统考版2024届高考数学一轮复习第三章3.3定积分与微积分基本定理学案理含解析20230426156

统考版2024届高考数学一轮复习第三章3.3定积分与微积分基本定理学案理含解析20230426156第三节定积分与微积分基本定理【知识重温】一、必记6个知识点1．定积分的定义及相关概念一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作eq\i\in(a,b,)f(x)dx.在eq\i\in(a,b,)f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间①________叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做②________，③________叫做被积式．2．定积分的几何意义f(x)eq\i\in(a,b,)f(x)dx的几何意义f(x)≥0表示由直线④________，⑤________，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)＜0表示由直线⑥________，⑦________，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积3.定积分的性质(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝⑧________(k为常数)．(2)eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝⑨________.(3)eq\o(○,\s\up1(10))________＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx(其中a＜c＜b)．4．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝⑪________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式．5．定积分与曲线梯形面积的关系(1)(2)(3)(4)设阴影部分的面积为S.(1)S＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx.(2)S＝⑫________.(3)S＝⑬________.(4)S＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx.6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系(1)s＝⑭________；(2)W＝⑮________.二、必明4个易误点1．被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分．2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(t)dt.()(2)若eq\i\in(a,b,)f(x)dx<0，则由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．()(3)若f(x)是偶函数，则eq\i\in(-a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx.()(4)若f(x)是奇函数，则eq\i\in(-a,a,)f(x)dx＝0.()二、教材改编2.eq\i\in(0,1,)(ex＋3x2)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋13．(1＋cosx)dx等于()A．πB．2C．π－2D．π＋2三、易错易混4．由直线x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(π,3)，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)5.eq\i\in(-1,1,)e|x|dx的值为________．考点一定积分的计算eq\x([自主练透型])1．计算下列定积分：(1)eq\i\in(1,2,)eq\f(2,x)dx；(2)eq\i\in(0,π,)cosxdx；(3)eq\i\in(1,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x2)))dx.2．利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x－12)dx；(2)eq\i\in(-5,5,)(3x3＋4sinx)dx.悟·技法求定积分的4大常用方法考点二定积分的几何意义eq\x([互动讲练型])[例1][2021·河北衡水中学第二次调研]如图，阴影部分是由曲线y＝2x2和圆x2＋y2＝3及x轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为________．悟·技法利用定积分求平面图形面积的4步骤(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．(4)计算定积分，写出答案.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·唐山统考]过点(－1,0)的直线l与曲线y＝eq\r(x)相切，则曲线y＝eq\r(x)与l及x轴所围成的封闭图形的面积为________．考点三定积分在物理中的应用eq\x([互动讲练型])[例2][2021·辽宁瓦房店四校联考]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，从刹车开始，其速度与时间的关系式为v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)，从开始刹车到停止，汽车行驶的路程(单位：m)是()A．(1＋25ln5)mB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋25ln\f(11,3)))mC．(4＋25ln5)mD．(4＋50ln2)m悟·技法定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx.[变式练]——(着眼于举一反三)2．