中考数学全面突破：第一讲 实数与二次根式及其运算

第一讲实数与二次根式及其运算命题点分类集训命题点1实数的相关概念【命题规律】1.实数的相关概念是实数部分的常考知识点，考查内容有：①相反数、绝对值、倒数；②负数、有理数和无理数；③平方根、算术平方根、立方根；2.相反数、绝对值、倒数考查频次较高，一般以－10到10之间的数设题；3.题位常设置在选择题和填空题中第1个，选择题较多1.下列各数中，－3的倒数是()A.－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C.－3D.3A【解析】∵－3×(－eq\f(1,3))＝1，∴－3的倒数为－eq\f(1,3).2.－6的绝对值是()A.－6B.6C.eq\f(1,6)D.－eq\f(1,6)B【解析】∵－6小于0，∴－6的绝对值为－(－6)＝6.3.－eq\f(1,2016)的倒数的绝对值是()A.－2016B.eq\f(1,2016)C.2016D.－eq\f(1,2016)C【解析】－eq\f(1,2016)的倒数是－2016，－2016的绝对值是2016.4.四个数－3，0，1，2，其中负数是()A.－3B.0C.1D.2A【解析】正数前面添上负号就是负数，∴－3是负数．5.下列实数中的无理数是()A.0.7B.eq\f(1,2)C.πD.－8C【解析】0.7是有限小数，是有理数；eq\f(1,2)是分数；π是无理数；－8是负整数．6.4的平方根是()A.±2B.－2C.2D.±eq\f(1,2)A【解析】∵(±2)2＝4，∴4的平方根是±2.7.(－2)2的平方根是()A.2B.－2C.±2D.eq\r(2)C【解析】∵(－2)2＝4，∴4的平方根是±2.8.冰箱冷藏室的温度零上5℃，记作＋5℃，保鲜室的温度零下7℃，记作()A.7℃B.－7℃C.2℃D.－12℃B【解析】零上记为正数，则零下记为负数，零上5℃记为＋5℃，则零下7℃记为－7℃.9.eq\r(3,8)＝________．2【解析】eq\r(3,8)＝eq\r(3,23)＝2.10.|－0.3|的相反数等于________．－0.3【解析】|－0.3|＝0.3，而0.3的相反数是－0.3.命题点2科学记数法【命题规律】1.考查内容与形式：①大数科学记数法(数字一般在万位以上，或带单位万、亿)，②小数科学记数法(绝对值大于0小于1的数)；2.设题材料：大数科学记数法的设题一般以当下时事热点新闻、当地人文、财政等信息为主；小数科学记数法设题一般以细胞、花粉的直径等为主；3.选择和填空均有考查，以选择题居多，在做题时，可直接用a的取值(1≤a<10)排除选项正误．【命题预测】科学记数法既可以准确方便地表示日常生活中遇到的一些极大或极小的数，同时也很好地体现了时下热点信息11.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路线全长95500米，则数据95500用科学记数法表示为()A.0.955×105B.9.55×105C.9.55×104D.9.5×104C【解析】将一个大数表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，故a＝9.55，n等于原数的整数位数减1，所以n＝5－1＝4，故数字95500用科学记数法表示为9.55×104.12.宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为()A.0.845×1010元B.84.5×108元C.8.45×109元D.8.45×1010元C【解析】1亿＝108，84.5亿＝84.5×108＝8.45×109，故本题选C.13.人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将数0.0000077用科学记数法表示为()A.77×10－5B.0.77×10－7C.7.7×10－6D.7.7×10－7C【解析】将一小数表示为a×10－n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)，则0.0000077用科学记数法表示为：7.7×10－6.14.2015年7月，第四十五届“世界超级计算机500强排行榜”榜单发布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒3386×1013次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，若将3386×1013用科学记数法表示成a×10n的形式，则n的值是________．16【解析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤a＜10，∴3386×1013＝3.386×1016，则n＝16.命题点3实数的大小比较【命题规律】常考形式：1.①下列各数中最大(小)的是；②下列各数中，比a大(小)的是；③比较a和b的大小；2.选择、填空均有考查，近年选择居多；3.以第①种形式为主．【命题预测】实数的大小比较仍会考查，是命题的方向，尤其以“下列各数中最大(小)的是”和“比a大(小)的是”的形式命题的值得关注．15.下列实数中小于0的数是()A.2016B.