数学九年级上册专题22.5 二次函数与一元二次方程-重难点题型（人教版）（教师版）

专题22.5二次函数与一元二次方程-重难点题型【人教版】【知识点1二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】根的判别式二次函数的图象二次函数与x轴的交点坐标一元二次方程根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根△＝0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根△＜0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）【题型1抛物线与x轴的交点】【例1】（2021•海珠区一模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【解题思路】求出抛物线的表达式y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，进而求解．【解答过程】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0，解得x＝0或2，故选：A．【变式1-1】（2020秋•路南区期末）小明在解二次函数y＝ax2+bx+c时，只抄对了a＝1，b＝4，求得图象过点（﹣1，0）．他核对时，发现所抄的c比原来的c值大2，则抛物线与x轴交点的情况是（）A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．不确定【解题思路】先把a＝1，b＝4，（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中求出抄错的c的值，再得到确定c的值，从而得到抛物线的解析式应该为y＝x2﹣4x+1，然后利用判别式的意义进行判断．【解答过程】解：根据题意得a=1b=4∴a＝1，b＝4，c＝3，∵所抄的c比原来的c值大2，∴原来c的值为1，∴抛物线的解析式应该为y＝x2﹣4x+1，∵△＝（﹣4）2﹣4×1＝12＞0，∴抛物线与x轴有2个交点．故选：B．【变式1-2】（2021•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1【解题思路】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A点或B点向右平移得到点（4，0）得到m的值．【解答过程】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，即m的值为5或1．故选：C．【变式1-3】（2020秋•长春期末）在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解题思路】根据函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围，然后即可解答本题．【解答过程】解：∵函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，∴k−2≠0k≠0解得k＞0且k≠2，故选：C．【题型2抛物线与x轴交点上的四点问题】【例2】（2021•碑林区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（）A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n【解题思路】设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解．【解答过程】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，则两个函数的图象如下图所示（省略了y轴），从图象看，x1＜m＜n＜x2，故选：A．【变式2-1】（2021•上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（）A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q【解题思路】依据题意y＝ax2+bx+c的图象如下图所示，在此基础上，作出直线y＝x的图象，设两个函数图象的交点为C、D，即可求解．【解答过程】解：依据题意y＝ax2+bx+c的大致图象如下图所示，在此基础上，作出直线y＝x的图象，设两个函数图象的交点为C、D，则C、D的横坐标为m，n，故m＜p＜q＜n，故选：C．【变式2-2】（2021•娄底模拟）对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程﹣x2+6x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3和x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1 B．x1【解题思路】根据题意画出关于x的二次函数图象以及直线y＝﹣2，根据图象即可判断．【解答过程】解：由题意关于x的方程y＝x2﹣6x+m＝﹣2（m≠0）有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，画出函数的图象草图（省去y轴）如下：y轴不能确定在哪个位置，可能在x1与x3之间．而在当这种情况是x1反之因为x2，x4都在对称轴x＝3的右侧，均为正实数，而x2又大于x4．故x2故选：D．【变式2-3】（2021•河南模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．若关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）也有两个整数根，则这两个整数根是（）A．﹣2和0 B．﹣4和2 C．﹣5和3 D．﹣6和4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣4和2，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣6，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣5和3，故选：C．【题型3由二次函数解一元二次方程】【例3】（2021•花都区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是．【解题思路】利用“方程的解即为对应函数与x轴的交点横坐标”和二次函数的对称性求解两根．【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x＝3或x＝﹣1．故答案为：x＝3或x＝﹣1．【变式3-1】（2020秋•南京期末）二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为．【解题思路】求出抛物线的对称轴x＝﹣1，根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为（x，0），可得12（3+x）＝﹣1，解得x的值，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解就是抛物线与x【解答过程】解：函数的对称轴为直线x=−b设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0），∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，∴12（3+x解得：x＝﹣5，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（﹣5，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是3或﹣5，故答案为：3或﹣5．【变式3-2】（2021•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为．【解题思路】把a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c，转化为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，即y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c于y′′＝3的交点，进而求解．【解答过程】关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，设y′′＝3，当y′＝y′′时，即a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，即a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c，即一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解转化为y′＝y′′的交点，而平移前函数交点的横坐标为﹣1或2，向右平移2个单位后交点的横坐标为1或4故答案为1或4．