初三上专题四点共圆

./四点共圆专题讲义例1．如图,E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H四点共圆．例2．〔1如图,在△ABC中,BD、CE是AC、AB上的高,∠A=60°．求证：ED=〔2已知：点O是△ABC的外心,BE,CD是高．求证：AO⊥DE例3．如图,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．总结：四点共圆的方法：OA=OB=OC∠ADC=∠ABC=90°∠ACD=∠ABD=90°∠B+∠D=180°或∠A+∠BCD=180°或∠A=∠DCE∠A=∠D或∠B=∠C1．__________________________________________________________2．__________________________________________________________3．__________________________________________________________4．__________________________________________________________例4．求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积,即图中AB·CD+BC·AD=AC·BD．练习1．在中,,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ．〔1若且点P与点M重合〔如图1,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB的度数；〔2在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小〔用含的代数式表示,并加以证明；〔3对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置〔不与点B,M重合时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出的范围．练习2．在△ABC中,∠A=30°,AB=2,将△ABC绕点B顺时针旋转〔0°<<90°,得到△DBE,其中点A的对应点是点D,点C的对应点是点E,AC、DE相交于点F,连接BF.〔1如图1,若=60°,线段BA绕点B旋转得到线段BD.请补全△DBE,并直接写出∠AFB的度数；〔2如图2,若=90°,求∠AFB的度数和BF的长；〔3如图3,若旋转〔0°<<90°,请直接写出∠AFB的度数及BF的长〔用含的代数式表示.图3图3图1图2练习3．已知,点P是∠MON的平分线上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使∠APB+∠MON=180°．

〔1利用图1,求证：PA=PB；

〔2如图2,若点C是AB与OP的交点,当S△POB=3S△PCB时,求PB与PC的比值；

〔3若∠MON=60°,OB=2,射线AP交ON于点D,且满足且∠PBD=∠ABO,请借助图3补全图形,并求OP长．练习4．已知,在△ABC中,AB=AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ,直线a交BC边于点P〔点P不与点B、点C重合,△BMN的边MN始终在直线a上〔点M在点N的上方,且BM=BN,连接CN．

〔1当∠BAC=∠MBN=90°时,

①如图a,当θ=45°时,∠ANC的度数为________；

②如图b,当θ≠45°时,①中的结论是否发生变化？说明理由；

〔2如图c,当∠BAC=∠MBN≠90°时,请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系,不必证明．练习5．已知：Rt△和Rt△ABC重合,=∠ACB=90°,=∠BAC=30°,现将Rt△绕点B按逆时针方向旋转角α〔60°≤α≤90°,设旋转过程中射线和线段相交于点D,连接BD．〔1当α=60°时,过点C,如图1所示,判断BD和之间的位置关系,不必证明；〔2当α=90°时,在图2中依题意补全图形,并猜想〔1中的结论是否仍然成立,不必证明；〔3如图3,对旋转角α〔60°＜α＜90°,猜想〔1中的结论是否仍然成立；若成立,请证明你的结论；若不成立,请说明理由．图1图2图3练习6．在等边△ABC外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为D,连接AD,BD,CD,其中CD交直线AP于点E．设∠PAB＝,∠ACE＝,∠AEC＝．<1>依题意补全图1；<2>若＝15°,直接写出和的度数；<3>如图2,若60°<<120°,①判断,的数量关系并加以证明；②请写出求大小的思路．〔可以不写出计算结果图2图2图1练习7．阅读下面材料：小红遇到这样一个问题,如图1：在△ABC中,AD⊥BC,BD=4,DC=6,且∠BAC=45°,求线段AD的长．小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O,如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系,可以知道∠BOC=90°,然后过O点作OE⊥BC于E,作OF⊥AD于F,在Rt△BOC中可以求出⊙O半径及OE,在Rt△AOF中可以求出AF,最后利用AD=AF+DF得以解决此题．请你回答图2中线段AD的长.参考小红思考问题的方法,解决下列问题：如图3：在△ABC中,AD⊥BC,BD=4,DC=6,且∠BAC=30°,则线段AD的长.练习8．已知：A、B、C三点不在同一直线上．<1>若点A、B、C均在半径为R的⊙O上,〔i如图①,当∠A=45°,R=1时,求∠BOC的度数和BC的长；〔ii如图②,当∠A为锐角时,求证：sinA=；<2>若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN<B、C均与A不重合>滑动,如图③,当∠MAN=60°,BC=2时,分别作BP⊥AM,CP⊥AN,交点为P,试探索在整个滑动过程中,P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．练习9．在四边形ABCD中,AB∥DC,AB＞CD,K,M分别在AD,BC上,∠DAM=∠CBK．

求证：∠DMA=∠CKB．分析：连KM,由∠DAM=∠CBK,得到A,B,M,K四点共圆,则∠DAB=∠CMK,∠AKB=∠AMB,而∠DAB+∠ADC=180°,得到∠CMK+∠KDC=180°,因此C,D,K,M四点共圆,所以∠CMD=∠DKC,即可得到∠DMA=∠CKB．解答：解：连KM,

∵∠DAM=∠CBK,

∴A,B,M,K四点共圆