以初速40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.eq\f(160,3)mB.eq\f(80,3)mC.eq\f(40,3)mD.eq\f(20,3)m第三节定积分与微积分基本定理【知识重温】①[a，b]②积分变量③f(x)dx④x＝a⑤x＝b⑥x＝a⑦x＝b⑧keq\i\in(a,b,)f(x)dx⑨eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx⑩eq\i\in(a,b,)f(x)dx⑪F(b)－F(a)⑫－eq\i\in(a,b,)f(x)dx⑬eq\i\in(a,c,)f(x)dx－eq\i\in(c,b,)f(x)dx⑭eq\i\in(a,b,)v(t)dt⑮eq\i\in(a,b,)F(x)dx【小题热身】1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：eq\i\in(0,1,)(ex＋3x2)dx＝(ex＋x3)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))＝(e1＋1)－e0＝e，故选C.答案：C3．解析：因为(x＋sinx)′＝1＋cosx，所以(1＋cosx)dx＝(x＋sinx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),－\f(π,2)))＝eq\f(π,2)＋sineq\f(π,2)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))＝π＋2.答案：D4．解析：由题意知S＝cosxdx＝sinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3),－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝eq\r(3).答案：D5．解析：e|x|dx＝e－xdx＋exdx＝－e－xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0,－1))＋exeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)＝－1＋e＋e－1＝2e－2.答案：2e－2课堂考点突破考点一1．解析：(1)因为(lnx)′＝eq\f(1,x)，所以eq\i\in(1,2,)eq\f(2,x)dx＝2eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝2lnxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,1))＝2(ln2－ln1)＝2ln2.(2)因为(sinx)′＝cosx，所以eq\i\in(0,π,)cosxdx＝sinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π,0))＝sinπ－sin0＝0.(3)因为(x2)′＝2x，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)，所以eq\i\in(1,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x2)))dx＝eq\i\in(1,3,)2xdx＋eq\i\in(1,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)))dx＝x2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(3,1))＋eq\f(1,x)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(3,1))＝eq\f(22,3).2.解析：(1)根据定积分的几何意义，可知eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x－12)dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的eq\f(1,4).故eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x－12)dx＝eq\f(π,4).(2)设y＝f(x)＝3x3＋4sinx，则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x)，所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函数．所以(3x3＋4sinx)dx＝－eq\i\in(0,5,)(3x3＋4sinx)dx.所以(3x3＋4sinx)dx＝3x3＋4sinx)dx＋eq\i\in(0,5,)(3x3＋4sinx)dx＝0.考点二例1解析：易求得曲线y＝2x2和圆x2＋y2＝3在第一象限的交点坐标为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))，作直线OA，则直线OA的方程为y＝eq\r(3)x，如图．则直线OA与抛物线y＝2x2所围成的图形的面积S1＝(eq\r(3)x－2x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x2－\f(2,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2),0))＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(3,4)－eq\f(2,3)×eq\f(3\r(3),8)＝eq\f(\r(3),8)，易知扇形AOB的圆心角为eq\f(π,3)，则扇形AOB的面积S2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×3＝eq\f(π,2)，所以阴影部分的面积S＝S2－S1＝eq\f(π,2)－eq\f(\r(3),8).答案：eq\f(π,2)－eq\f(\r(3),8)变式练1．解析：因为y＝eq\r(x)的导数为y′＝eq\f(1,2\r(x))，设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为eq\f(1,2\r(x0))＝eq\f(\r(x0),x0＋1)，解得x0＝1，即切线的斜率为eq\f(1,2)，所以直线l的方程为y＝eq\f(1,2)(x＋1)，所以所围成的封闭图形的面积为eq\x(\i\in(0,1,)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1－\r(x))))dx＋eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝(eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x－eq\f(2,3)xeq\f(3,2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(1),\s\do5(0))))＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)考点三例2解析：由7－3t＋eq\f(25,1＋t)＝0，解得t＝4或t＝－eq\f(8,3)(不合题意，舍去)，故汽车经过4s后停止，在此期间汽车行驶的路程为eq\i\in(0,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7t－\f(3,2)t2＋25ln1＋t))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(4,0))＝4＋25ln5(m)．