河南省郑州市2021年中考数学模拟试卷（三）解析版

河南省郑州市2021年中考数学模拟试卷（三）解析版

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中.

1.若。的相反数是2,则〃的值为（）

A.2B.-2C.-AD.±2

2

2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6

月3011成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应

为（）

A.0.36X105B.3.6X105C.3.6X104D.36X103

3.如图所示，左边立体图形的俯视图为（

B.——L-J----Li——

1

-------।----।1------

।।

D._LJ------LJ__

4.下列各式中正确的是（）

A.1./=/B.3ab-2ab—1

0

C.§a+1.=2〃+1D.a(a-3)=a2-3a

3a

5.学校为了培养学生的践行精神和吃苦品质,每学期以班级为单位申报校内志愿者活

动.2020年秋季学期某班40名学生参与志愿者活动情况如下表，则他们参与次数的众数

和中位数分别是（）

参与次数12345

人数6171421

A.2,2B.17,2C.17,1D.2,3

6.《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述

算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代

筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题.下卷中还有一

题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数.甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，

亦满四十八.问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得

到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文.如果乙得到甲所有钱的2,那么乙也共有钱48

3

文.问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱X文，乙原有钱y文，可得方程组（)

'1'1

y+yx=48

A.<B.<

22…

y+yx=48x+7-y=48

o

f1fQ'1

x-^y=48y-^-x=48

C.<D.

22…

y万x=48x-^ry=48

0

7.关于x的方程（x-1）G+2）=p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）

A.两个正根B.两个负根

C.一个正根，一个负根D.无实数根

8.某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他

们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试.若这四科被选中的机

会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（）

A.AB.Ac.茎D.A

8482

9.如图，对折矩形纸片ABC。，使AO与BC重合，得到折痕E凡把纸片展平后再次折叠,

使点A落在EF上的点A'处，得到折痕2M,与EF相交于点M若直线8A'交直

线CD于点。，BC=5,EN=\,则0D的长为（）

C.173D.工如

45

10.对称轴为直线X=1的抛物线），="/+灰+。（4、/>、C为常数，且“#0）如图所示，小明

同学得出了以下结论：①abcVO,②店>4〃c,③4a+2/?+c>0,@3«+c>0,®a+bw（am+b）

（加为任意实数），⑥当x<-1时，y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11.计算（2点-3）2的结果等于.

12.如图，将三角板与两边平行的直尺（EF〃//G）贴在一起，使三角板的直角顶点C（/

ACB=90°）在直尺的一边上，若/2=55°,则N1的度数等于.

13.不等式组1<L-2W2的所有整数解的和为

2

14.如图，AABC中，。为BC的中点，以。为圆心，长为半径画一弧，交AC于点E,

若乙4=60°,/ABC=100°,8c=4,则扇形8DE的面积为

15.如图，在平面直角坐标系中，点4,C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4

的正方形，点。为48的中点，点P为上的一个动点，连接。P,AP,当点P满足

三、解答题（共8小题，共75分）

2

16.（8分）先化简再求值：且也+（q-2ab-b）,其中a=2cos30°+1,/?=tan45°.

aa

17.（9分）某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进

行分析，绘制成如下的统计表：

九年级抽取部分学生成绩的频率分布表

成绩X/分频数频率

第1段x<6020.04

第2段60«7060.12

第3段70«809b

第4段80«90a0.36

第5段90&W100150.30

请根据所给信息，解答下列问题:

（1）a—,b—；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）样本中，抽取的部分学生成绩的中位数落在第段；

（4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优,

估计该年级成绩为优的有多少人?

九年级抽取部分学生成绩的

频敢分布良方图

mx+5（〃?片0）的图象与反比例函数

）,=K（kWO）在第一象限的图象交于A（1,〃）和8（4,1）两点，过点A作y轴的垂

x

线，垂足为

（1）求一次函数和反比例函数的表达式.

(2)求△OAM的面积S.

(3)在y轴上求一点尸，使以+PB的值最小并求出此时点P的坐标.

19.(9分)如图，A8是。。的直径，C是半圆上任意一点，连接BC并延长到点。，使得

CD=CB,连接AO,点E是弧正的中点.

(1)证明：△ABC之ZVIDC.

(2)①当/E=°时，△AB。是直角三角形；

②当°时，四边形OAEC是菱形.

