全等三角形的相关模型总结概要

全等三角形的相关模型总结概要角BAC的平分线AD与BC相交于点E，DE垂直于AC，且AB=CE。求证：△ABC为等腰三角形。证明：连接AE和BD，延长DE交AB于F。由角平分线定理可知，∠BAE=∠CAD，∠BAC=2∠BAE，∠ACD=2∠CAD。又因为AB=CE，所以∠ABC=∠ACB，即△ABC为等腰三角形。（2）.模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分∠BAC。求证：∠A=∠C。练习二：已知如图4，四边形ABCD中，∠B+∠D=180，BC=CD。求证：AC平分∠BAD。练习三：如图5，Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F。(1)求证：CE=CF。(2)将图5中的△ADE沿AB向右平移到△ADE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论。练习四：如图7，∠A=90，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC。求证：CP平分∠DCB。练习五：如图8，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。求证：BE=CF。练习六：如图9，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求证：BE-AC=AE。练习七：如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等。求证：AD平分∠BAC。AB+BP=AB+OB=AO=BQ+OQ=BQ+AQ，∴AB+BP=BQ+AQ，故命题得证。（2）.练习题应用：①、如图14，在△ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=CF，求证：DE=DF。ADEBCF图14思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线的性质和全等三角形的知识。2）解题思路：本题要证明的是DE=DF，可以通过构造相等的线段来证明。可过D作DE的平行线，交AC于G，过G作GF的平行线，交AB于H。则易证得△DHE≌△DGF，从而得到DE=DF。解答过程：证明：如图（15），过D作DE的平行线，交AC于G，过G作GF的平行线，交AB于H。则由平行线性质可知：∠EGB=∠ACB=∠ABC=∠GFC，又由角平分线的性质可知：∠BAG=∠CAF，∴∠AHE=∠AGC=∠BAG+∠GAB+∠ACB+∠CGF+∠GFC=∠CAF+∠GAB+∠ACB+∠GFC=∠EFC，又∵BE=CF，∴△AHE≌△CGF（SAS），∴DE=DF，故命题得证。AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题思路：1.可以使用“截长法”在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形。2.也可以使用“平行法”，过O作OD∥BC交AC于D，得到△ADO≌△ABO，从而解决问题。3.另一种“平行法”是过P作PD∥BQ交AC于D，得到△ABP≌△ADP，从而解决问题。小结：通过不同的辅助线添加方法，可以体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，而构造的全等三角形在转移线段中起着重要的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。练习一：在△ABC中，AD⊥BC于D，CD＝AB＋BD，∠B的平分线交AC于点E，要证明点E恰好在BC的垂直平分线上。练习二：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，要证明AD＋BD＝BC。练习三：已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，要证明AC＋CD＝AB。练习四、已知在△ABC中，平分线交点为D，交点DFBC，交点AC为E，交点AB为F，求证EF=BF-CE。在三角形中，平分线与外角平分线的交点是重要的点，可以用来证明一些关于三角形的性质。本题中，我们可以利用平分线与外角平分线的交点D，通过连接DF、BF、CE三条线段，来证明EF=BF-CE。证明过程如下：首先，根据角平分线定理，我们知道：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$又因为BC=DC，所以BD=AB。接下来，我们考虑三角形BDF和CEF。它们有共边BF和CE，且$\angleBDF=\angleCEF$，因为它们是BD和CE的平分线。又因为$\angleBFD=\angleCFE=180^\circ-\angleBAC$，所以它们是全等三角形。因此，BF=CE。将BF=CE代入EF=BF-CE，得到EF=0，即EF=BF-CE成立。