中考数学全面突破：题型4　新定义及阅读理解型问题

题型4新定义及阅读理解型问题eq\x(题型解读)1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题.2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝eq\f(1,a－b2)，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝eq\f(1,1－32)＝－eq\f(1,8)，则方程x⊗(－2)＝eq\f(2,x－4)－1的解是()A.x＝4B.x＝5C.x＝6D.x＝72.对于实数a、b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3.若关于x的函数为y＝max{x＋3，－x＋1}，则该函数的最小值是()A.0B.2C.3D.43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算21＝222＝423＝8…31＝332＝933＝27…新运算log22＝1log24＝2log28＝3…log33＝1log39＝2log327＝3…根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log2eq\f(1,2)＝－1.其中正确的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③4.设a，b是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，则下列结论：()①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；②a@(b＋c)＝a@b＋a@c；③不存在实数a，b，满足a@b＝a2＋5b2;④设a，b是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b的值最大．其中正确的是()A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③5.对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－ab（a≥b）,a－b（a<b）))，例如：因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：logab(a>0，a≠1，b>0)表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：logaan＝n，logNM＝eq\f(logaM,logaN)(a>0，a≠1，N>0，N≠1，M>0)，例如：log223＝3，log25＝eq\f(log105,log102)，则log1001000＝________．第7题图7.实数a，n，m，b满足a<n<m<b，这四个数在数轴上对应的点分别是A，N，M，B(如图)．若AM2＝BM·AB，BN2＝AN·AB，则称m为a，b的“黄金大数”，n为a，b的“黄金小数”，当b－a＝2时，a，b的黄金大数与黄金小数之差m－n＝________．8.请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al－Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al－Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是eq\o(ABC,\s\up8(︵))的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分证明过程．证明：如图②，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG.∵M是eq\o(ABC,\s\up8(︵))的中点，∴MA＝MC.…图①图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为eq\o(AC,\s\up8(︵))上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a、b、c满足eq\f(a＋b＋c,3)＝b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB延长线于点E，交AC于点F.若eq\f(BE,CF)＝eq\f(5,3)，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝eq\f(p,q).例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝eq\f(3,4).(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x0，y0)和直线y＝kx＋b，则点P到直线y＝kx＋b的距离d可用公式d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))计算．例如：求点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离．解：因为直线y＝3x＋7，其中k＝3，b＝7，所以点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离为d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|3×（－1）－2＋7|,\r(1＋32))＝eq\f(2,\r(10))＝eq\f(\r(10),5).根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0，5)，半径r为2，判断⊙Q与直线y＝eq\r(3)x＋9的位置关系并说明理由；(3)已知直线y＝－2x＋4与y＝－2x－6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形；(2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′.【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________；(4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)；(5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n的式子表示)．13.若抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．(1)若直线y＝mx＋1与抛物线y＝x2－2x＋n具有“一带一路”关系，求m，n的值；(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y＝eq\f(6,x)的图象上，它的“带线”l的解析式为y＝2x－4，求此“路线”L的解析式；(3)当常数k满足eq\f(1,2)≤k≤2时，求抛物线L：y＝ax2＋(3k2－2k＋1)x＋k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．1.B【解析】根据题意a⊗b＝eq\f(1,a－b2)，则x⊗(－2)＝eq\f(1,x－（－2）2)＝eq\f(1,x－4)，又∵x⊗(－2)＝eq\f(2,x－4)－1，∴eq\f(1,x－4)＝eq\f(2,x－4)－1，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的根，∴原方程x⊗(－2)＝eq\f(2,x－4)－1的解是x＝5.2.B【解析】当x＋3≥－x＋1时，max{x＋3，－x＋1}＝x＋3，此时x≥－1，∴y≥2；当x＋3＜－x＋1时，max{x＋3，－x＋1}＝－x＋1，此时x＜－1，∴y＞2.综上y的最小值为2.3.B【解析】①∵24＝16，∴log216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log525＝2，故②不正确；③∵2－1＝eq\f(1,2)，∴log2eq\f(1,2)＝－1，故③正确．