高二数学寒假讲义练习（人教B用 选择性必修三）第11讲 导数与函数的极值、最值（教师卷）

第11讲导数与函数的极值、最值【学习目标】1.借助函数图像，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.【知识导航】1.函数的极值一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点.(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点.(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点.(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在[a，b]上的最值如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【知识预习】考点一：由导数求函数的极值和最值1．函数有（

）A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为【答案】A【详解】,由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在时，取得极大值，无极小值.故选：A2．已知函数，则（

）A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值C．函数的极大值点为，无极小值点 D．函数的极小值点为，无极大值点【答案】A【详解】的定义域为，，所以在区间递增；在区间递减.所以是的极大值，无极小值.极大值点为，无极小值点.故选：A3．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的极小值为 B．的极大值为C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减【答案】B【详解】因为，所以，令，得或；令，得；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，所以在处有极大值，极大值为；在处有极小值，极小值为.故选：B.4．函数的极大值为（

）A．2 B． C．10 D．【答案】D【详解】因为，当时，，当时，，当时，，所以是函数的极大值点，极大值为．故选：D．5．关于函数极值的判断，正确的是（

）A．x＝1时，y极大值＝0B．x＝e时，y极大值＝C．x＝e时，y极小值＝D．时，y极大值＝【答案】D【详解】函数的定义域为，且，则当时，；当时，，故时，y极大值＝.故选：D.考点二：函数图像与极值、最值关系6．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①x=-2是函数的极值点；②x=1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增．则正确命题的序号是（

）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【答案】D【详解】对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，故①正确；对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致，故②错误；对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；对于④，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.故选：D7．如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在内是增函数B．在内是减函数C．在时取得极小值D．当时取得极大值【答案】B【详解】时，，此时在单调递减时，，此时在单调递增时，，此时在单调递减时，，此时在单调递增在处左增右减，故在时取得极大值在处左减右增，故在时取得极小值综上可知：B正确故选：B8．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中，知在，上，所以此时函数在，上单调递增，在上，，此时在上单调递减，所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．则函数的极小值点的个数为1．故选:B9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数在上是增函数B．是函数的极小值点C．D．【答案】D【详解】当时，，则函数在上是减函数，故A错误；函数在上单调递增，在上单调递减，则是函数的极大值点，故B错误；由图可知，，故C错误；函数在上单调递增，则，故D正确；故选：D10．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（

）A．函数在上不单调B．函数在的切线的斜率为0C．是函数的极小值点D．是函数的极大值点【答案】D【详解】对A，在上，故函数在上单调，故A错误；对B，，故函数在的切线的斜率大于0，故B错误；对C，左右两边都有，故不是函数的极小值点；对D，且在左侧，右侧，故是函数的极大值点，故D正确；故选：D考点三：极值、最值含参问题的讨论11．已知函数的最小值为－1，则实数a＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．故当时函数取得极小值，也是最小值．故，所以a＝－1．故选：A．12．若函数在上的最小值为，则a的值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【详解】定义域为，在恒成立，所以在单调递增，所以，所以故选：B13．若函数有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得：∵，则当，则当时恒成立，即∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立当，则当时恒成立，即∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立当，令，则∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立故选：A.14．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由得，由于均为单调递增函数，故在单调递增，因为在有最小值，故故选：A15．函数在区间上有最大值，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：因为，所以，所以当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，因为在上有最大值，所以极大值点，又，当时，即，解得或，所以，故选：D．【对点训练】一、单选题1．已知函数的导函数则的极值点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】由得，，，或时，，不是极值点，或时，，时，，因此都是极值点．极点点有2个．故选：C．2．若函数在处有极值，则（

）A． B．C． D．a不存在【答案】B【详解】解：因为函数，故又函数在处有极值，故，解得.经检验满足题意故选：B.3．已知是函数的导函数，函数的图象如图所示，则的极大值点为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由图可知，当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.故的极大值点为.故选：A4．若是函数的极值点，则的值是（

）A． B．0 C．1 D．【答案】A【详解】的定义域为，，因为是函数的极值点，所以，即，所以，当时，，令，得，令，得，所以在处取得极小值，符合题意.综上所述：.故选：A5．某箱子的体积V与底面边长x的关系为，则当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为（

）A．30 B．40 C．50 D．55【答案】B【详解】解：由题意得：由题意得因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以是的最大值，即当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为.故选：B6．已知函数，则（

）A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值C．函数的极大值为0，无极小值 D．函数的极小值为0，无极大值【答案】A【详解】的定义域为，，在递增；在递减，所以的极大值为，没有极小值.故选：A7．若对任意的，，且，都有，则m的最小值是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】因为，所以由，可得，，即．所以在上是减函数，，当时，，递增，当时，，递减，即的减区间是，所以由题意的最小值是．故选：A．8．函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（

