《平面向量数量积》2

平面向量的数量积

复习例题讲解小结回顾

引入新课讲解性质讲解课堂练习定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb

复习例题讲解小结回顾引入新课讲解性质讲解课堂练习我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。

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引入新课讲解性质讲解课堂练习θ=180°θ=90°向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。θ=0°特殊情况OBAθ

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引入新课讲解性质讲解课堂练习已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

a·b=|a||b|cosθ规定:零向量与任一向量的数量积为0。

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引入新课讲解性质讲解课堂练习解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10.例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角

θ=120°，求a·b.

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引入新课讲解性质讲解课堂练习OA=a，OB=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.θ为锐角时θ为钝角时θ=90°θ=0°θ=180°我们得到a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

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引入新课讲解性质讲解课堂练习例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角

θ=120°，

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引入新课讲解性质讲解课堂练习设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则（1）e·a=a·e=|a|cosθ重要性质:（5）|a·b|≤|a||b|a·b|a||b|（4）cosθ=（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|

当a与b反向时，a·b=－|a||b|特别地，a·a=|a|2或|a|=√a·a

。（2）a⊥b

a·b=0

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引入新课讲解性质讲解课堂练习

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引入新课讲解性质讲解课堂练习课堂练习判断下列各题是否正确(1)若a=0,则对任意向量b,有a·b=0-----(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a·b≠0--(3)若a≠0,且a·b=0,则b=0-------------------(4)若a·b=0,则a=0或b=0---------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2----------------(6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c-------------------(√)(×)(×)(×)(√)(×)

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引入新课讲解性质讲解课堂练习ABCDACBOAEDCBFH基础练习

1、判断下列命题的真假:2、已知△ABC中，a=5，b=8，C=600，求ABC

3、已知

|a|

=8，e是单位向量，当它们之间的夹角为则a在e方向上的投影为（1）平面向量的数量积可以比较大小（2）（3）已知b为非零向量因为0×a=0，a·b=0,所以a=0

(4)对于任意向量a、b、c，都有a·b·c=a·（b·c）进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。4、例1、

已知（a–b）⊥（a+3b），求证：

|a+b|=2|b|.例2、已知a、b都是非零向量，且a+3b

与

7a–

5b

垂直，a–

4b

与7a–

2b垂直，

求a与b的夹角.ACBOAEDCBFHAEDCBFH

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引入新课讲解性质讲解课堂练习1.a·b=|a||b|cosθ2.

数量积几何意义3.重要性质作业布置：

复习例题讲解小结回顾

引入新课讲解性质讲解课堂练习谢谢大家OBA当θ=0°时，a与b同向返回OBA当θ=180°时，a与b反向。

返回OBAθθ=90°，a与b垂直，记作a