…+〃W0),则a+c+...，=皿.

bdnb+d+...+nn

11.比例线段

(1)对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段

的比相等，如M=cd(即”d=历)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

(2)判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比

与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与

所选取的单位无关系.

12.黄金分割

(1)黄金分割的定义：AC,8

如图所示，把线段A8分成两条线段AC和BC(AOBC),且使AC是AB和BC的比例中

项(即A8：AC=AC：BC),叫做把线段