内蒙古通辽市2021年中考数学真题卷（含答案）

通辽市2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号

条形码贴在答题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选

择题答案，用0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。

答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题包括10道小题，每小题3分，共3（）分，每小题只有一个正确答案，请

在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）

1.I-2|的倒数是（）

A.2B.AC.-2D.-A

2

下列计算正确的是（）

A.x2+x3=x5

D.(-2x/)3=_6x3y

3.为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如

下表，其中有两个数据被遮盖.

成绩/分919293949596979899100

人数■■1235681012

下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）

A.平均数，方差B.中位数，方差

C.中位数，众数D.平均数，众数

4.关于x的一元二次方程（%-3）x-A+l=0的根的情况，下列说法正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

5.如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体

的小立方体的个数不可能是（)

主视图左视图

A.3B.4C.5D.6

6.随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国

快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平

均增长率为达则可列方程为（）

A.507（l+2x）=833.6

B.507X2(1+x)=833.6

C.507(1+x)2=833.6

D.507+507(1+x)+507(1+x)2=833.6

7.如图，在RtZSABC中，NACB=90°,根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是()

A.ZBDE=ZBACB.NBAD=NBC.DE=DCD.AE=AC

8.定义：一次函数的特征数为[mb]f若一次函数y=-2x+机的图象向上平移3

个单位长度后与反比例函数y=-3的图象交于A,8两点，且点A,8关于原点对称，

x

则一次函数y=-2x+m的特征数是（）

A.[2,3JB.[2,-3JC.[-2,3]D.[-2,-3J

9.如图，已知AO〃3C,ABLBC,AB=3,点E为射线BC上一个动点，连接AE,将4

ABE沿AE折叠，点B落在点B'处，过点8'作A。的垂线，分别交AD,3c于M,N

两点，当B'为线段MN的三等分点时，BE的长为（）

c-■或D."j/或•|道

10.如图，在矩形A8CD中，AB=4,BC=3,动点P,。同时从点A出发，点P沿4-B

-C的路径运动，点。沿AfQfC的路径运动，点尸，。的运动速度相同，当点P到达

点C时，点。也随之停止运动，连接P。.设点尸的运动路程为x,PQ2为g则y关于

x的函数图象大致是（）

二、填空题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的

横线上）

11.冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学

记数法表示为.

12.如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常.随机闭合开关5i,S2,S3中的两个，

能让两个小灯泡同时发光的概率是.

13.一副三角板如图所示摆放，且4B〃CC,则/I的度数为

14.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比

竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，

用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳

索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为.

15.若关于x的不等式组（3X-2/1,有且只有2个整数解，则q的取值范围是_________.

（2x-a<5

16.如图，AB是00的弦，A8=2«,点C是。。上的一个动点，且NAC2=60°,若点

M,N分别是AB,BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是.

17.如图，△04181,AAM2B2,△A2A3B3,…，儿都是斜边在x轴上的等腰直角

三角形，点Al,A2,43,…，4都在x轴上，点Bi,B2,…，8〃都在反比例函数y

=1（A>0）的图象上，则点B”的坐标为.（用含有正整数〃的

X

式子表示）

三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡

上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）

18.（5分）计算：（工）'+（n-3）°-2cos30°+|3-

2

19.（6分）先化简，再求值：（2x+1+x-1）+—虚其中x满足/-x-2=0.

x+1X2+2X+1

20.（6分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应

的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转

盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x,y.请用树状图或列表法求点

（%.），）落在平面直角坐标系第一象限内的概率.

21.（7分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行.为测量其宽度，小明在南

岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以\5mJs的速度沿着河岸向

东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结

果取整数，参考数据：73^1.732）

22.（7分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了

部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形

统计图和频数分布直方图.

其中A组的频数。比B组的频数h小15.请根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次共抽取名学生，〃的值为:

(2)在扇形统计图中，〃=,E组所占比例为%；

(3)补全频数分布直方图；

(4)若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人

数.

23.(8分)为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲

种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720

元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液.