）A．函数有3个极值点B．函数在区间上是增加的C．函数在区间上是增加的D．当时，函数取得极大值【答案】C【详解】结合导数与函数单调性的关系可知，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值.所以D错误；故函数有2个极值点，所以A错误；函数的单调性为：单增区间；单减区间.故B错误，C正确.故选：C.二、多选题9．已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．直线是曲线的切线C．有一个零点 D．过点与曲线相切的直线有且只有1条【答案】AC【详解】,令,解得或,令,解得；在上单调递增,在上单调递减,且,.有两个极值点,有且仅有一个零点,故选项A，C正确，假设是曲线的切线,设切点为,则，解得或，显然和均不在曲线，上,故选项B错误.对于选项D，设切点为,可得切线的斜率为,切线方程为,代入点,可得,化为,即,解得或,可得切线的斜率为2或,则切线方程为或.故过点与曲线相切的直线有2条.故选项D错误；故选：AC.10．已知函数，则（

）A．恒成立 B．是上的减函数C．在得到极大值 D．在区间内只有一个零点【答案】CD【详解】，该函数的定义域为，所以，由，可得，由，可得，所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，，故B选项错误，C选项正确；当时，，此时，A选项错误；由题可知函数在区间内单调递减，而，故在区间内只有一个零点，D选项正确.故选：CD.三、填空题11．函数的极大值与极小值分别为和，则____．【答案】【详解】，在区间递增；在区间递减.所以是的极大值，即，是的极小值，即，所以.故答案为：12．函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题：①是函数的极值点；②是函数的最小值点；③在区间上严格增；④在处切线的斜率小于零.以上正确命题的序号是______.【答案】①③【详解】根据导函数图像，可知当时，，在时，，∴函数在上严格减，在上严格增，故③正确；则是函数的极小值点，故①正确；∵函数在上严格增，∴不是函数的最小值点，故②不正确；∵函数在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确.故答案为：①③.四、解答题13．已知函数在处取得极值.(1)求实数的值；(2)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)，.【详解】（1），∵函数在处取得极值，∴，即（经检验符合题意），∴.（2）由（1）知，则，令，解得或；令，解得；∴函数在上单调递增，在上单调递减，则极大值，而，.故函数在上的最大值和最小值分别为，，.14．已知函数.(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；(2)若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围.【答案】(1)最大值为，最小值为(2)【详解】（1）当时，则函数，，令，解得或，当时，，当时，，则函数在上单调递减，函数在上单调递增，∴在时取得极小值为，且，故在上的最大值为，最小值为.（2）∵，则①当时，，函数单调递增，无极值，不合题意，舍去；②当时，令，得或，∴在，上单调递增，在上单调递减，故函数在时取得极大值，在时取得极小值，∴；③当时，令，得或，∴在和上单调递增，在上单调递减，故函数在时取得极大值，在时取得极小值，∴，解得.综上所述：实数的取值范围是.15．已知．(1)若有最值，求实数a的取值范围；(2)若当时，，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)（1）函数的定义域为，，当时，在上恒成立，则在上单调递增，无最值，不合题意，舍去当时，令，则，令，则∴在上单调递减，在上单调递增，则在处取到最小值所以，即实数a的取值范围为．（2）因为，，所以，因为，所以成立．令，则令，则当时恒成立∴在上单调递增，则则当时恒成立所以函数在上单调递增，所以，所以，即实数a的取值范围为．【提升作业】一、单选题1．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意，,令得，函数有两个极值点，等价于有两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，当直线与的图象相切时，设切点为，则切线方程为，故且，解得，所以当时，直线与的图象相切，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）,由图可知，当时，与的图象有两个交点．则实数的取值范围是．故选：B2．已知，函数的导函数为.下列说法正确的是（

）A． B．函数的严格增区间为C．的极大值为 D．方程有两个不同的解【答案】C【详解】由题意知：，所以，A错误；当时；，单调递增，当时；，单调递减，B错误；的极大值为，C正确；方程等价于,如图所示：由图像知函数与函数有且只有一个交点，即方程有且只有一个解，D错误;故选：C.3．已知函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，当时，，又区间上恰有3个极值点，2个零点，所以，解得，即的取值范围是.故选：B.4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的表述，不正确的是（

）A．在上为减函数 B．在上为增函数C．在处取极小值 D．在处取极小值【答案】C【详解】由的图象可知，当或时，，当或时，，所以在和上单调递增，在和上单调递减，所以在和处取得极大值，在处取得极小值，所以ABD正确，C错误，故选：C.5．已知函数，则下列结论正确的为（

）A．是的极小值点 B．是的极大值点C．的最小值为 D．的最大值为3【答案】C【详解】的定义域为，当时，，则，故当时，单调递减，在时单调递增；当时，，因为在都是单调减函数，故也在单调递减；综上所述：在单调递减，在单调递增；对A：根据上述讨论，不是的极小值点，故A错误；对B：是的极小值点，故B错误；对C：，故C正确；对D：没有最大值，故D错误；故选：C.二、填空题6．已知函数存在极值点，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【详解】定义域为，，根据题意可得在上存在穿越零点，故，且，解得.故答案为：7．若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为________【答案】【详解】，，令，，求导得：，当时，当时，，即函数在上递减，在上递增，因此当时，，则，所以实数的取值范