黑龙江省鸡西市2024−2025学年高三上学期期中考试数学试题含答案

黑龙江省鸡西市2024−2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知是第四象限角，若，则（

）A． B． C． D．4．已知实数满足，则的最小值为（

）A．9 B．18 C．27 D．365．已知函数，则其在区间上的极大值点与极小值点之差为（

）A． B． C． D．6．函数在R上存在极大值的充分条件是：（

）A． B． C． D．7．已知函数（），若时，在处取得最大值，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数，下列结论中错误的是（

）A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称C．的最大值为 D．既是奇函数，又是周期函数二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法错误的是（

）A．命题，的否定为，B．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为D．已知函数的值域为，则的取值范围是10．已知函数的图象关于点中心对称，则（

）A．B．直线是曲线的对称轴C．在区间有两个极值点D．在区间单调递增11．设，则（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知函数是偶函数，则的值为13．已知函数，则函数的单调递减区间是14．已知，则四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知，，.(1)求c的值；(2)求的值；16．已知函数，的部分图象如图所示，(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；若，，求的值.17．已知函数(1)当时，求该曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间.18．已知函数.(1)求函数的周期和对称中心；(2)求函数在上的单调递增区间；(3)当时，求函数的值域.19．凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等．记为的导数．现有如下定理：在区间I上为凸函数的充要条件为．(1)证明：函数为上的凸函数；(2)已知函数．①若为上的凸函数，求的最小值；②在①的条件下，当取最小值时，证明：，在上恒成立．

参考答案1．【答案】C【分析】解一元二次不等式可求得，再结合集合的特征即可计算得出结果.【详解】解不等式可得，又可得只有当时，的取值分别为在集合中，所以.故选C.2．【答案】B【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.【详解】.故选B.3．【答案】D【分析】通过同角三角函数关系，求出，再求.【详解】∵，，∴，是第四象限角，，则，∴.故选D.4．【答案】C【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故的最小值为27.故选C.5．【答案】D【分析】求出导函数，解出的解.然后根据导函数，得出函数的单调性，即可得出函数的极值点，即可得出答案.【详解】由已知可得，.解可得，或.因为，所以，，.当时，，所以，所以在上单调递增；当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增.所以，在处取得极大值，在处取得极小值，所以，在区间上的极大值点与极小值点之差为.故选D.6．【答案】A【分析】求导，利用判别式求出的范围，然后由包含关系可得.【详解】要使在R上存在极大值，只需有两个异号零点，所以，即，记集合，则在R上存在极大值的充分条件是的子集.故选A.7．【答案】A【分析】利用多次求导及分类讨论判定函数的单调性及最值即可.【详解】∵，令，∴，当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递减.由，故可大致作出的图象如下，∴，∴当时，，f'x≥0，在R上单调递增，不成立；当时，，在0,2上单调递减，成立；当时，有两个根（），当时，，f'x>0当时，，f'x<0当时，，f'x>0∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立.综上.故选A．8．【答案】C【详解】对于选项，只需考虑即可，而，故正确；对于B选项，只需考虑是否成立即可，而，故B正确；对于D选项，，故是奇函数，有，故周期是，故D正确；对于C选项，，令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C错误.故选C.9．【答案】AD【分析】由含有一个量词命题的否定可判断A错误；由扇形面积公式计算可得B正确；由抽象函数定义域求法计算可得C正确；根据对数函数图象及其值域解不等式可得，即D错误.【详解】命题，的否定为，，故A说法错误；由，解得，所以扇形的弧长，故B说法正确；由，得，所以的定义域为，故C说法正确；因为的值域为R，所以函数的值域满足，所以，解得，故D说法错误.故选AD.10．【答案】AD【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性，结合函数极值的定义逐一判断即可.【详解】代入点，得，∴，，∴，故A正确．B选项：代入，，故B错误．由，，显然时，函数单调递减，当，函数单调递增，，所以该函数在区间有且仅有一个极值点，C错误．，处于正弦函数的递增区间内，D正确．故选AD.11．【答案】ACD【分析】根据题意，分别构造函数，，，利用导数分析其单调性，比较大小进而求解即可.【详解】，设，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以时，，所以，即，所以，所以,A正确；令，则，当时，，函数在单调递增，所以，即，,B错误；令，则,单调递增，当时，，函数单调递减，所以单调递减,,即，,C正确；令，则，所以在上单调递减，所以，即，,D正确.故选ACD.【方法总结】比较大小问题，根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.12．【答案】【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，然后可得.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，所以.故答案为：.13．【答案】【分析】采用整体代换的方式，结合的单调性可求得结果.【详解】因为函数，所以，由得：，∴fx的单调递减区间为.故答案为：.14．【答案】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由，得.故答案为：.15．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理即可求解.【详解】（1）因为，，，由余弦定理得，，解得；（2）由，，得，由正弦定理，得，解得；又，由正弦定理得.16．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据图象得振幅和周期并求出，再根据最大值点求出，即可得函数解析式.（2）根据图象变换得的解析式，再利用同角公式及两角和的余弦公式求值.【详解】（1）由图得，函数的最小正周期，解得，即，而，则，又，于是，所以的解析式为.（2）把函数的图象向右平移个单位长度，得的图象，因此，当时，，则，即，，所以.17．【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）由题意求出导数，根据导数的几何意义，求得切线方程.（2）讨论的正负求出函数单调区间.【详解】（1）当时，，求导得，则，而，所以曲线在处的切线方程为.（2）函数的定义域为R，且，当时，恒成立，函数在R上单调递减；当时，由，解得，由，解得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的单调递减区间是；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.18．【答案】(1)最小正周期，对称中心为(2)，(3)【分析】（1）根据二倍角公式与辅助角公式，化简得，再利用最小正周期公式与对称中心公式运算求解即可；（2）先求得的单调递增区间，再赋值即可得到在上的单调递增区间；（3）当时，令，则，代入化简得，再利用一元二次函数的单调性求值域即可.【详解】（1），所以的最小正周期；令，得，即的对称中心为.（2）令，得，令，得；令，得，所以函数在上的单调递增区间为，.（3）当时，，，令，则，，对称轴方程为，则在单调递减，在单调递增，所以当时，；当时，，所以函数的值域为.19．【答案】(1)证明见解析(2)①；②证明见解析【详解】（1）因为，则，，因为，又，所以，故在区间上恒成立，即函数为上的凸函数.（2）①因为，所以，，由题知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则在区间