20.(9分)如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB=5cw,

连杆8C=CC=2(kro,BC,C。与AB始终在同一平面内.

(1)如图②，转动连杆8C,CD,使/BC。成平角，/ABC=143°,求连杆端点。离

桌面I的高度DE.

(2)将图②中的连杆C。再绕点C逆时针旋转16°,如图③，此时连杆端点。离桌面

I的高度减小了cm.

（参考数据：sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75）

图①图②图③

21.（10分）某公司开发出一款新的节能产品该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放

市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件，工作人员对

销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线A8C表示

日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系.

（1）直接写出y与之间的函数解析式，并写出x的取值范围.

（2）若该节能产品的日销售利润为卬（元），求w与x之间的函数解析式，日销售利润

不超过1950元的共有多少天？

（3）若5WxW17,求第几天的日销售利润最大，最大的日销售利润是多少元？

22.（10分）如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，ZACB=^ZDCE=90°.

（1）观察猜想如图1，点E在8c上，线段AE与8力的数量关系是,位置关

系是•

（2）探究证明把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说

明理由；

（3）拓展延伸：把△COE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=13,DE=10,当4、

E、。三点在直线上时，请直接写出AO的长.

23.(11分)如图，二次函数>=/+法+c的图象与x轴的交点为4、在。的右侧)，

与y轴的交点为C,且A(4,0),C(0,-3),对称轴是直线x=l.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为相，设四边形。CMA的面积为s.请

写出s与，"之间的函数关系式，并求出当，〃为何值时，四边形OCMA的面积最大；

(3)设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P,使得以A,B、C,P四

点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理

2021年河南省郑州市中考数学模拟试卷（三）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中.

1.若a的相反数是2,则。的值为（）

A.2B.-2C.-AD.±2

2

【分析】根据相反数的意义求解即可.

【解答】解：由a的相反数是2,得

a=-2,

故选：B.

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：

一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的

意义与倒数的意义混淆.

2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6

月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应

为（）

A.0.36X105B.3.6X105C.3.6X104D.36X103

【分析】科学记数法的表示形式为。X10"的形式，其中间＜10,〃为整数.确定〃

的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.

【解答】解：36000=3.6X1（）4,

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及"的值.

3.如图所示，左边立体图形的俯视图为（）

11

11

11

11

11

11

11

11

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的用虚线

表示.

【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有两条纵向的实线，两侧分别有一条

纵向的虚线.

故选：B.

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

4.下列各式中正确的是()

A.〃3.“2="6B.3ah-2ab=1

2

C.6a+l=2a+lD.a(a-3)^a2-3a

3a

【分析】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案.

【解答】解：A、。3.“2=05,所以建错误;

B、3ab-2ab=abf所以8错误；

2

c、6a+l=2a+」-，所以C错误；

3a3a

D、a(a-3)=a2-3a,所以。正确；

故选：D.

【点评】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数基相乘，底数不变，指数相

力口，而幕的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部

分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0.

5.学校为了培养学生的践行精神和吃苦品质，每学期以班级为单位申报校内志愿者活

动.2020年秋季学期某班40名学生参与志愿者活动情况如下表，则他们参与次数的众数

和中位数分别是()

参与次数12345

人数6171421

A.2,2B.17,2C.17,1D.2,3

【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可.

【解答】解：出现了17次，出现的次数最多，

这组数据的众数是2；

把这些数从小大排列为，中位数是第20、21个数的平均数,

则中位数是生2=2.

故选：A.

【点评】本题考查了众数和中位数的定义.用到的知识点：一组数据中出现次数最多的

数据叫做这组数据的众数.将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果

数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数

是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

6.《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述

算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代

筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题.下卷中还有一

题，记载为：''今有甲乙二人，持钱各不知数.甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，

亦满四十八.问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得

到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文.如果乙得到甲所有钱的2,那么乙也共有钱48

文.问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（）

y+yx=48

2,

x+^y=48o

y-j-x=48

2,

x^y=48o

o

【分析】设甲原有X文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=48

文钱，乙的钱+甲所有钱的2=48文钱，据此列方程组可得.

3

【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，

（1

x+^y=48

根据题意，得：，f,

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意,

设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组.

