辽宁省沈阳市第十一高级中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

辽宁省沈阳市第H^一高级中学2021-2022学年高三数学

理模拟试卷含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.下列函数f(X)中，满足“对任意X|、X2G(0,+8),当Xi<Xz时，都有f(Xi)>f

(x2)的是()

1

A.f(x)=xB.f(x)=(x-1)2C.f(x)-e'D.f(x)=ln(x+1)

参考答案：

A

【考点】函数单调性的判断与证明.

【专题】综合题.

【分析】根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在(0,+8)上是减函数，再根据反

比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断.

【解答】解：对任意Xi、X2e(0,+8),当X1<X2时，都有f(Xi)>f(x2),

二函数在(0,+8)上是减函数；

A、由反比例函数的性质知，此函数函数在(0,+8)上是减函数，故A正确；

B、由于f(x)=(x-1)2,由二次函数的性质知，在(0,1)上是减函数，

在(1,+8)上是增函数，故B不对；

C、由于e>l,则由指数函数的单调性知，在(0,+8)上是增函数，故C不对；

D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为(-1,+8),由于e>l,则由对数函数

的单调性知，在(0,+8)上是增函数，故D不对；

故选A.

【点评】本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二

次函数、指数函数和数函数的单调性的应用.

2.已知锐角&48。的面积为3<与，£C=4,C4=3,则角。的大小为

A.75°B.60°B.45°D.300

参考答案:

s,n=>

卸七T_z„^=7^'^'C5>/5=-x4x3x»inC=^sinC=—

解析：由正弦定理得222,注意

到其是锐角三角形，故C=60°,选B

3.设全集”=凡集合'=卜卜卜+3)刘.集合5=卜k<-1}.则右图中阴影部分表示的

集合为()

A田3<l<-1)B{x|-3<x<0)c{X|A>O}Dt|x<-l)

A

略

4.已知函数丁=/(])是奇函数，当x>0时，/。)=18莅则/0(100”的值等于

()

A.击”或C.U2D

.为2

参考答案：

D

5已知直线y=x+l与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为()

(A)l(B)2(0-1(犷2

参考答案：

B

略，，

6.如图，正方形Z8C。内的图形来自中国古代的太极图•正方形内切圆中的黑色部分和白

色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率

是（)

11nx

A.4B.2C.8D.4

参考答案：

C

7T

7.要得到函数y=2cos（2x-4）的图象，只需将函数y=2cos2x的图象（）

71

A向左平移K个单位B向右平移

彳个单位

C向左平移8个单位D向右平

移G个单位

参考答案：

D

8.设/⑴H+L",则下列说法不正确的是（）

A./3）为黛上的偶函数B.力为外”的一个周期

C.*为/卜）的一个极小值点D./（寸在区间J上单调递减

参考答案:

D

9.过点尸(4,2)作圆/+的两条切线，切点分别为丹、B,。为坐标原点，则

的外接圆方程是()

(A)(^-2)a+(y-i)a-5(B)(^-4)3+(y-2)J-20

aJJ

(C)(x+2)+(y+l)=5(D)(x+4)+(y+2^-20

参考答案：

10.在复平面内O为坐标原点，复数1+i与1+%分别对应向量05和5万，则

()

A.贬B.2C.710D.4

参考答案：

B

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.过抛物线V=8x焦点的直线交该抛物线于A,B两点，若线段AB中点的横坐标为4,

则1阴=

A.14B.12C.10D.8

参考答案：

B

工+，电”>0)逅

12.已知椭圆/V的离心率为3，过椭圆上一点“作直线以MB分别

交椭圆于A3两点,且斜率为&%,若点4B关于原点对称,则K-4的值为_______.

参考答案：

略

13.执行如图所示的程序框图，输出的结果为“，二项式（修哇）的展开式中炉项

a

的系数为2,则常数________

（开始]

|a=3j=]

——1

a=-l-/输出a/

二[；/

~_结束

j=j+l------

________1

参考答案：

1

4

14.如果执行如图所示的程序框图,输入X=T,N=3,则输出的数S=________

1开丁）

/・冬,”/

[F1

1

/*\.、/

[4]

参考答案：

-4

略

2x-jr+2Ao

x-2j+lKO

15.如果点p在平面区域11+产-2“°内，点Q在曲线72+以=1上，

那么I&I的最小值为____________

参考答案：

君-1

16.设S,为等比数列｛斯｝的前〃项和，8，%=°,则S?.

参考答案：

7

3

【分析】

设等比数列14)的公比为9,由眄a=°,解得g=2,进而可求解S2的值，得到答

案.

【详解】由题意，设等比数列1%》的公比为牙，由8/一%=°,即解得

g=2,

S,._1+2+2’_7'7

又由号■+yI”3f即％3

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，以及前n项和公式的应用，其中解

答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求

解能力，属于基础题.

17.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对于任意xGR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成

f(Xi)~f(Xn).

---------=-------->0

X-x

立，当x“x2e［0,3］,且xHxz时，都有12.给出下列命题：

①f⑶=0；

②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴；

③函数y=f(x)在［-9,-6］上为增函数；

④函数y=f(x)在［-9,9］上有四个零点.

其中所有正确命题的序号为(把所有正确命题的序号都填上)

参考答案：

①②④

【考点】函数的零点；函数单调性的判断与证明；函数的周期性；对称图形.

【专题】综合题；压轴题.

【分析】(1)、赋值x=-3,又因为f(x)是R上的偶函数，f(3)=0.