(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？

(2)由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液

的桶数不少于乙种消毒液桶数的」.由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元

3

/桶、15元/桶的批发价.求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额

是多少元？

24.(8分)如图，A3是。。的直径，过点A作。0的切线AC,点P是射线AC上的动点，

连接OP,过点B作8D〃OP,交。0于点Q,连接PD

(1)求证：尸。是。0的切线；

(2)当四边形POB。是平行四边形时，求NAP。的度数.

cc

备用图_

25.(10分)已知△AO8和△MON都是等腰直角三角形(返。4VoM＜。4),4108=/

2

MON=90°.

(1)如图1,连接AM,BN,求证：AM=BN；

(2)将△MON绕点。顺时针旋转.

①如图2,当点M恰好在4?边上时，求证：AM2+BM2=2OM2；

②当点A,M,N在同一条直线上时，若0A=4,0M=3,请直接写出线段AM的长.

图1图2

26.(12分)如图，抛物线丫="2+—+3交x轴于A(3,0),8(-1,0)两点，交y轴于

点C,动点P在抛物线的对称轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当以P,B,C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及aPBC的周长；

(3)若点。是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q,使得以A,C,P,Q为

顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请

说明理由.

参考答案

一、选择题（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请

在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）

1.I-2|的倒数是（）

A.2B.AC.-2D.-A

22

【分析】先求出I-2|=2,再根据倒数定义可知，2的倒数是上.

2

【解答】解：I-Z的倒数是工，

2

故选:B.

2.下列计算正确的是（）

A./+x3=x5B.2r*-x3=l

C.x3,x4=x7D.（-Zxy2）3=-bx3y6

【分析】分别根据合并同类项法则，同底数'幕的乘法法则、积的乘方与事的乘方运算法

则逐一判断即可.

【解答】解：A.?+?,不是同类项，不能合并，故本选项不合题意：

8.2?-/=4,故本选项不合题意；

C.？«x4=x7,故本选项符合题意；

D.（-2xy2）3=-8X3},6,故本选项不合题意；

故选：C.

3.为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如

下表，其中有两个数据被遮盖.

成绩/分919293949596979899100

人数■■1235681012

下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）

A.平均数，方差B.中位数，方差

C.中位数，众数D.平均数，众数

【分析】通过计算成绩为91、92分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果,

因此不影响众数，同时不影响找第25、26位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行

选择.

【解答】解：由表格数据可知，成绩为24分、92分的人数为50-（12+10+8+6+5+3+2+1）

=3（人），

成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100,

成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98,

因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，

故选：C.

4.关于x的一元二次方程，-枭-3）x-R+l=0的根的情况，下列说法正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【分析】先计算判别式，再配方得到△=（…）2+4,然后根据非负数的性质得到△>

0,再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根.

【解答】解：△=[-a-3）]2-4（-A+1）

=必-6k+9-4+4Z

=必-2氏+5

=（A：-1）2+4,

（jt-1）2）0,

Ck-1）2+4>0,即△>（）,

二方程总有两个不相等的实数根.

故选：A.

5.如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体

的小立方体的个数不可能是（）

主视图左视图

A.3B.4C.5D.6

【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形.

【解答】解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左右都有）

个，第二行的正方体可能有2（左边有）或3（左右都有）个，

：1+2=3,1+3=4,2+2=4,2+3=5,

...不可能有6个.

故选：D.

6.随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国

快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平

均增长率为x,则可列方程为()

A.507(l+2x)=833.6

B.507X2(1+x)=833.6

C.507(1+x)2=833.6

D.507+507(1+x)+507(1+x)2=833.6

【分析】根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量X(1+增长率)2=2020年的快

递业务量，根据等量关系列出方程即可.

【解答】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x,

由题意得：507(1+x)2=833.6,

故选：C.

7.如图，在RtZVIBC中，/4CB=90°,根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是()

A.ZBDE=ZBACB./BAD=NBC.DE=DCD.AE=AC

【分析】由尺规作图的痕迹可得，DELAB,AO是/BAC的平分线，根据同角的余角相

等可判断4根据角平分线的性质可判断C,证得可判定。，由于

OE不是48的垂直平分线，不能证明

【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，DEVAB,是NBAC的平分线，

VZC=90°,

：.DE=DC,NB+NBDE=NB+NBAC=90°,

NBDE=ABAC,

在RtAAED和RtAACZ)中，

[AD=AD

1DE=DC，

ARtAAED^RtAACD(HL),

：.AE=AC,

•••QE不是AB的垂直平分线，故不能证明NBAQ=NB,

综上所述：A,C,£>不符合题意，B符合题意，

故选：B.