7.关于x的方程（x-1）（x+2）=p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）

A.两个正根B.两个负根

C.一个正根，一个负根D.无实数根

【分析】先把方程（x-1）（x+2）=p2化为/+x-2-p2=0,再根据信-4<zc=l+8+4p2

>0可得方程有两个不相等的实数根，由-2-p2<。即可得出结论.

【解答】解：•.•关于x的方程（X-1）（x+2）=p2（p为常数），

.♦.f+x-2-p2=0,

:.序-4ac=l+8+4p2=9+4p2>0,

方程有两个不相等的实数根，

根据根与系数的关系，方程的两个根的积为-2-p2<0,

一个正根，一个负根，

故选：C.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若幻，X2是一元二次方程以2+云+c=oQW0）的

两根时，Xl+X2=-电，用地=白.也考查了根的判别式.

aa

8.某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他

们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试.若这四科被选中的机

会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（）

A.AB.Ac.3D.A

8482

【分析】根据题意画出树状图，共有16种可能性结果，其中他们恰好一人选物理，另一

人选化学的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：设“物理、化学、政治、历史”分别用A、B、C、D表示,

画树状图如图所示：

开始

李辞ABCD

-ZNxZF\x/N^1\

张锋ABCDABCDABCDABCD

共有16种可能性结果，其中李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的结果有2种,

...李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的概率为2=工，

168

故选：A.

【点评】本题考查列表法与树状图法以及概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出

相应的树状图.

9.如图，对折矩形纸片A8CZ）,使AQ与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平后再次折叠,

使点A落在EF上的点A'处，得到折痕与EF相交于点N.若直线8A'交直

线CO于点O,BC=5,EN=\,则0力的长为（）

【分析】方法一：根据中位线定理可得AM=2,根据折叠的性质和等腰三角形的性质可

得A'M=A'N=2,过M点作MGLEF于G,可求A'G,根据勾股定理可求MG,进

一步得到8E,再根据平行线分线段成比例可求OF,从而得到0D

方法二：连接A4.根据折叠的性质，易得△A84为等边三角形，进而得出

A'BM=ZA,BC=30<,,进而求解.

【解答】解一：,：EN=l,

.,.由中位线定理得AM=2,

由折叠的性质可得A'M=2,

'：AD//EF,

：.ZAMB=ZA'NM,

：/AM8=NA'MB,

：.ZA'NM=NA'MB,

：.A'N=2,

E=3,A'F=2

过〃点作MG_LEF于G,

:.NG=EN=l,

：.A'G=\,

由勾股定理得MG=«2-]2=“,

:.BE=DF=MG=M，

：.OF：BE=2：3,

解得。尸=2叵，

3__

,•.0D=V3-2^=—•

33

故选：B.

解二：连接4r.

,:EN=l,

...由中位线定理得AM=2,

•.,对折矩形纸片ABC。，使4。与BC重合，得到折痕E尸，

：.A'A=A'B,

•.•把纸片展平后再次折叠，使点A落在EP上的点A'处，得到折痕

：.A'B=AB,ZABM^ZA'BM,

...△A84为等边三角形，

AZABA'=NBA'A=ZA'AB=60°,

又；NABC=NBAM=90°,

ZABM=ZA'BM=ZA'BC=30°,

：.BM=2AM=4,AB=4^\M=2M=CD.

在直角△OBC中，VZC=90°,ZOBC=30Q,

OC=tanZOBC=5X返

33

：.OD=CD-0C=2M-

33

【点评】考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，关键是得到矩形的宽和

£的长.

10.对称轴为直线x=l的抛物线y=af+fcr+c（a、b、c为常数，且a#0）如图所示，小明

同学得出了以下结论：①abc<0,②户>4“c,③4a+2b+c>0,④3a+c>0,（§）a+b<nj（am+b）

（相为任意实数），⑥当x<-1时，y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与y轴的交点判断c,的符号，然

后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【解答】解：①由图象可知：a>0,c<0,

•.•一旦=1,

2a

:.b=-2a<0,

.'.abc>0,故①错误；

②•.•抛物线与x轴有两个交点，

：.kr-4ac>0,

b2>4ac,故②正确；

③当x=2时，y=4〃+2b+c<0,故③错误；

④当x=-1时、y=a-b+c=a-（-2a）+c>0,

.,.3a+c>0,故④正确；

⑤当x=l时，y取到值最小，此时，y=a+8+c,

而当x=机时，y=atr^+bm+c,

所以a+h+c^am2+bm+c,

a+b^：am2+bm,即a+bWnzCam+b）,故⑤正确，

⑥当x<-1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=axi+bx+c系数符号由抛

物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定.