答案：C变式练2．解析：由v＝40－10t2＝0，得t2＝4，t＝2.所以h＝eq\i\in(0,2,)(40－10t2)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40t－\f(10,3)t3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,0))＝80－eq\f(80,3)＝eq\f(160,3)(m)．答案：A第一节算法初步【知识重温】一、必记6个知识点1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的①______和②________的步骤．2．程序框图又称③________，是一种用④________、⑤________及⑥________来表示算法的图形．通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤：⑦________带方向箭头，按照算法步骤的执行顺序将⑧________连接起来．3．三种基本逻辑结构(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为(2)条件结构是指算法的流程根据条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为(3)循环结构是指从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的步骤称为⑨________.循环结构又分为当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)．其结构形式为4．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能语句一般模式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量＝表达式将表达式所代表的值赋给变量5.条件语句(1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应．(2)条件语句的格式．①IF－THEN模式6．循环语句(1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应．(2)循环语句的格式．二、必明3个易误点1．注意起止框与输入框、输出框、判断框与处理框的区别．2．注意条件结构与循环结构的联系．3．要弄清楚三种基本逻辑结构的构成方式及功能，以免使用时造成混乱或错误．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)算法的每一步都有确定的意义，且可以无限地运算．()(2)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构和循环结构．()(3)一个循环结构一定包含条件结构．()(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．()二、教材改编2．如图所示程序框图的运行结果为__________．3．执行下面的程序框图，输出K的值为()A．99B．98C．100D．101三、易错易混4．[2021·河北省高三联盟]执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，条件框内应填写()A．i>3?B．i<5?C．i>4?D．i<4?5．[2021·唐山联考]执行如图所示的程序框图，当输入的n为7时，输出的S的值是()A．14B．210C．42D．840四、走进高考6．[2020·全国卷Ⅱ]执行下面的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为()A．2B．3C．4D．5eq\x(考点一)顺序结构与条件结构[自主练透型]1．[2018·全国卷Ⅱ]为计算S＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,99)－eq\f(1,100)，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入()A．i＝i＋1B．i＝i＋2C．i＝i＋3D．i＝i＋42．[2021·大同市高三学情调研测试试题]以下程序框图的功能是解方程12＋22＋…＋n2＝(n＋1)(n＋2)，则输出的i为()A．3B．4C．5D．6悟·技法应用顺序结构与条件结构的注意点(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足.考点二顺序结构与循环结构[互动讲练型][例1](1)[2020·全国卷Ⅰ]执行如图所示的程序框图，则输出的n＝()A．17B．19C．21D．23(2)[2021·合肥市高三第一次教学质量检测]若执行如图的程序框图，则输出i的值等于()A．2B．3C．4D．5悟·技法循环结构的考查类型及解题思路(1)确定循环次数：分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．(2)完善程序框图：结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)辨析循环结构的功能：执行程序若干次，即可判断.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·合肥市高三调研性检测]执行如图所示的程序框图，若输入n＝3，x＝3，则输出y的值为()A．16B．45C．48D．522．[2021·湖北省部分重点中学高三起点考试]执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A．7B．8C．9D．10考点三基本算法语句[互动讲练型][例2][2021·宁夏银川一中段测]运行如图所示的算法程序，结果为()A．3B．4C．5D．6悟·技法使用算法语句的注意点(1)输入、输出语句在输入、输出语句中加提示信息时，要加引号，变量之间用逗号隔开．(2)赋值语句左、右两边不能对换，赋值号左边只能是变量．(3)条件语句条件语句中包含条件语句时，要分清内外条件结构，保证结构完整性．(4)循环语句分清WHILE—WEND和DO—LOOPUNTIL的格式不能混用.[变式练]——(着眼于举一反三)3．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()A．25B．30C．31D．