8.定义：一次函数y=ax+b的特征数为[a,b],若一次函数y=-2x+m的图象向上平移3

个单位长度后与反比例函数y=-3的图象交于A,8两点，且点A,B关于原点对称，

x

则一次函数y=-2x+m的特征数是()

A.[2,3]B.[2,-3]C.[-2,3]D.[-2,-3]

【分析】将一次函数y=-2x+m的图像向上平移3个单位长度后，得到解析式y=-

2x+m+3,联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设A(xi,0),

B(X2,0),所以xi与X2是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到x,+xc=g，

又A,B两点关于原点对称，所以xi+%2=0,则述•=(),得到〃?=-3,根据定义，得到

2

一次函数)，=-2x+m的特征数是[-2,-3].

【解答】解：将一次函数y=-2X+/H向上平移3个单位长度后得到y=-2x+m+3,

设A(xi,0),B(X2,0),

fy=-2x+m+3

联立|3，

y=­

X

A2?-(zw+3)X-3=0,

Vxi和X2是方程的两根，

・m+3

,,xl+x2=~

又8两点关于原点对称，

♦•♦Xl+X2=0,

，加=-3,

根据定义，一次函数y=-2x+〃7的特征数是[-2,-3],

故选：D.

9.如图，已知A£>〃BC,ABLBC,AB=3,点E为射线BC上一个动点，连接AE,将4

A8E沿AE折叠，点B落在点8,处，过点8,作AO的垂线，分别交A。，8c于M,N

两点，当8'为线段MN的三等分点时，BE的长为（）

C■或'IA历或

【分析】分类画出图形，设BE=x,由折叠得性质表示出相关线段，再用勾股定理列方

程即可解得BE的长.

【解答】解：①当例B，=4MN时，如图:

3

中，A8'=AB=3,MB'=X\B=\,

3

•*,AM=YAB，2_旺，2=2点,

'JAD//BC,ABLBC,MNLAD,

四边形ABMW是矩形，

：.BN=AM=2®MN=AB=3,

设BE=x,则B'E=x,EN=242-%，

Rt/XB,EN中，B'N=MN-MB'=2,EN2+B'N2=B'E1,

/.(2&-x)2+22=X1,

解得x=2返，

2_

的长为3亚；

2

②当N8=4MN时，如图：

3

3

设BE=y,

同①可得），=3匹，

5

的长为3返，

5__

综上所述，BE的长为3返或色度.

25

故选：D.

10.如图，在矩形4BC。中，AB=4,BC=3,动点、P,。同时从点A出发，点P沿8

-C的路径运动，点。沿A-O-C的路径运动，点P,。的运动速度相同，当点P到达

点C时，点。也随之停止运动，连接PQ.设点尸的运动路程为x,尸。2为y,则），关于

x的函数图象大致是（）

【分析】在RtAAPg中，利用勾股定理可求出PQ1的长度，分0WxW3、3WxW4及4

WxW7三种情况找出y关于x的函数关系式，对照四个选项即可得出结论.

【解答】解：在RtZ\APQ中，ZQAP=90°,AP=AQ=x,

；.PQ2=2X2.

当0WxW3时，AP=AQ=x,

/.y=P(22=2x2；

当3WxW4时，DP=x-3,AP=x,

•'•y—PQ2=32+32—1S；

当4WxW7时，CP=1-x,CQ=7-x,

：.y=P^=CP1+C(^=2x2-28x+98.

故选：C.

二、填空题(本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的

横线上)

11.冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学

记数法表示为1.2X10〃

【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为"X10",与较大数

的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幕，指数〃由原数左边起第一个不为零

的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解:0.00000012=1.2X107.

故答案为：1.2义10一7.

12.如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常.随机闭合开关Si,S2,S3中的两个，

能让两个小灯泡同时发光的概率是-1.

一3一

【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种,

再由概率公式求解即可.

【解答】解：把开关Si,52,S3分别记为A、B、C,

画树状图如图：

开始

ABC

AAA

BCACAB

共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，

，能让两个小灯泡同时发光的概率为2=工，

63

故答案为：1.

3

13.一副三角板如图所示摆放，且AB〃C£>,则/I的度数为75°

【分析】由“两直线平行，内错角相等"得到/2=NC=30°,再根据三角形的外角性

质求解即可.