(2)、f(x)是R上的偶函数，所以f(x+6)=f(-x),又因为f(x+6)=f(x),

得周期为6,

从而f(-6-x)=f(-6+x),所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴

(3)、有单调性定义知函数y=f(x)在［0,3］上为增函数，f(x)的周期为6,所以函

数y=f(x)在［-9,-6］上为减函数.

(4)、f(3)=0,f(x)的周期为6,所以：f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0.

【解答】解：①：对于任意xWR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，令x=-3,则

f(-3+6)=f(-3)+f(3),又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(3)=0.

②：由(1)知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6,

又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x+6)=f(-x),

而f(x)的周期为6,所以f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x-6),

所以：f(-6-x)=f(-6+x),所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴.

Xx

(3)：当x”x2G［0,3］,且xHxz时，都有1~2

所以函数y=f(x)在［0,3］上为增函数，

因为f(x)是R上的偶函数，所以函数y=f(x)在［-3,0］上为减函数

而f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在［-9,-6］上为减函数.

④：f(3)=0,f(x)的周期为6,

所以：f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0

函数y=f(x)在［-9,9］上有四个零点.

故答案为：①②④.

【点评】本题重点考查函数性质的应用，用到了单调性，周期性，奇偶性，对称轴还有赋

值法求函数值.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.选修4-4：坐标系与参数方程

1

xqt

’的正+

在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为y22工（t为参数），若以直角坐标系

xOy的0点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程

“P=2cos（8-三）

为4.

（1）求直线1的倾斜角；

（2）若直线1与曲线C交于A,B两点，求AB.

参考答案：

【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线的倾斜角；直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；压轴题；直线与圆.

工

【分析】（1）根据直线参数方程的意义，可得直线1的倾斜角为a满足余弦等于区且正

遭

弦等于2,由此即可得到直线1的倾斜角a；

V2V2

（2）将曲线C化成直角坐标方程，得它是（T,T）为圆心且半径为1的圆，由点到直

线的距离公式算出弦AB到圆心的距离，最后根据垂径定理可算出弦AB的长.

【解答】解：（1）设直线1的倾斜角为a,根据直线参数方程的意义，得

1

cosCrri=—

.V3n

且aG[o,Jt）,可得a，，

n

即直线1的倾斜角为与…

V2n

（2）由（1）得直线1是经过点（0,下），且倾斜角为互的直线，斜率k=tan享y

选

直线1的直角坐标方程为y=V3x+2,

P=2cOS(0-----)r~r~

而曲线C：4,BPP3=v2pcos0+V2psin0,

*.*Pcos0=x,psin0=y,

V2V2

•••曲线C的直角坐标方程为d+y'&x+My,整理得(x-下)、(y-^)

V2V2

可得曲线C是以(/，T)为圆心，半径为1的圆

的亚

VC到直线1的距离d=V3+l=4,

L2.(近)2V1P

••・线段AB的长为2丫4=2…

【点评】本题给出直线性的参数方程和圆的极坐标方程，求直线被圆截得弦AB的长，着

重考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，圆的标准方程和直线与圆的位置

关系等知识，属于基础题.

19.设4={4^+依+12=0},B={x\x2+3x+2b=0},ACB={2},C={2,一3}.

⑴求a,b的值及A,B；

(2)求(AUB)CC.

参考答案：

解：⑴因为ACB={2},

所以4+2a+12=0,4+6+26=0,

即a=-8,b——5,

所以A={x层一8x+12=0}={2,6},

3={4^+3%—10=0}={2,-5}.

(2)因为AU8={-5,2,6},C={2,—3},

所以(AU8)CIC={2}.

20.(本小题满分14分)函数/3)=/山了-"'-其4€火)。

(I)若函数/伏)在X=1处取得极值，求。的值；

(II)若函数/口)的图象在直线了=一X图象的下方，求a的取值范围；

(III)求证:2013*°<2012®13.

参考答案:

解：函数定义域为(0,+8),

/(%)=bu-2ax,

・♦在名=1处取得极值，

二/(1)=0,即-2a=0,・工a=0.......................................................................2分

•**/(«)=lnx,当zw(0,1)时<0,当xe(1.+8)时/(外>0,

，*)在”=1处取得极值.............................................3分

(H)由题意，得41nx-ax2-«<-*

:.xlnx-ax2<0

,:*e(0,a>竽..........................................5分

设3)=皆则人《)=写"

令>0,得0<x<e,.\AG)在(0,e)上为增函数；

令V(w)<0,得x>e,.\AG)在(e,+8)上为减函数.....................7分

•*.2).=h(e)=十.

:,a>..........................................................................................................8分

e

(W)由(n)知人⑴=蛇在(e,+8)上为减函数，

X

h(w)>A(x+I)・

...■㈣£平...................................................I。分

xx+1

(*+1)lnx>xln(x+1)Inx'*1>In(x+1)*.

:,x*+,>(*+l)\............................................................................................11分

令*=2012,得2012初'>2013®n...................................................................12分

21.(本小题满分12分)

已知三角形ZBC中，角/、笈、。所对的边分别为a、8、C,且

bsin月=(sind-疝1cxa+c)

(I)求角儿

(H)在数列&L应>中，4=L|aKrt4|(〃£"•)

(——}

数列的前。项和为S..证明：S.<2.

参考答案：

解：(.1)由而Z-疝iC)(a+c)及正弦定理得

6'=(a-cXa+c)=『=+J

/=，

由勾股定理定理得26分

（ID由（i）得半强■争刊0号2

故

„111,2,

・=下9+T产=2><2

……12分

22.已知数列｛4｝中，,=L，=3,其前"项和为s.,且当”N2时,

（^7*=。.

（1）求证：数列（SJ是等比数列，并求数列｛4