61第十一章算法、复数、统计、统计案例第一节算法初步【知识重温】①明确②有限③流程图④程序框⑤流程线⑥文字说明⑦流程线⑧程序框⑨循环体【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：因为a＝2，b＝4，所以输出S＝eq\f(2,4)＋eq\f(4,2)＝2.5.答案：2.53．解析：执行程序框图，得K＝1，S＝0；S＝0＋lgeq\f(1＋1,1)＝lg2，K＝2；S＝lg2＋lgeq\f(2＋1,2)＝lg3，K＝3；S＝lg3＋lgeq\f(3＋1,3)＝lg4，K＝4；S＝lg4＋lgeq\f(4＋1,4)＝lg5，K＝5；…；S＝lg98＋lgeq\f(98＋1,98)＝lg99，K＝99；S＝lg99＋lgeq\f(99＋1,99)＝lg100＝2，退出循环．所以输出K＝99.故选A.答案：A4．解析：由程序框图可知，S＝10，i＝1；S＝8，i＝2；S＝4，i＝3；S＝－4，i＝4.由于输出的S＝－4.故应跳出循环，故选D.答案：D5．解析：n＝7，S＝1,7<5？，否，S＝7×1＝7，n＝6,6<5？，否，S＝6×7＝42，n＝5,5<5？，否，S＝5×42＝210，n＝4,4<5？，是，退出循环，输出的S的值为210，选择B.答案：B6．解析：输入k＝0，a＝0，第一次循环，a＝1，k＝1，a<10，第二次循环，a＝3，k＝2，a<10，第三次循环，a＝7，k＝3，a<10，第四次循环，a＝15，k＝4，a>10，结束循环，输出k＝4.答案：C课堂考点突破考点一1．解析：把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下．循环次数①②③…eq\o(○,\s\up1(50))N0＋eq\f(1,1)0＋eq\f(1,1)＋eq\f(1,3)0＋eq\f(1,1)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)…0＋eq\f(1,1)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,99)T0＋eq\f(1,2)0＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)0＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)…0＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,100)S1－eq\f(1,2)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)…1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,99)－eq\f(1,100)因为N＝N＋eq\f(1,i)，由上表知i是1→3→5，…，所以i＝i＋2.故选B.答案：B2．解析：执行程序框图，i＝1，S＝12＝1，N＝(1＋1)(1＋2)＝6，S≠N；i＝2，S＝1＋22＝5，N＝(2＋1)(2＋2)＝12，S≠N；i＝3，S＝5＋32＝14，N＝(3＋1)(3＋2)＝20，S≠N；i＝4，S＝14＋42＝30，N＝(4＋1)(4＋2)＝30，S＝N.输出的i为4，结束，故选B.答案：B考点二例1解析：(1)S＝0，n＝1；S＝1，S≤100，n＝3；S＝4，S≤100，n＝5；S＝9，S≤100，n＝7；……S＝81，S≤100，n＝19；S＝100，S≤100，n＝21；S＝121，S>100，结束循环，∴输出n的值为21.(2)i＝0，x＝4，y＝1，进入循环体，得x＝8，y＝2，此时x>y，i＝1，得x＝16，y＝6，此时x>y，i＝2，得x＝32，y＝22，此时x>y，i＝3，得x＝64，y＝86，此时x<y，跳出循环体，∴输出i的值为3，故选B.答案：(1)C(2)B变式练1．解析：初始值，n＝3，x＝3，y＝1，i＝2，进入循环，y＝5，i＝1；y＝16，i＝0；y＝48，i＝－1<0，此时不满足循环条件，退出循环．输出y＝48，故选C.答案：C2．解析：S＝log2eq\f(2,3)＋log2eq\f(3,4)＋log2eq\f(4,5)＋…＋log2eq\f(n＋1,n＋2)＝log2eq\f(2,n＋2)，当log2eq\f(2,n＋2)＝－2时，n＝6，n＝n＋1＝7时，S<－2，此时n＝n＋1＝8，故选B.答案：B考点三例2解析：n＝10，s＝0，进入循环得到s＝10，n＝9，不满足s≥45，再进入循环得到s＝19，n＝8，仍然不满足s≥45，再进入循环得到s＝27，n＝7，仍然不满足s≥45，再进入循环得到s＝34，n＝6，仍然不满足s≥45，再进入循环得到s＝40，n＝5，仍然不满足s≥45，再进入循环得到s＝45，n＝4，满足s≥45，终止循环．输出的结果为4.故选B.答案：B变式练3．解析：由算法语句读出其功能，进一步利用分段函数的解析式求函数值．由题意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，x≤50，,25＋0.6x－50，x＞50.))当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.∴输出y的值为31.答案：C第二节数系的扩充与复数的引入【知识重温】一、必记7个知识点1．复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的①________和②________.若③________，则a＋bi为实数，若④________，则a＋bi为虚数，若⑤______________，则a＋bi为纯虚数．2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔⑥____________(a，b，c，d∈R)．3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔⑦________(a，b，c，d∈R)．4．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．⑧________叫做实轴，⑨________________叫做虚轴．实轴上的点都表示eq\o(○,\s\up1(10))________；虚轴上的点都表示⑪________；各象限内的点都表示⑫________________.复数集C和复平面内的⑬________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以⑭________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．5．复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝⑮____________.6．复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝⑯____________.