－2016C.eq\r(2016)D.eq\f(1,2016)B16.在实数－eq\f(1,3)，－2，0，eq\r(3)中，最小的实数是()A.－2B.0C.－eq\f(1,3)D.eq\r(3)A【解析】正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以－2＜－eq\f(1,3)＜0＜eq\r(3)，故答案为A.17.下列四个数中，最大的数是()A.－2B.eq\f(1,3)C.0D.6D【解析】四个数中选择最大的数可直接在正数中选，比较eq\f(1,3)＜6，故最大的数为6.18.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是()A．－a＜0＜－bB．0＜－a＜－bC．－b＜0＜－aD．0＜－b＜－aC【解析】由数轴可知：a＜0＜b,∴－a＞0＞－b，即－b＜0＜－a.19.比较大小：－2________－3.(选填>，＝或<)＞【解析】∵负数比较大小，绝对值大的反而小，∴－2＞－3.命题点4二次根式及其运算【命题规律】1.考查内容：①二次根式有意义的条件；②二次根式的简单运算；③二次根式的估值；2.二次根式有意义的条件常与分式化简求值结合，在分式化简后为字母取值的计算中涉及．【命题预测】二次根式及其运算仍会考查，尤其是实数运算或分式化简求值中涉及到的，值得我们关注20.若二次根式eq\r(a－2)有意义，则a的取值范围是()A.a≥2B.a≤2C.a>2D.a≠2A21.实数eq\r(2)的值在()A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间B【解析】∵1＝eq\r(1)<eq\r(2)<eq\r(4)＝2，∴1<eq\r(2)<2，故选B.22.下列计算正确的是()A.eq\r(12)＝2eq\r(3)B.eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(3),2)C.eq\r(－x3)＝xeq\r(－x)D.eq\r(x2)＝xA【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误Aeq\r(12)＝eq\r(4)×eq\r(3)＝2eq\r(3)√Beq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2)≠eq\f(\r(3),2)错C∵－x3≥0，∴x≤0，eq\r(－x3)＝eq\r(x2)·eq\r(－x)＝－xeq\r(－x)≠xeq\r(－x)错Deq\r(x2)＝|x|≠x错23.(3－eq\r(7))(3＋eq\r(7))＋eq\r(2)(2－eq\r(2))．解：原式＝9－7＋2eq\r(2)－2＝2eq\r(2).命题点5实数的运算【命题规律】1.考查内容：①有理数加减乘除的简单运算；②实数的混合运算；2.实数混合运算一般涉及：①零次幂，②负整数指数幂(含－1次幂)；③－1的奇偶次幂；④去绝对值号；⑤开平方；⑥二次根式运算；⑦特殊角的三角函数值；3.选择题和填空题中常以两项运算考查为主，解答题常考查三项或四项的混合运算．【命题预测】实数的运算是常考内容，尤其是混合运算，体现了实数部分知识的综合，是重要的命题点．24.计算：(－eq\f(1,2))×2()A.－1B.1C.4D.－4A【解析】(－eq\f(1,2))×2＝－(eq\f(1,2)×2)＝－1.25.如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品(单位：mm)，其中不合格的是()A.45.02B.44.9C.44.98D.45.01B【解析】加工零件的尺寸要求，45eq\o\al(＋0.03,－0.04)意思是合格产品的直径最大不超过45＋0.03，最小不低于45－0.04，从而确定合格产品的范围，进而得出结果．由题意得：合格尺寸的范围为44.96≤≤45.03，∴可判断出B选项的尺寸不合格．26.计算：|eq\r(3,8)－4|－(eq\f(1,2))－2＝________．－2【解析】原式＝|2－4|－4＝2－4＝－2.27.计算：eq\f(5,\r(5))－(2－eq\r(5))0＋(eq\f(1,2))－2.解：原式＝eq\r(5)－1＋4＝eq\r(5)＋3.28.计算：(－1)3＋|－eq\f(1,2)|－(－eq\f(3,2))0×(－eq\f(2,3))．解：原式＝－1＋eq\f(1,2)－1×(－eq\f(2,3))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,6).29.计算：|－3|－(2016＋sin30°)0－(－eq\f(1,2))－1.解：原式＝3－1＋2＝2＋2＝4.30.计算：(eq\f(1,2))－1＋(sin60°－1)0－2cos30°＋|eq\r(3)－1|.解：原式＝2＋1－2×eq\f(\r(3),2)＋eq\r(3)－1＝2＋1－eq\r(3)＋eq\r(3)－1＝2.31.计算：2－2－2cos60°＋|－eq\r(12)|＋(π－3.14)0.解：原式＝eq\f(1,4)－2×eq\f(1,2)＋2eq\r(3)＋1＝eq\f(1,4)－1＋2eq\r(3)＋1＝eq\f(1,4)＋2eq\r(3).