练习五、在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，E是AD中点，连结CE，求证BD=2CE。这道题目中，我们可以利用相似三角形和中线定理来证明BD=2CE。证明过程如下：首先，我们利用中线定理得到：$BD^2=2AD^2+2AB^2-4AE^2$$CE^2=2AE^2+2AC^2-4AE^2$化简得到：$BD^2=2AD^2+2AB^2-4AE^2=2AC^2+2AB^2-4AE^2+2AD^2=4AC^2+2AD^2-4AE^2$$CE^2=2AE^2+2AC^2-4AE^2=2AC^2-2AE^2+2AC^2=4AC^2-2AE^2$我们可以发现，$BD^2=4AC^2+2AD^2-4AE^2$，$CE^2=4AC^2-2AE^2$，它们都包含了$4AC^2$这一项。因此，我们考虑将它们相减，得到：$BD^2-CE^2=2AD^2+4AE^2-8AC^2$由于$\triangleACD\sim\triangleABE$，所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。又因为AB=2AC，所以AE=AC。因此，$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$。代入上式，得到：$BD^2-CE^2=2AD^2+4AE^2-8AC^2=2AC^2-4AC^2=2(-AC^2)$因此，$BD^2-CE^2=-2AC^2$，即$BD^2=CE^2-2AC^2$。由于BD、CE都是正数，所以我们可以开平方，得到：$BD=\sqrt{CE^2-2AC^2}$由于$\triangleACD\sim\triangleABE$，所以$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=2$。因此，BD=2CE，证毕。练习六、已知在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。求证：（1）BF=DF；（2）AD=DE。这道题目中，我们可以利用平行四边形的性质和角平分线的性质来证明BF=DF和AD=DE。证明过程如下：首先，我们考虑证明BF=DF。由于AD∥BC，所以$\angleBCD=\angleACD=\angleBCF$。又因为CF平分∠BCD，所以$\angleDCF=\angleBCF$。因此，$\angleBCD=\angleDCF$，即$\triangleBCF\sim\triangleDCF$。因此，$\frac{BF}{DF}=\frac{BC}{DC}=1$，即BF=DF。接下来，我们考虑证明AD=DE。由于BC=DC，所以$\angleBCD=\angleCBD$。又因为AD∥BC，所以$\angleCBD=\angleADE$。因此，$\angleBCD=\angleADE$，即$\triangleBCD\sim\triangleADE$。因此，$\frac{AD}{DE}=\frac{BC}{CD}=1$，即AD=DE。练习七、已知在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA，∠ABC的外角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P。求证∠APB=∠CPD。这道题目中，我们可以利用外角平分线的性质和角的平分线定理来证明∠APB=∠CPD。证明过程如下：首先，我们考虑证明∠APB=2∠ABC。由于∠ABC的外角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P，所以$\angleAPB=2\angleBPC$。又因为AB+BC=CD+DA，所以$\triangleABC\cong\triangleCDA$。因此，$\angleABC=\angleCDA$。因此，$\angleAPB=2\angleABC$。接下来，我们考虑证明∠CPD=2∠ABC。由于AB+BC=CD+DA，所以$\triangleABC\cong\triangleCDA$。因此，$\angleABC=\angleCDA$。又因为∠ABC的外角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P，所以$\angleCPD=2\angleDPC=2\angleABC$。因此，$\angleAPB=2\angleABC=\angleCPD$，证毕。练习八、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB边上的点，且BE、DF交于G点，BE=DF，求证GC是∠BGD的平分线。证明过程如下：首先，我们考虑证明$\triangleGBC\sim\triangleGDA$。由于AB∥CD，所以$\angleGBC=\angleGDA$。又因为BE=DF，所以$\angleGCB=\angleGDF$。因此，$\triangleGBC\sim\triangleGDA$。由于$\triangleGBC\sim\triangleGDA$，所以$\frac{GC}{GB}=\frac{GD}{GA}$。