二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11.计算（2&-3）2的结果等于17-12、历.

【分析】根据完全平方公式展开，再依据二次根式的性质计算可得.

【解答】解：原式=（2料）2-2X2«X3+32

=8-1272+9

=17-12圾，

故答案为：17-12校.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运

算顺序和运算法则.

12.如图，将三角板与两边平行的直尺（EF//HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（/

ACB=90Q）在直尺的一边上，若/2=55°,则/I的度数等于35°.

【分析】先根据平行线的性质求出N3的度数，再由N1与N3互余即可得出结论.

【解答】解：,JEF//HG,N2=55°,

：.N3=/2=55°.

VZACB=90°,

：.N1=9O°-Z2=90°-55°=35°.

，G

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等.

13.不等式组1VL-2W2的所有整数解的和为15.

2

【分析】先解不等式组得到6<xW8,再找出此范围内的整数，然后求这些整数的和即可.

4-X-2>1①

【解答】解：由题意可得｛;,

qx-242②

解不等式①，得：x>6,

解不等式②，得：x<8,

则不等式组的解集为6VxW8,

所以不等式组的所有整数解的和为7+8=15,

故答案为：15.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数

解）.解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对

于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.

14.如图，△4BC中，。为BC的中点，以D为圆心，8力长为半径画一弧，交4c于点E,

若/A=60°,NABC=100。，8c=4,则扇形8CE的面积为里L.

—9—

【分析】根据三角形内角和定理求出NC,根据三角形的外角的性质求出根据扇

形面积公式计算.

【解答】解：：14=60°,ZB=100°,

.*.ZC=20°,

又：£>为BC的中点，

：.BD=DC=1.BC=2,

2

\"DE=DB,

：.DE=DC=2,

：.ZDEC=ZC=20a,

；.NBDE=40°,

扇形BDE的面积=空上芯=更，

3609

故答案为：

9

【点评】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇

形面积公式是解题的关键.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A,C分别在x轴、y轴上，四边形A8C0是边长为4

的正方形，点。为的中点，点尸为08上的一个动点，连接。P,AP,当点P满足

DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为y=-2r+8.

【分析】根据正方形的性质得到点4C关于直线对称，连接C。交。8于P,连接

PA,PD,则此时，PO+AP的值最小，求得直线C。的解析式为y=-」切+4,由于直线

2

。8的解析式为＞=工，解方程组得到P(旦，区),由待定系数法即可得到结论.

33

【解答】解：.••四边形ABC。是正方形，

.•.点A,C关于直线08对称，

连接CD交0B于P,

连接出，PD,

则此时，PD+AP的值最小，

OC=OA=AB=4,

：.C(0,4),A(4,0),

•.,。为AB的中点，

：.AD=1AB=2,

2

：.D(4,2),

设直线C£＞的解析式为：y^kx+b,

.(4k+b=2

,lb=4

••＜N,

b=4

直线CD的解析式为：尸-工+4,

2

•.•直线OB的解析式为y=x,

1,

.y=fx+4

y=x

解得：尸尸竺

-3

：.p（&,A）,

33

设直线AP的解析式为：y=〃a+〃，

4m+n=0

,•488j

解得：卜=-2,,

ln=8

直线AP的解析式为y=-2x+8,

解法二：如图，作点。关于。8的对称点E,

点的坐标为：（4,2）,

：.E（2,4）,

设直线AP的解析式为：y=ax+h,

.（2a+b=4

*l4a+b=0'

.'a=-2,

b=8

直线AP的解析式为y=-2x+8,

故答案为：y—~2x+8.

【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，待定系数法求一次函数的

解析式，正确的找出点P的位置是解题的关键.

三、解答题（共8小题，共75分）

2

16.（8分）先化简再求值：且也+（a-2ab-b）,其中a=2cos30°+1,Z?=tan45°.

aa

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角的三角函数值

得出。和b的值，代入计算可得.

【解答】解：原式=三"+（a_-2ab-b）

aaa

=a-b_r_a2-Zab+b）

aa

—a-b,a

a(a-b产

_1

1i

【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化

简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式，

也考查了特殊锐角的三角函数值.