中考冲刺集训一、选择题1.化简|－2|得()A.2B.－2C.＋2D.eq\f(1,2)2.－eq\r(2)的相反数是()A.eq\r(2)B.－eq\f(\r(2),2)C.－eq\r(2)D.－23.检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，从轻重的角度看，最接近标准的工件是()A.－2B.－3C.3D.54.下列四个选项中，计算结果最大的是()A.(－6)0B.|－6|C.－6D.eq\f(1,6)5.eq\r(3,8)的算术平方根是()A.2B.±2C.eq\r(2)D.±eq\r(2)6.±2是4的()A.平方根B.相反数C.绝对值D.算术平方根7.据市统计局调查数据显示，我市目前常住人口约为4470000人．数据“4470000”用科学记数法可表示为()A.4.47×106B.4.47×107C.0.447×107D.447×1048.下列实数中，有理数是()A.eq\r(8)B.eq\r(3,4)C.eq\f(π,2)D.0.10100100019.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克．将数0.000000076用科学记数法表示为()A.7.6×10－9B.7.6×10－8C.7.6×109D.7.6×10810.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋eq\r(（a－b）2)的结果是()A.－2a＋bB.2a－bC.－bD.b11.下面实数比较大小正确的是()A.3>7B.eq\r(3)>eq\r(2)C.0<－2D.22<312.下列计算正确的是()A.x2＋3x2＝4x4B.x2y·2x3＝2x6yC.(6x3y2)÷(3x)＝2x2D.(－3x)2＝9x213.下列运算正确的是()A.(a－3)2＝a2－9B.a2·a4＝a8C.eq\r(9)＝±3D.eq\r(3,－8)＝－214.13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为()A.42B.49C.76D.77二、填空题15.实数－27的立方根是________．16.数轴上表示－2的点与原点的距离是________．17.计算：|1－eq\r(3)|－eq\r(12)＝________．18.计算：eq\r(3,－8)＋(eq\f(1,3))－2＋(π－1)0＝________．19.若两个连续整数x、y满足x<eq\r(5)＋1<y，则x＋y的值是________．20.超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩(分)708092将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5∶3∶2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是________分．21.按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为________．三、解答题22.计算：(eq\f(1,2))－2＋|eq\r(3)－2|＋3tan30°.23.计算：(－3)2－(eq\f(1,5))－1－eq\r(8)×eq\r(2)＋(－2)0.24.计算：(－1)2016＋2sin60°－|－eq\r(3)|＋π0.25.计算：eq\r(8)－(－2016)0＋|－3|－4cos45°.26.计算：2sin30°＋3－1＋(eq\r(2)－1)0－eq\r(4).27.计算：|eq\r(3)－eq\r(2)|＋(eq\r(2015)－1)0＋2sin45°－2cos30°＋(eq\f(1,2015))－1.答案及解析：1.A2.A3.A【解析】最接近标准的工件是绝对值最小的数，－2的绝对值是2，－3和3的绝对值是3，5的绝对值是5，所以最接近的是－2.4.B【解析】A.(－6)0＝1，B.|－6|＝6，D.eq\f(1,6)≈0.17,∵6＞1＞0.17＞－6，∴|－6|的计算结果最大．5.C6.A【解析】∵(±2)2＝4，∴±2是4的平方根．7.A【解析】把一个大数用科学记数法表示为a×10n的形式，其中1≤a＜10，故a＝4.47，n等于原数的整数位数减1，即n＝7－1＝6，∴4470000＝4.47×106.8.D9.B【解析】把一个小数用科学记数法表示成a×10－n的形式，1≤a＜10，故a＝7.6，n为小数点向右移动的位数，n＝8，所以0.000000076＝7.6×10－8，故选B.10.A【解析】由数轴可知，a＜0，b＞0，所以a－b＜0，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＋eq\r(（a－b）2)＝－a＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝－a－(a－b)＝－a－a＋b＝－2a＋b.11.B【解析】∵3＜7，选项A错误；比较两个正数的算术平方根，被开方数越大，这个数的算术平方根就越大，∵3＞2，∴eq\r(3)＞eq\r(2)，选项B正确；负数小于0，所以0＞－2，选项C错误；∵22＝4，4＞3，∴22＞3，选项D错误．故选B.12.D【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误Ax2＋3x2＝4x2≠4x4Bx2y·2x3＝2x2＋3y＝2x5y≠2x6yC(6x3y2)÷(3x)＝2x3－1y2＝2x2y2≠2x2D(－3x)2＝(－3)2·x2＝9x2√13.D【解析】A.(a－3)2＝a2－6a＋9，故错误；B.a2·a4＝a6，故错误；C.eq\r(9)＝3，故错