高二数学寒假讲义练习（人教B用 选择性必修一）第01讲 空间向量与立体几何(教师卷)

第01讲空间向量与立体几何【易错点总结】1.空间向量的有关概念名称定义空间向量空间中既有大小又有方向的量称为空间向量相等向量大小相等、方向相同的向量相反向量大小相等、方向相反的向量共线向量(或平行向量)如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线)共面向量空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.4.空间向量数量积的运算律(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).向量表示坐标表示数量积a·bx1x2＋y1y2＋z1z2共线b＝λa(a≠0，λ∈R)x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0模|a|eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＋zeq\o\al(2,2)))6.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.7.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2l1∥l2v1∥v2⇔v1＝λv2l1⊥l2v1⊥v2⇔v1·v2＝0直线l的方向向量为v，平面α的法向量为nl∥αv⊥n⇔v·n＝0l⊥αv∥n⇔n＝λv平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝01.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.【重难点剖析】考点一：空间向量及其运算1．已知向量，，且，则实数的值为（

）．A．4 B． C．2 D．【答案】A【详解】解：因为，，且，所以，解得.故选：A2．如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，，．故选：B．3．已知向量，，且与互相平行，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，则，解得，故选：D4．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为E、F分别是BC、CD的中点，所以，.故选：C5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，∵AB＝1，BC，∴AC＝2，∵，∴BE＝DF，则AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，∴，∵，∴，则||，即B与D之间距离为，故选：C．考点二：空间向量在立体几何中的应用6．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，则，所以，而，故到l的距离为.故选：C7．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（

）A．垂直 B．平行C．相交但不垂直 D．平行或线在面内【答案】A【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直.故选：A.8．正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是(

)A．60° B．45° C．30° D．75°【答案】C【详解】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，设OD=SO=OA=OB=OC=a，则，则，，,设平面PAC的一个法向量为，则即，令，则，所以，∴，设直线BC与平面PAC的夹角为，∴直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为，∴直线BC与平面PAC的夹角为故选：C9．正方体中，二面角的平面角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】连接，取中点O连接.由，则且,则，故即为二面角的平面角.不妨设正方体的边长为1，则在中，在中，则.又，故可得：.故选：D.10．如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，，E为弧AB的中点，F为母线BC的中点，则异面直线AC和EF所成角的正切值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【详解】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则，连接，因为是弧AB的中点，所以，以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，设异面直线AC和EF所成角为，所以，可得.故选：C.【基础过关】一、单选题1．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解析：故选:.2．若向量，，则（

）A． B．4 C．5 D．【答案】D【详解】解析：由题意，得，.故选：D.3．已知空间向量，，且与垂直，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知可得，解得.故选：A.4．已知，，且，则的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【详解】解：因为，，且，所以，解得；故选：B5．如图，空间四边形中，，，，且，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意知，故选：C.6．向量，，若，则（

）A． B．，C．， D．，【答案】C【详解】因为向量，，且，则设，即，则有，则，，解得，，故选：C7．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，所以，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有，，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，故选：B8．正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是(

)A．60° B．45° C．30° D．75°【答案】C【详解】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，设OD=SO=OA=OB=OC=a，则，则，，,设平面PAC的一个法向量为，则即，令，则，所以，∴，设直线BC与平面PAC的夹角为，∴直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为，∴直线BC与平面PAC的夹角为故选：C二、多选题9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】ABD【详解】因为所以，所以，A正确；因为，，所以B正确；，因为，所以与不平行，故C错误；在上的投影，与同向的单位向量为，所以在上的投影向量为，D正确.故选：ABD10．如图，在棱长为1的正方体中（

）A．与的夹角为 B．二面角的平面角的正切值为C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为【答案】BCD【详解】如图建立空间直角坐标系，则，∴，，即，与的夹角为，故A错误；设平面的法向量为，，所以，令，则，平面的法向量可取，二面角的平面角为，则，所以，故B正确；因为，设与平面所成角为，则，故C正确；因为，设点到平面的距离为，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题11．如图，空间四边形中，，，，且，，则____________．【答案】【详解】如图，因为，，所以，，又因为，，，所以.故答案为：.12．在空间直角坐标系O-xyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.【答案】【详解】因为，所以.因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线所成角的余弦值为.故答案为：四、解答题13．已知空间三点，，．设，．(1)求，；(2)求与的夹角；(3)若向量与互相垂直，求实数k的值．【答案】(1)，(2)(3)【详解】（1）解：因为，，所以,所以；因为，，所以，所以；（2）解：由（1）可知，又，所以，即与的夹角为.（3）解：由（1）可知，，又向量与互相垂直，所以，所以，即，解得.14．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．（1）求异面直线EF与所成角的大小．（2）证明：平面．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴异面直线EF和所成的角为．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．15．如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，，，.(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面的夹角大小.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）如图，过作于.由题意可知，在直角梯形中，，，，所以，.又，，所以，所以.因为，又，面，所以面.因为面，所以面面；（2）由（1）可知，，，两两垂直，故可以点为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.易知，，，，则，，，设平面的法向量为，则令，则，，即，设平面的法向量为，则令，则，，即，所以，即平面和平面的夹角为.【能力提升】一、单选题1．已知，则的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题可知，，故，即的最小值.故选：B.2．在正四面体中，F是的中点，E是的中点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，结合图形可得，．故选：A.3．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，则可设，又点在平面外，则，即，则，又，所以，解得，，故选：C．4．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．6【答案】C【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.5．已知空间向量，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，空间向量，，，可得，则.故选：A.二、填空题6．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【详解】如图所示，设分别为和的中点，可得，，且，所以异面直线与所成角即为直线与所成的角，作的中点为，则为直角三角形，因为，在中，由余弦定理可得，所以，所以，在中，，在中，可得，又因为异面直线所成角的范围是，所以与所成的角的余弦值为.故答案为：.7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．【答案】##【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：，，，，所以，，，.设平面APC的法向量为，∴不妨设，则，设平面PBC的法向量为，∴不妨设，则，，设为，则.故答案为：三、解答题8．四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．(1)求证：；(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：因为，，，由余弦定理，