【解答】解：如图，NA=45°,/C=30°,

,JAB//CD,

；.N2=NC=30°,

.*.Zl=Z2+ZA=30°+45°=75°,

故答案为：75°.

14.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比

竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，

用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳

x-y=5

索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为1

v?=5

【分析】设绳索长X尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳

索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得

解.

【解答】解：设绳索长x尺，竿长y尺，

x-y=5

依题意得：，1.

y『5

x-y=5

故答案为：<1.

y—^x=5

15.若关于x的不等式组亍1,有且只有2个整数解，则”的取值范围是

[2x-a<5

【分析】解每个不等式得出坦，根据不等式组整数解的个数得出关于“的不等

2

式组，解之即可.

【解答】解：解不等式3x-22L得：

解不等式2x-“<5,得：xV2坦，

2

•.•不等式组只有2个整数解，

.•.2〈生”W3,

2

解得-

故答案为：

16.如图，AB是00的弦，A8=2«,点C是00上的一个动点，且NACB=60°,若点

M,N分别是48,BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是生L-亚..

一3一4一

【分析】连接。A、OB、0M,根据圆周角定理得到/4。8=120°,求出0M=l,04=

s

2,再根据三角形中位线性质得到MN//AC,MN^lAC,然后根据三角形相似得到叫

22AABC

=(MN)2=1,故当aABC的面积最大时，的面积最大，由C、0、M在一条

AC4

直线时，△ABC的面积最大，求得AA8c的最大值，进而即可求得△MBN的面积最大值，

利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得阴影部分的最大值.

【解答】解：连接04、OB、0M,如图，

VZACB=60Q,

：.ZAOB=120°,

"：OA=OB,

...NOA8=NOB4=30°,

2

：.0M±AB,

.\tan30o=史，

_AH

：.0M=®x/=l,

3

：.OA=2OM=2,

•.•点M、N分别是AB、8C的中点，

:.MN"AC,MN=1AC,

2

，丛MBNs丛ABC,

.SAMBN_(MN、2_1

^AABCAC4

...当△ABC的面积最大时，△M8N的面积最大,

；C、0、M在一条直线时，△4BC的面积最大,

.•.△ABC的面积最大值为：.lx2V3X(2+1)=3近，

的面积最大值为：3返，

4

,:S弓形=5崩形。AB-S.OB=120兀K2_-_Lx2J3X1=-^^-&，

3602Y§3

，此时，s阴影=2巴-心生巨=生匚-返，

3434

故答案为：空-返.

34

17.如图，△OAiBi,△A1A282,△A2A3B3,…，△A”-1A"8"都是斜边在无轴上的等腰直角

三角形，点Ai,A2,43,…，A〃都在x轴上，点51,B2,B3,…,8〃都在反比例函数y

=—(x>0)的图象上，则点8〃的坐标为(Jn-1+/i，-7.(用含有

X

【分析】由于△0481是等腰直角三角形，可知直线OB1的解析式为y=x,将它与丫=工

x

联立，求出方程组的解，得到点物的坐标，则4的横坐标是小的横坐标的两倍，从而

确定点A1的坐标；由于△O48i,△A1A2B2都是等腰直角三角形，则4B2〃08I,直线

4B2可看作是直线。以向右平移OAi个单位长度得到的，因而得到直线4B2的解析式，

同样，将它与联立，求出方程组的解，得到点Bi的坐标，则Bi的横坐标是线段

x

AM2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A3的坐标，即可求得点切

的坐标，得出规律.

【解答】解：过81作轴于

易知Mi(1,0)是04的中点，

AAi(2,0).

可得Bi的坐标为(1,1),

.•.810的解析式为：y=x,

•：P\O//A\Pi,

：.A1B2的表达式一次项系数相等，

将4(2,0)代入y=x+b,

:.b=-2,

，AI82的表达式是y=x-2,

与(x>0)联立，解得比(1+&，-1+料).

X

仿上，A2(2点,0).

仍(扬正,-扬晶)，

依此类推，点治的坐标为川n-l+'/ii,-♦n-1+Vii)'

故答案为(Vn-1+Vn--Vn-1+Vn)-

三、解答题(本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡

上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤)

18.(5分)计算：(工)(ir-3)°-2cos30°+|3-

2

【分析】先计算负整数次第、零指数基、特殊三角函数、绝对值的运算，再进行加减运

算即可.