(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝⑰____________.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝⑱____________.(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝⑲__________________(c＋di≠0)．7．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、必明2个易误点1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．()(4)原点是实轴与虚轴的交点．()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()(6)复数z＝－1＋2i的共轭复数对应点在第四象限．()二、教材改编2．复数eq\f(5,i－2)的共轭复数是()A．i＋2B．i－2C．－2－iD．2－i3．当eq\f(2,3)<m<1时，复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限三、易错易混4．z＝(3＋2i)(2－5i)，则复数z的虚部为()A．16B．－11C．－11iD．－165．[2021·宝鸡质检]若复数eq\f(a＋3i,1－2i)是纯虚数，则实数a＝()A．－2B．4C．－6D．6四、走进高考6．[2020·天津卷]i是虚数单位，复数eq\f(8－i,2＋i)＝________.eq\x(考点一)复数的有关概念[自主练透型]1．[2020·全国卷Ⅲ]复数eq\f(1,1－3i)的虚部是()A．－eq\f(3,10)B．－eq\f(1,10)C.eq\f(1,10)D.eq\f(3,10)2．[2020·浙江卷]已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝()A．1B．－1C．2D．－23．[2021·郑州市第一次质量预测]若复数eq\f(1＋2ai,2－i)(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为()A．1B．－1C.eq\f(1,6)D．－eq\f(1,6)4．[2021·安徽省考试试题]eq\o(z,\s\up6(－))是z＝eq\f(1＋2i,1－i)的共轭复数，则eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)悟·技法求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解.考点二复数的代数运算[自主练透型]5．[2020·全国卷Ⅰ]若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．26．[2020·山东卷]eq\f(2－i,1＋2i)＝()A．1B．－1C．iD．－i7.[2021·河南省豫北名校质量考评]复数eq\f(\r(3)－\r(2)i,\r(2)＋\r(3)i)＝()A.eq\f(2\r(6),5)－iB.eq\f(2\r(6),5)－eq\f(1,5)iC．－1D．－i8.[2021·太原市高三年级模拟试题]设复数z满足z·(2＋i)＝5，则|z－i|＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4悟·技法复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.考点三复数的几何意义[互动讲练型][例1](1)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝()A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－i(2)[2020·全国卷Ⅱ]设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，则|z1－z2|＝________.悟·技法复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)．(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq\r(x2＋y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·石家庄市高三年级阶段性训练题]已知i是虚数单位，且z＝eq\f(1－i,i)，则z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]若复数z满足2z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝3－i，其中i为虚数单位，则|z|＝()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．3第二节数系的扩充与复数的引入【知识重温】①实部②虚部③b＝0④b≠0⑤a＝0且b≠0⑥a＝c且b＝d⑦eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－d))⑧x轴⑨y轴除去原点⑩实数⑪纯虚数⑫实部不为0的虚数⑬点⑭原点⑮eq\r(a2＋b2)⑯(a＋c)＋(b＋d)i⑰(a－c)＋(b－d)i⑱(ac－bd)＋(ad＋bc)i⑲eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×2．解析：eq\f(5,i－2)＝eq\f(－52＋i,2－i2＋i)＝eq\f(－10－5i,5)＝－2－i，其共轭复数为－2＋i，故选B.答案：B3．解析：m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，∵eq\f(2,3)<m<1，∴3m－2>0，m－1<0，∴其对应的点在第四象限．答案：D4．解析：依题意，z＝(3＋2i)(2－5i)＝6－15i＋4i＋10＝16－11i，故复数z的虚部为－11.故选B.答案：B5．解析：∵eq\f(a＋3i,1－2i)＝eq\f(a＋3i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(a－6,5)＋eq\f(2a＋3,5)i是纯虚数，∴eq\f(a－6,5)＝0且eq\f(2a＋3,5)≠0，∴a＝6，故选D.答案：D6．解析：解法一依题意得eq\f(8－i,2＋i)＝eq\f(8－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(15－10i,5)＝3－2i.解法二设eq\f(8－i,2＋i)＝x＋yi，其中x，y∈R，则(2＋i)(x＋yi)＝8－i，即