湖南省娄底市测水中学2023年高三数学理联考试卷含解析

湖南省娄底市测水中学2023年高三数学理联考试卷含

解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.规定记号“U”表示一种运算，即：如b=J+2力设函数/5）=汨2。且

关于x的方程为/（x）=lgk+2|（xw-2）恰有四个互不相等的实数根和弓多人，

则%+工2+/+升的值是（）。

A.-4B.4C.8D.-8

参考答案：

D

略

2.已知全集U=R,集合4={x||x|gLxeZ},6M{x*-2x=。},则图中的阴影部分

表示的集合为（）

A.{-1}B.{2}C.{L2}D.（0.2}

参考答案：

B

3.在（‘-；）的展开式中，含x的项的系数是

A.56B.-56C.55D.-55

参考答案:

B

略

x2/x3,

—5+-r=1(tf>i>0)~=1

4.过点(5,0)的椭圆。*父与双曲线3'有共同的焦点

则该椭圆的短轴长为()

A.历B.2幅C.格D.2历

参考答案：

B

略

5.设集合4=卜k3M2X-1M3),集合人(叩=怆卜・项，则"18=()

A.(1,2)B.[b2]C.[1,2)D.(1,2]

参考答案：

D

略

6.已知一个四面体有五条棱长都等于2,则该四面体的体积最大值为()

A.B.1C.D.2

参考答案：

B

a=(2鼠=(纨。=(3

7.设555,则a,b,c的大小关系是

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>

bD.b>c>a

参考答案：

A

far+l(-2<x<0)

y2jjn(0x+^(OS,0<^»<—)

8.函数I32的图象如图，则

411n

K--.CP--,9~-

B.223

k--,0——,g=—

C.226

k--2,CD—2,<p-—

D.3

参考答案：

A在,触左科.图象过点<-2.O）,；.一”+l-O.»l用":在y*在例.丁・“需一

¥>i,学■.学S为五点作图中的斌三个如苧弓+广”.”得£一吉

1-->0

9.不等式x成立的充分不必要条件是（）

A.*>1B.x>-l或。<*<1D.-1<*40或*>1

参考答案：

A

y-JT\7JT

（2COG-）@ten

10.定义运算a86为执行如图所示的程序框图输出的S值，则34的值为

第6邮

A.2B.-2C.-1D.1

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.集合上=卜|-2<1<1},5={x|A-a<0）（若则实数a的取值范围

是.

参考答案:

【答案】口,+W）

略

12.在直角坐标系W沙中，以°为极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点

0r-1+4/

p=6coi^6siin。•二

P（L°）,若极坐标方程为。的曲线与直线上二3/（，为参

数）相交于力、打两点，则阳1段1一

参考答案:

2；

13.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现

在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第

3行；数字7,8,9,1()出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的

第5个数应是.

参考答案：

2012

14.函数f(x)=3+xlnx的单调递减区间是.

参考答案：

1

(0,1)

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】导数的概念及应用.

【分析】首先求函数f(x)的定义域，x>0,求f(x)的导数，利用f'(x)<0,解出

X的范围；

【解答】解：•.,函数f(x)=3+xlnx,(x>0)

1

fz(x)=lnx+l>0,得x<e,

1

f(x)=3+xlnx的单调递减区间是(0,e),

1

故答案为(0,1);

【点评】利用导数研究函数的单调性，本题的易错点的忘记函数f(X)的定义域，是一道

基础题；

53

15.已知等比数列｛aj的前n项和为Sn，公比q=3,83+84=3，则a3=.

参考答案：

3

【考点】等比数列的前n项和.

【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出.

53

【解答】解：•.•等比数列⑶｝的前n项和为Sn，公比q=3,S3+S4=T,

(33-1)aj(34-l)53]

-3=1―+-3=1—=~3,解得a产,

_1_Xo2

则a.3=3o=3.

故答案为：3.

$m(ct+—)=—.

16.已知43,则$m2a=

参考答案：

5_5

9~9

17.在平面五边形AB8E中，已知NN=120T,4=90*,Z.C-VXT,Z£-90T,

4=3,dE=3,当五边形ABCDE的面积S«6也9回时，则BC的取值范围

为.