17.（9分）某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进

行分析，绘制成如下的统计表：

九年级抽取部分学生成绩的频率分布表

成绩力分频数频率

第1段x<6020.04

第2段60«7060.12

第3段70Wx<809b

第4段80Wx<90a0.36

第5段90«100150.30

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）a=18,b=0.18;

（2）请补全频数分布直方图；

（3）样本中，抽取的部分学生成绩的中位数落在第4段:

（4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优,

估计该年级成绩为优的有多少人？

九年级抽取部分学生成绩的

频数分布直方图

【分析】（1）由x<60的频数及其频率求出被调查的学生总数，再根据频数=频率X总

数求解可得；

（2）根据（1）中所求结果补全图形可得；

（3）根据中位数的定义求解可得：

（4）总人数乘以样本中90WxW100的频率即可得.

【解答】解：（1）本次调查的总人数为2+0.04=50,

则4=50X0.36=18、6=9+50=038,

故答案为：18、0.18；

（2）补全直方图如下:

九年级抽取部分学生成绩的

频敢分布置方图

其中位数是第25,26个数据的平均数，而第25,26个数据均落在第4组,

中位数落在第4组，

故答案为：4.

(4)400X0.30=120,

答：估计该年级成绩为优的有120人.

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图

获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

18.(9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数)，=/nx+5W0)的图象与反比例函数

),=区(后#0)在第一象限的图象交于4(1,〃)和8(4,1)两点，过点4作y轴的垂

x

线，垂足为

(1)求一次函数和反比例函数的表达式.

(2)求△O4W的面积S.

(3)在)，轴上求一点P,使%+尸8的值最小并求出此时点P的坐标.

【分析】(1)根据A(1,")和B(4,1)两点，即可得到一次函数和反比例函数的表达

式.

(2)根据反比例函数求得4(1,4),即可得到△OAM的面积S.

(3)作点A关于y轴的对称点M则N(-l,4).连接8N交y轴于点P,点P即为所

求.根据待定系数法求得直线NB的解析式，即可得到点P的坐标.

【解答】解：(1)将8(4,1)代入y=K得：JL=1.

x4

：.k=4,

二.产生

X

将B(4,1)代入y=/nx+5得：1=4«?+5,

••m--1.

.*.y=-x+5.

(2)在y=2中，令x=l,解得y=4.

X

；.A(1,4).

A5=AX1X4=2.

2

(3)作点A关于y轴的对称点M则N(-l,4).

连接8N交)，轴于点P，点户即为所求.

，y=--X+-1Z..

55

•••点尸的坐标为(0,II).

5

【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式以及作对称点问题,

根据已知得出对称点是解决问题的关键.

19.(9分)如图，是。。的直径，C是半圆上任意一点，连接并延长到点。，使得

CD=CB,连接AZ),点E是弧窟的中点.

(1)证明：

(2)①当2E=135°时，△ABQ是直角三角形；

②当/£>=60°时，四边形OAEC是菱形.

【分析】(1)如图1中，根据SAS证明三角形全等即可.

(2)如图2中，证明/B=45°即可解决问题.

(3)如图3中，连接。E.证明△COE,△AOE都是等边三角形即可解决问题.

【解答】(1)证明：如图1中，

是。。的直径,

.,.ZBC/A=ZDCA=90°,

又,：CD=CB,AC=AC,

：./\ABC^^ADC(SAS).

(2)解：①如图2中,

•.♦△A3。是直角三角形，AB=AD

；.NB=ND=45°,

VZB+ZE=180°

/.ZE=135".

故答案为135.

②如图3中，连接OE.

:四边形OAEC是菱形,

又：OC=OE=OA,

，OC=EC=OE=AE=OA,

.•.△COE,△EOA均为等边三角形，

；./COE=NEOA=60°,

：.ZCOA=\20°,

.•.ZB=1AOC=60°,

2

;ND=NB,

：.ZD=60Q,

故答案为60.

【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，

等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于

中考常考题型.

20.(9分)如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高A8=5c%,

连杆8C=C£)=20C7〃，BC,CO与A3始终在同一平面内.

(1)如图②，转动连杆BC,CD,使NBCQ成平角，NA8C=143°,求连杆端点。离

桌面/的高度DE.