4.C【解析】∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，若a@b＝0，则(a＋b)2－(a－b)2＝0，∴(a＋b)2＝(a－b)2,∴a＋b＝±(a－b)，∴a＝0或b＝0，∴①正确；∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，∴a@(b＋c)＝[a＋(b＋c)]2－[a－(b＋c)]2＝[a＋(b＋c)＋a－(b＋c)][a＋(b＋c)－(a－b－c)]＝4ab＋4ac，∵a@b＋a@c＝(a＋b)2－(a－b)2＋(a＋c)2－(a－c)2＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＋a2＋2ac＋c2－a2＋2ac－c2＝4ab＋4ac，∴a@(b＋c)＝a@b＋a@c，∴②正确；∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab，当a＝b＝0时，满足a@b＝a2＋5b2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c，则2c＝2a＋2b，b＝c－a，a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝4ab＝4a(c－a)＝－4(a－eq\f(1,2)c)2＋c2，∴当a＝eq\f(1,2)c时，4ab有最大值是c2，即a＝b时，a@b的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5.－1【解析】根据新定义，当a<b时，a*b＝a－b列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6.eq\f(3,2)【解析】根据新运算法则，得log1001000＝eq\f(log101000,log10100)＝eq\f(log10103,log10102)＝eq\f(3,2).7.2eq\r(5)－4【解析】设AN＝y，MN＝x，由题意可知：AM2＝BM·AB，∴(x＋y)2＝2(2－x－y)，解得x＋y＝eq\r(5)－1(取正)，又BN2＝AN·AB，∴(2－y)2＝2y，解得y＝3－eq\r(5)(y＜2)，∴m－n＝MN＝x＝eq\r(5)－1－(3－eq\r(5))＝2eq\r(5)－4，故填2eq\r(5)－4.8.解：(1)又∵∠A＝∠C，CG＝AB.∴△MBA≌△MGC(SAS)，∴MB＝MG.又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴CD＝CG＋GD＝AB＋BD.(2)2＋2eq\r(2).【解法提示】折线BDC为⊙O的一条折弦，由题意知A为eq\o(BDC,\s\up8(︵))中点，由材料中折弦定理易得BE＝DE＋CD，在Rt△ABE中可得BE＝eq\r(2)，所以△BCD周长为BC＋CD＋DE＋BE＝2＋2eq\r(2).9.解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD、OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵eq\f(BE,CF)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(BE,BG)＝eq\f(5,3)，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，∴eq\f(BE,BG)＝eq\f(AE,AF)＝eq\f(5,3).在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴eq\f(AF＋EF＋AE,3)＝eq\f(3k＋4k＋5k,3)＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．10.(1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝eq\f(p,q)＝eq\f(p,p)＝1.(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝eq\f(1,13)，F(24)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，F(35)＝eq\f(5,7)，F(46)＝eq\f(2,23)，F(57)＝eq\f(1,57)，F(68)＝eq\f(4,17)，F(79)＝eq\f(1,79)，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝eq\f(5,7).11.解：(1)∵直线y＝x－1，其中k＝1，b＝－1，∴点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离为：d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|1－（－1）－1|,\r(1＋12))＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).(2)相切．理由如下：∵直线y＝eq\r(3)x＋9，其中k＝eq\r(3)，b＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y＝eq\r(3)x＋9的距离为d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|\r(3)×0－5＋9|,\r(1＋（\r(3)）2))＝eq\f(4,2)＝2，又∵⊙Q的半径r为2，∴⊙Q与直线y＝eq\r(3)x＋9的位置关系为相切．(3)在直线y＝－2x＋4上任意取一点P，当x＝0时，y＝4，∴P(0，4)，∵直线y＝－2x－6，其中k＝－2，b＝－6，∴点P(0，4)到直线y＝－2x－6的距离为d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|－2×0－4－6|,\r(1＋（－2）2))＝eq\f(10,\r(5))＝2eq\r(5)，∴这两条直线之间的距离为2eq\r(5).12.(1)选择图①.证明：依题意得∠DAD′＝60°，∠PAO＝60°.∵∠DAP＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D′AO＝∠PAO－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∴∠DAP＝∠D′AO.∵∠D＝∠D′，AD＝AD′，∴△DAP≌△D′AO(ASA)，∴AP＝AO，又∵∠PAO＝60°，∴△AOP是等边三角形．选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO＝60°.∵∠EAP＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′，∠E′AO＝∠PAO－∠PAE′＝60°－∠PAE′，∴∠EAP＝∠E′AO(ASA)．∵∠E＝∠E′，AE＝AE′，∴△EAP≌△E′AO，∴AP＝AO，又∵∠PAO＝60°，∴△AOP是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC，AD′，CD′.∵AE′＝AB，∠E′＝∠B＝eq\f(180°×（5－2）,5)＝108°，E′D′＝BC，∴△AE′D′≌△ABC(SAS)，∴AD′＝AC，∠AD′E′＝∠ACB，∴∠AD′C＝∠ACD′，∴∠OD′C＝∠OCD′，∴OC＝OD′，∴BC－OC＝E′D′－OD′，即BO＝E′O.∵AB＝AE′，∠B＝∠E′，∴△ABO≌△AE′O(SAS)，∴∠OAB＝∠OAE′.(3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP是等边三角形，∴∠DAP＋∠OAB＝90°－60°＝30°，在△OAB和△OAD′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OA,BA＝D′A))，∴△ABO≌△AD′O(HL)，∴∠OAB＝∠D′AO，由(1)知∠D′AO＝∠DAP，∴∠OAB＝∠DAP，∴∠OAB＝eq\f(1,2)×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO为等边三角形，∴∠PAE＋∠BAO＝∠EAB－∠PAO，∵∠EAB＝eq\f(1,5)×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可证得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝eq\f(1,2)×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，AO＝AP，且∠PAO＝60°，故△AOP是等边三角形．(5)60°－eq\f(180°,n)(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB＝eq\f(\f(180°（n－2）,n)－60°,2)，化简得∠OAB＝60°－eq\f(180°,n)(n≥3)．13.解：(1)由题意得n＝1，∴抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0