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本小题满分12分）若函数人外对任意

pqwR蹒%+。=加）口式办且

（1）若数歹北即｝满足4,求

⑵若数列｛与｝满足7他F（代”），且=历=1,求尻;

12..（-3Y7.-w1/-I.4-1c.-l/

⑶令一亍引丁+不证明：厂^k+厘+…匚曰7

参考答案:

解：⑴由已知，加)•加-D。/⑴加-2)=…・尸/0)・7..2分

(2)由⑴知：匕.”■助.”+1范+2*

设L-1口”=电"-*0?4)+18(a-*0?)(左为常数)，展开比较系数知

则，“叫口尸•热力加尸)“电，⑦

".+知*,剜％=配■+叫

即+M小仁+3心，而4中4=g

匹+立｝94+必=2

..."“,'F2为首项，6为公比的等比数列

.<<*3d.-^x6-»-2x6-

24,即““12

(d-上口6，)是以d-上口6=2

"12、125为首项，—3为公比的等比数列

、0&《0(-旷1--^3—.(小

125

6*(-3),2,

12520.

(3)由题Q.7,

c,-\24-12'-1

----------------,■-------------------

2(74

日上1…上—

•q-1,3-।"22J

c-I2a-11I11J13/…、

又4«・122(”_1)230/+2*-2232,

，原命题得证.................................................12

分

略

19.传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆

荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽

取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.

（I）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2x2列联表，

并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？

（III）在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1,2,3,4,5,6,在良好等级的选手中

取6名，依次编号为1,2,3,4,5,6,在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其

编号为a,在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为b,求使得方程组

衣+bjr=3

,x+2y-2有唯一一组实数解(x,y)的概率.

参考答案:

【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图.

【分析】(1)由条形图可知2x2列联表，计算k2,与临界值比较，即可得出结论;

75二3

(II)由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为肉司.可得其

中优秀等级的选手人数；

(ax+by=3

(III)确定基本事件的个数，即可求出使得方程组ix+2y=2有唯一一组实数解(x,y)

的概率.

【解答】解：(I)由条形图可知2x2列联表如下

优秀合格合计

大学组451055

中学组301545

合计7525100

吗5粽滥M二野3—,

.•・没有95%的把握认为优秀与文化程度有关.…

75二3

(II)由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为面百.

3

6X^4.5

,所有参赛选手中优秀等级人数约为万人.

(山)2从1,2,3,4,5,6中取，b从1,2,3,4,5,6中取，故共有36种,

(ax+by=3旦于工

要使方程组1x+2y=2有唯一组实数解，则共33种情形.

工

故概率.36-12

x+1

20.已知，函数f(x)=6".

m

(1)如果x20时，f(x)WQ恒成立，求m的取值范围;

(2)当a<2时，求证：f(x)In(2x+a)<x+l.

参考答案：

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.

【分析】(1)根据条件化简f(x)Wx+1得ezx>0,转化为ex,令

g(x)=^-

eX(x20)利用导数求出其最大值，即可确定m的取值范围；

-^^-ln(2x+a)<Cx+l

(2)利用分析法，要证f(x)In(2x+a)<x+l可转化为证e",由

aW2得只需证h(t)=e'-In(t+2)>0,(t=2x>-2)即可，利用导数求出h(t)的

最小值大于0即可得证.

【解答】解：(1)・・・x20,rW^x+l,

、(x+l)2

mA最

e>0,

/、x+1

g(x)=--

令e(x20),

g"(x)=-y<0

Ag(x)递减,

Ag(X)max=g(0)=1,

・・・m的取值范围是［1,+8）

（2）证明：当aW2时,

（4，+8）。（-1,+8）

p(x)=f(x)In(2x+a)-(x+1)的定义域2

Ax+l>0,

-^^-ln(2x+a)<x+1

要证e,

只需证In(2x+a)<e2x,

又・・,aW2,

，只需证In(2x+2)<e2\

即证h(t)=e-In(t+2)>0,(t=2x>-2)

t+2(t>2)递增,

h'(-l)=--l<0,h'(0)=14〉0

...必有toG(-1,0),使h'(to)=0,

c

即t0+2,

即to=-In(to+2),

且在(-2,to)上，h'(t)<0；

在(册，+8)上，h'(t)>0,

to

,h(t)