【变式3-3】（2020秋•上虞区期末）已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x+3m）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x+3m）＝0的一个根为【解题思路】当x＝0时，y＝3，故二次函数y＝（ax+m）（x+3m）必经过定点（0，3），则二次函数y＝（ax+m）（x【解答过程】解：∵二次函数y＝（ax+m）（x+3∴当x＝0时，y＝3，∴二次函数y＝（ax+m）（x+3∴二次函数y＝（ax+m）（x+3∴对称轴为：x=12（0+4）＝2或x∵方程y＝（ax+m）（x+3m）＝0的一个根为∴另一个根为3或﹣5，∴故答案为3或﹣5．【知识点2求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．【题型4由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例4】（2020秋•禅城区期末）如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（）x…2.12.22.32.42.5…y…﹣1.39﹣0.76﹣0.110.561.25…A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5【解题思路】根据表格中的数据可得出“当x＝2.3时，y＝﹣0.11；当x＝2.4时，y＝0.56．”由﹣0.11更接近于0即可得出结论．【解答过程】解：当x＝2.3时，y＝﹣0.11；当x＝2.4时，y＝0.56．∵﹣0.11更接近于0，∴方程的一个近似根为2.3．故选：B．【变式4-1】（2020秋•长春期末）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（）x6.176.186.196.20y＝ax2+bx+c0.020.010.020.04A．1或2 B．1 C．2 D．0【解题思路】由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根．【解答过程】解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，∴抛物线与x轴没有交点，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根，故选：D．【变式4-2】（2020秋•濮阳期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：x6.176.186.196.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20【解题思路】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．【解答过程】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．故选：C．【变式4-3】（2020秋•钦州期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（）A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45【解题思路】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间．【解答过程】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，只有选项D符合，故选：D．【题型5由二次函数的图象解不等式】【例5】（2021•杭州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1【解题思路】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答过程】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∵抛物线开口向下，∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．故选：C．【变式5-1】（2020秋•淮安区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…123…y…0﹣10…（1）求该二次函数的表达式．（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为；不等式ax2+bx+c＜3的解集为．【解题思路】（1）由表格可得抛物线顶点坐标，设其顶点式，将（1，0）代入计算可得；（2）利用二次函数与一元二次不等式间的关系求二级可得．【解答过程】解：（1）设该二次函数的关系式为y＝a（x﹣m）2+n，∵顶点坐标为（2，﹣1），∴y＝a（x﹣2）2﹣1，∵该二次函数过点（1，0），∴0＝a（1﹣2）2﹣1，解得a＝1，即y＝（x﹣2）2﹣1．（2）当（x﹣2）2﹣1＝0时，x＝1或x＝3，∵抛物线开口向上，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜1或x＞3；当（x﹣2）2﹣1＝3时，x＝0或x＝4，∵抛物线开口向上，∴不等式ax2+bx+c＜3的解集为0＜x＜4．故答案为：x＜1或x＞3，0＜x＜4．【变式5-2】（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．【解题思路】（1）将点A（﹣1，0）代入解析式求出m，求出点C坐标，根据点B与点C关于y轴对称求点B坐标．（2）根据图象交点坐标求解．【解答过程】解：（1）将（﹣1，0）代入y＝（x+2）2+m得0＝1+m，解得m＝﹣1，∴y＝（x+2）2﹣1，当x＝0时，y＝3，∴点C坐标为（0，3），∵点B与点C关于轴对称，对称轴为直线x＝﹣2，∴点B坐标为（﹣4，3）．（2）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标（﹣4，3），由图象可知，（x+2）2+m≥kx+b时，x≤﹣4或x≥﹣1．【变式5-3】（2021•九龙坡区校级模拟）已知函数y＝a|x﹣2|+x+b（a，b为常数）．当x＝3时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，请对该函数及其图象进行探究：（1）a＝，b＝；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．（3）已知函数y＝﹣x2+4x+5的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集．【解题思路】（1）由题意得：a|3−2|+3+b=02a+b=−1（2）由（1）知函数的表达式为y＝2|x﹣2|+x﹣5，当x≥2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝3x﹣9，当x＜2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝﹣x﹣1，根据函数表达式画出函数图象，即可求解；（3）观察函数图象即可求解．【解答过程】解：（1）由题意得：a|3−2|+3+b=02a+b=−1，解得a=2故答案为2，﹣5；（2）由（1）知函数的表达式为y＝2|x﹣2|+x﹣5，当x≥2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝3x﹣9，当x＜2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝﹣x﹣1；根据函数表达式画出函数图象如下：从图象看，当x≥2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）从图象看两个函数交于点A、B（﹣1，0），联立y＝3x﹣9和y＝﹣x2+4x+5得：3x﹣9＝﹣x2+4x+5，解得x=1+即点A的横坐标为1+57从函数图象看，不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集为x≤﹣1或x≥1+【题型6由二次函数与一次函数交点个数求范围】【例6】（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．−214或﹣3 B．−134或﹣3 C．214【解题思路】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．【解答过程】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，∴3+b＝0，解得b＝﹣3；当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b=−21所以b的值为﹣3或−21故选：A．【变式6-1】（2021•章丘区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（）A．−254＜m＜3 B．−254＜m＜2 C．﹣2＜【解题思路】如图，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．【解答过程】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线•y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．故选：D．【变式6-2】（2021•南沙区一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接