【解答】解：原式=2+1-2X返+2«-3

2

=-M+2贬

=虫.

19.(6分)先化简，再求值：(2x+1+x-1)+-^±2_,其中x满足f-x-2=0.

x+1X2+2X+1

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有

意义的条件确定x的值，代入计算即可.

［解答］解：原式=2x+l+x2-l.(x+l)2

x+1x+2

=x(x+2).(x+1),

x+1x+2

=x(x+1)

=7+JG

解方程W-x-2=0,得xi=2,X2=-L

Vx+1^0,

-1,

当％=2时,原式=22+2=6.

20.（6分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应

的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转

盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x,请用树状图或列表法求点

（x,y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率.

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，点（x,y）落在平面直角坐标系第一象限

内的结果有4种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：画树状图如图：

开始

共有9种等可能的结果，点（x,y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，

...点（x,y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率为9.

9

21.（7分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行.为测量其宽度，小明在南

岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5成/s的速度沿着河岸向

东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结

果取整数，参考数据：73^1.732）

【分析】如图，作ADJ_BC于D由题意得到BC=1.5X40=60（〃?），乙48。=30°,

ZACD=45°,在RtZ\AC£）中，由三角函数的定义得到AQ=C£>,在Rt/XAB。中，由

三角函数的定义得到BD=—^―,根据BC=BD-CD即可求出AD

tan30

【解答】解：如图，作于。.

由题意可知：BC=1.5X40=60(m),NABO=90°-60°=30°,ZACD=90°-45°

=45°,

在Rt^ACC中，•.•tan/ACD=tan45°=辿=1,

CD

：.AD^CD,

在RtZXAB。中，VtanZABD=tan30°=地，

BD

:.BD=—他.，

tan300

AD

'：BC=BD-CD=-^--AD=60(m),

返

3

：.AD=30(V3+1)弋82(〃?)，

答：此段河面的宽度约82%

22.（7分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了

部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形

统计图和频数分布直方图.

其中A组的频数。比B组的频数6小15.请根据以上信息，解答下列问题:

（1）本次共抽取150名学生,a的值为12；

（2）在扇形统计图中，n=144，E组所占比例为4%；

（3）补全频数分布直方图;

（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人

数.

【分析】（1）A组的频数。比8组的频数b小15,而A组的频频率比B组的频率小18%

-8%=10%,可求出调查人数，再根据频数、频率、总数之间的关系求出。的值即可；

（2）求出组”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数及“E组”所占的百分比；

（3）求出匕的值，“C组”频数以及“E组”频数即可；

（4）求出样本中成绩在80分以上的学生所占的百分比，即可估计整体中成绩在80分以

上的学生人数.

【解答】解：（1）A组的频数a比B组的频数〃小15,A组的频频率比B组的频率小18%

-8%=10%,

因此调查人数为：15+（18%-8%）=150（人），

150X8%=12（人），

故答案为：150,12；

（2）360°X_^L=360°X40%=144°,即“=144,

150

“E组”所占的百分比为1-8%-18%-30%-40%=4%,

故答案为：144,4；

（3）b=a+15=27（人），

“C组”频数为：150X30%=45（人），

“E组”频数为：150X4%=6（人），

补全频数分布直方图如图所示：

测试成绩频数分布直方图

150

答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人.

23.（8分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲

种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720

元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液.

（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？

（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液

的桶数不少于乙种消毒液桶数的工.由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元

3

/桶、15元/桶的批发价.求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额

是多少元？

【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，

根据数量=总价+单价，结合该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的

甲、乙两种消毒液，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购买甲种消毒液〃，桶，则购买乙种消毒液（300-〃?）桶，根据购进甲种消毒液

的桶数不少于乙种消毒液桶数的工，即可得出关于〃，的一元一次不等式，解之即可得出

3

，〃的取值范围，设所需资金总额为w元，根据所需资金总额=甲种消毒液的批发价X购

进数量+乙种消毒液的批发价义购进数量，即可得出w关于，〃的函数关系式，再利用一

次函数的性质即可解决最值问题.

【解答】解：（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元

/桶，

依题意得：型。=您，

x+6x

解得：x=24,

经检验，x=24是原方程的解，且符合题意，

/•x+6—30.