(2)将图②中的连杆C。再绕点C逆时针旋转16。，如图③，此时连杆端点。离桌面

/的高度减小了4cm.

(参考数据：sin370=0.6,cos370=0.8,tan37°=0.75)

图①图②图③

【分析】(1)如图2中，作BOLCE于。.解直角三角形求出。。即可解决问题.

(2)作于P,CP_L£>F于P,BGIDF^G,CHLBG于H.则四边形PCHG是

矩形，求出。F,再求出。尸-OE即可解决问题.

【解答】解：(1)作B凡LDE于点尺则NBFE=NBF/)=90°,

•：DELI,ABLI,

：.ZBEA=ZBAE=90°=NBFE.

・・・四边形A3FE为矩形.

：.EF=AB=5cfn,EF//AB,

■:EF//AB,

AZD+ZABD=180°,

VZABD=143°,

：.ZD=31°,

在RtZsB。/7中，•；NBFD=90°,

=cosD=cos37°=0.8,

DB

•.*DB=DC+BC=20+20=40,

・・.£＞产=40X0.8=32,

・•・DE=DF+EF=32+5=37cm,

答：连杆端点D离桌面/的高度DE为37cm；

(2)如图3,作O凡U于凡CP_L。尸于尸，3G_LQE于G,C”_L3G于”.则四边形

PCHG是矩形，

•；NCBH=53°,NCHB=9U°,

：.ZBCH=37°,

VZBCD=180°-16°=164°,NDCP=37。,

ACH=BCsin53°=20X0.8=16(cm),DP=CDsin370=20X0,6=12(cm),

・•・DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=12+16+5=33(cm),

.・・下降高度：DE-DF=37-33=4Cem).

故答案为：4.

图3

D

图2

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角

三角形解决问题.

21.（10分）某公司开发出一款新的节能产品该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放

市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件，工作人员对

销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线A8C表示

日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系.

（1）直接写出y与之间的函数解析式，并写出x的取值范围.

（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求卬与x之间的函数解析式，日销售利润

不超过1950元的共有多少天？

（3）若5<xW17,求第几天的日销售利润最大，最大的日销售利润是多少元？

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得y与x的函数关系式，并写出x的

取值范围；

（2）根据题意和（1）中的函数关系式可以写出w与x的函数关系式，求得日销售利润

不超过1950元的天数；

（3）根据题意和（2）中的关系式可以求得第几天的日销售利润最大，最大的日销售利

润是多少元.

【解答】解：（1）当IWxWlO时，设y与x的函数关系式为了=依+匕，

fk+b=450得（k=-30

110k+b=180'1b=480'

即当IWXWIO时，y与x的函数关系式为丁=-30x+480,

当10VxW30时，设y与x的函数关系式为

10m+n=180得/m=21

30m+n=600ln=-30

即当10VxW30时，y与x的函数关系式为y=21x-30,

f-30x+480(l<x<10)

由上可得,y=J

'l21x-30(10<x<30)

(2)由题意可得,

当IWXWIO时，w=(13-8)y=5y=5X(-30A+480)=-150x+2400,

当10<x<30时.，w=(13-8)y=5y=5X(21x-30)=105x750,

BI1f-150x+2400(l<x<10)

1105x-150(10<x<30)

当-150x+2400=1950时，得x=3,

当105x-150=1950时，得x=20,

V20-3+1=18,

二日销售利润不超过1950元的共有18天；

(3)•••当5WxW10时,-150x4-2400,

.,.当x=5时，w取得最大值，此时vv=1650,

•.,当10cxW17时，w=105x-150,

.•.当x=17时，w取得最大值，止匕时卬=1635,

综上所述：当x=5时，w取得最大值，w=1650,

答：第5日的销售利润最大，最大销售利润为1650元.

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质

和分类讨论的数学思想解答.

22.(10分)如图，两个等腰直角△A8C和△CDE中，ZZ)C£=90°.

(1)观察猜想如图1,点E在BC上，线段AE与8。的数量关系是AE=BD,位置

关系是.

(2)探究证明把△(?£>£绕直角顶点C旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗？说

明理由；

(3)拓展延伸：把△C0E绕点C在平面内自由旋转，若AC=8C=13,DE=\O,当A、

E、。三点在直线上时，请直接写出AD的长.

【分析】（1）如图1中