例谈数学问题中主元的确立

精品文档-下载后可编辑例谈数学问题中主元的确立数字和若干字母的有限次乘法运算式中表示变量的字母称元，而对“元”的研究便成了数学研究的重要内容.本文旨在举证“元”的确立对问题的解决的点睛意义.

1.换元

把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，改变代数结构，保留其基本性质，从而使问题得到简化，这叫换元法.简单地说，也许这个问题就是“化简为繁”而得到的，就是通过换元找到这个问题的前身，即确立该问题最原始的主元.

例1：已知f（x-2）=x，x∈R，求f（x）.

前身：f（t）=（t+2）.解法很机械，令t=x-2，则x=t+2，故f（t）=（t+2）.

再如sin（x+）=，求sin（2x+）的值.

事实上，令t=x+，则x=t-，则sin（2x+）=sin［2（t-）+］=sin（2t-）=-cos2t=2sint-1，问题即“sint=，求2sint-1的值”.

很明显，其实这里只不过是复合函数定义的回归而已，当然很有可能进行的是不等价转化，如f（）=x与f（t）=t不是完全的等价转换.

熟悉的问题有“求y=的值域”，“解不等式2-2-3≥0”等.

2.转移

一般是指含参数的函数问题，若以当前的主元为主元对问题的解决较复杂，可以考虑对该问题中参数的变化情况加以分析、解决.

例2：求y=的值域.

表面上看，本题并无参数，从函数定义分析，即可得到函数即x到y的一种对应，而方程yx-x+2y=0亦可体现原函数所应有的对应，则在方程中yx-x+2y=0，相对于x，y即为参数，问题即转化为“ax-x+2a=0有解，求a的取值范围.”当然，含参数方程有解问题，有几个解的问题，亦可转化为函数求值域问题，以及求出各个单调区间上的值域进行取交集的问题.这种等价性是由于函数解析式本来就是方程.如“（12北约联考）求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在［0，π）内有唯一解的a”，“若方程ax+2（a-2）x+a-1=0中的a为正整数，当a取何值时，此方程至少有一个整数解”等.

再如（06上海高考）：当k＞2时，求证：在区间［-1，5］上，y=kx+3k的图像位于函数f（x）=|x-4x-5|图像的上方.

思路1：已知kx+3k＞|x-4x-5|在x∈［-1，5］上恒成立，求k的取值范围.设求得k的取值集合为A，即证（2，+∞）?哿A.

思路2：已知kx+3k＞|x-4x-5|在k＞2上恒成立，求x的取值范围.设求得x的取值集合为B，即证［-1，5］?哿B.

事实上，相对于主元x，k是参数，若以参数k为主元，原主元x也就是参数了.

思路3：双管齐下.解法如下：当x∈［-1，5］时，f（x）=-x+4x+5.

由y=k（x+3），y=-x+4x+5，得x+（k-4）x+（3k-5）=0，

令Δ=（k-4）-4（3k-5）=0，解得k=2或k=18.

在区间［-1，5］上，当k=2时，y=2（x+3）的图像与函数f（x）的图像只交于一点（1，8）；当k=18时，y=18（x+3）的图像与函数f（x）的图像没有交点.

由于直线y=kx+3k过点（-3，0），当k＞2时，直线y=kx+3k是由直线y=2（x+3）绕点（-3，0）逆时针方向旋转得到的.因此，在区间［-1，5］上，y=kx+3k的图像位于函数f（x）图像的上方.

诚如思路3，“函数f（x）=x+2x+1，存在实数t，使得f（x+t）≤2x对于x∈［2，m］恒成立，求实数m的最大值”.x，t，m三个未知数，需先以t为主元，这里t的变化使得f（x）的图像在x轴上的平移滑动，再以x为主元，考察x∈［2，m］时y=f（x+t）与y=2x图像的位置关系，逐个除去变量，凸现参变量m为最终目标.

3.构造

（1）建模

主要指数学建模，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，而这里是指通过把实际对象的变化表述为数学变量即主元的变化，从而达到研究并解决问题的目的.相对于实际问题来讲，数学模型即是构造.

例3（08江苏）：某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO.设排污管道的总长为ykm.

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；

②设OP=x（km），将y表示成x的函数关系式.

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短.

题目很详细地确立了两个主元∠BAO，OP，但主元未必非得二选一，任何对y产生影响的变量皆可为主元，如∠BOA，O到AB的距离等，只是在选择的时候应该从简，本题在2022年高考后，风靡了好一阵子.

（2）化归

将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B达到解决问题A的方法即为化归.这里指多元问题化归为一元问题，因为我们擅长解决只含一元的数学问题，即需要我们来构造主元来替代原问题中多元的变化.

例4（07宁夏、海南）：已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的最小值.

分析：六个元a，b，c，d，x，y阵容可谓震撼，但a+b=