答：甲种消毒液的零售价为30元/桶，乙种消毒液的零售价为24元/桶.

（2）设购买甲种消毒液机桶，则购买乙种消毒液（300-W）桶，

依题意得：（300-

3

解得：m275.

设所需资金总额为w元，则w=20朋+15（300-m）=5m+4500,

：5>0,

随机的增大而增大,

，当机=75时，卬取得最小值，最小值=5X75+4500=4875.

答：当甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元.

24.(8分)如图，AB是。。的直径，过点4作。0的切线AC,点P是射线AC上的动点,

连接。P,过点B作BO〃OP,交于点。，连接PO.

(1)求证：PO是。。的切线；

(2)当四边形尸。8。是平行四边形时，求NAP。的度数.

备用图

【分析】(1)连接OD根据切线的性质求出/物0=90°,根据平行线的性质和等腰三

角形的性质求出NOOP=NAOP,根据全等三角形的判定推出△AOP四△0OP(,根据

全等三角形的性质得出NPQO=N必。=90°,再根据切线的判定得出即可；

(2)根据全等得出PA^PD,根据平行四边形的性质得出PD=OB,求出PA=OA,再

求出答案即可.

【解答】(1)证明：连接。。，

:以切。。于A,

：.PALAB,

即/物。=90°,

'：OP//BD,

：.ZDBO=ZAOP,NBDO=NDOP,

\'OD=OB,

：.ZBDO=ZDBO,

：.ZDOP=ZAOP,

在△AOP和△OOP中

'AO=DO

<ZA0P=ZD0P>

PO=PO

...△AOP丝△OOP(SAS),

:.NPDO=/PAO,

VZPAO=90°,

ZPDO=90°,

即ODLPD,

；O£)过O,

是。。的切线；

(2)解：

由(1)知：△AOP丝△OOP,

J.PA^PD,

：四边形POBD是平行四边形，

:.PD=OB,

'：OB=OA,

J.PA^OA,

'：ZPAO=90°,

：.ZAPO=ZAOP=45°.

25.(10分)已知△AO8和△MON都是等腰直角三角形(返。4COMCQ4),NAOB=/

2

MON=90°.

(1)如图1,连接AM,BN,求证：AM=BN；

(2)将△MON绕点0顺时针旋转.

①如图2,当点加恰好在AB边上时，求证：AM+B序=20序；

②当点A,M,N在同一条直线上时，若0A=4,0M=3,请直接写出线段AM的长.

图1图2

【分析】(1)通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利

用“SAS”证明aAOM丝△BON,即可得到AM=BN；

(2)①连接BN,根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM丝△BON,得

对应角相等，对应边相等，从而可证NM8N=90°,再根据勾股定理，结合线段相等进

行代换，即可证明结论成立；

②分点N在线段AM上和点M在线段AN上两种情况讨论，连接BN,设BN=x,根据勾

股定理列出方程，求出x的值，即可得到BN的长，BN的长就是AM的长.

【解答】(1)证明：；NAOB=NMON=90°,

NAOB+NAON=ZMON+ZAON,

即NAOM=NBON,

,//\AOB和△MON都是等腰直角三角形，

：.OA=OB,OM=ON,

丝△BON(SAS),

:.AM=BN；

M

图2

(2)①证明：连接BN,

；NAOB=/MON=90°,

ZAOB-4B0M=ZMON-ABOM,

即NAOM=NBON,

•••△AOB和△MON都是等腰直角三角形,

：.OA=OB,OM=ON,

.♦.△AO“△BON(SAS),

ZMAO=ZNBO=45°,AM=BN,

：・NMBN=90°,

:.MN2+BN2=MN2,

：△MON都是等腰直角三角形，

：.MN2=2ON2,

：.AM2+BM2=2OM2；

②解：如图3,当点N在线段AM上时，连接BM设BN=x,

由（1）可知△AOM之△BOM可得AM=8N且AM_LBM

在RtZXABN中，AN2+BN2=AB2,

和都是等腰直角三角形，OA=4,。仞=3,

:.MN=3贱,AB=4H

:.(x-3亚)？+/=(4亚)2,

解得：尸运至返，

2_

AM=BN士板+3肥，

2

如图4,当点，M在线段AN上时，连