因此，$\frac{GC}{GB}=\frac{AD+GD}{AB+GB}$。又因为ABCD是平行四边形，所以AD=BC。因此，$\frac{GC}{GB}=\frac{BC+GD}{AB+GB}$。移项得到$\frac{GC}{AB+GB}=\frac{GD-BC}{GB}$。因此，$\frac{GC}{AB}=\frac{GD-BC}{GB}-\frac{GC}{GB}$。化简得到$\frac{GC}{AB}=\frac{GD-BC-GC}{GB}$。因此，$\frac{GC}{AB}=\frac{BD}{GB}$。又因为ABCD是平行四边形，所以BD=AC。因此，$\frac{GC}{AB}=\frac{AC}{GB}$。因此，$\triangleGCB\sim\triangleGAB$。因此，$\angleGCB=\angleGAB$。又因为AB∥CD，所以$\angleGAB=\angleGDC$。因此，$\angleGCB=\angleGDC$。因此，GC是∠BGD的平分线，证毕。练习九、如图，在△ABC中，∠ACB为直角，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证CT=BE。证明过程如下：首先，我们考虑证明$\triangleADE\sim\triangleCBT$。由于$\angleADE=\angleCBT=90^\circ$，所以它们有一个角相等。又因为AT平分∠BAC，所以$\angleDAT=\angleTAC$。又因为CM⊥AB，所以$\angleACM=90^\circ-\angleCBA=\angleTAC$。因此，$\angleDAT=\angleACM$。因此，$\triangleADE\sim\triangleCBT$。由于$\triangleADE\sim\triangleCBT$，所以$\frac{CT}{AB}=\frac{BT}{AD}$。因此，$CT=\frac{AB\cdotBT}{AD}$。又因为$\triangleBCT\sim\triangleBAC$，所以$\frac{BT}{AB}=\frac{BC}{AC}$。因此，$CT=\frac{BC}{AD}\cdotBT$。接下来，我们考虑证明$BE=\frac{BC\cdotAD}{AB}$。由于$\triangleADE\sim\triangleCBT$，所以$\frac{BT}{AD}=\frac{BC}{DE}$。因此，$BT=\frac{BC\cdotAD}{DE}$。又因为$\triangleBAC\sim\triangleBCT$，所以$\frac{BT}{AB}=\frac{CT}{AC}$。因此，$CT=\frac{AB\cdotBT}{AC}=\frac{AB\cdotBC\cdotAD}{AC\cdotDE}$。因此，$BE=BC-BE=\frac{BC\cdotAD}{DE}-\frac{BC\cdotAB}{DE}=\frac{BC\cdotAD-BC\cdotAB}{DE}=\frac{BC\cdotAD}{AB}$。因此，$CT=BE$，证毕。练习十、如图所示，已知ABC中，求E、F分别在BD、DE=CD，EF=AC。AD平分∠BAC，AD上。证：EF∥AB。证明过程如下：首先，我们考虑证明$\triangleAEF\sim\triangleABC$。由于$\angleAEF=\angleABC$，所以它们有一个角相等。又因为$\frac{DE}{CD}=\frac{DE}{BD}=\frac{AE}{AB}$，所以$\triangleADE\sim\triangleABE$。因此，$\angleAED=\angleABE=\angleABC$。因此，$\triangleAEF\sim\triangleABC$。由于$\triangleAEF\sim\triangleABC$，所以$\frac{EF}{AC}=\frac{DE}{CD}=\frac{DE}{BD}=\frac{AE}{AB}$。因此，$EF=\frac{AC\cdotAE}{AB}$。又因为AD平分∠BAC，所以$\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BD}$。因此，$EF=\frac{AC\cdotED}{BD}$。接下来，我们考虑证明$\triangleEFD\sim\triangleABD$。由于$\angleEFD=\angleABD$，所以它们有一个角相等。又因为$\frac{DE}{CD}=\frac{DE}{BD}=\frac{EF}{AB}$，所以$\triangleEFD\sim\triangleABD$。因此，$\angleFED=\angleBAD$。因此，$\angleAEF=\angleABC$，$\angleBAD=\angleFED$，且$\angleAEF+\angleFED+\angleDEF=180^\circ$。因此，EF∥AB，证毕。N、Q.则四边形AEDF可以分成两个三角形和两个梯形，分别计算它们的面积即可求出四边形AEDF的面积。由于△ABE和△CDF是等腰直角三角形，所以AE=BE=CD=DF=2.又因为AD=2，BC=5，所以BD=3.因为EN⊥DA，BM⊥