初中 八年级 三角形 拔高题 综合题 压轴题(含答案)

初中八年级三角形拔高题综合题压轴题(含答案)1.在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．(1)当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数。解：由∠B＝∠C＝45°，可得∠A＝90°，则∠ADE＝∠AED＝45°，∠DAE＝90°-45°＝45°，因此△ADE为等腰直角三角形，所以DE＝AE.又因为∠BAD＝60°，所以∠BAE＝∠BEA＝60°/2＝30°，∠AEB＝90°-30°＝60°，∠EDC＝∠B＝45°，因此∠CDE＝∠AEB-∠EDC＝60°-45°＝15°.(2)当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由。解：当点D在BC边上运动时，∠BAD和∠CDE都会发生变化，但它们的和∠BAE不变，因为它是定值30°，所以∠BAD和∠CDE之间不存在数量关系。(3)深入探究：如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系。解：当∠B＝∠C时，∠A＝90°，∠ADE＝∠AED，所以△ADE为等腰三角形，因此DE＝AE.又因为∠BAE＝∠BEA，所以∠BAD＝2∠BAE，∠CDE＝∠AEB-∠EDC＝2∠BAE-∠B＝∠BAD-∠B＝∠BAD-∠C.因此∠BAD与∠CDE之间存在线性关系，即∠BAD＝∠CDE+∠C.2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．(1)若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数。解：由AD平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD，又因为∠B＝35°，∠ACB＝85°，所以∠BAD＝(180°-85°-35°)/2＝30°，∠BAC＝2∠BAD＝60°.又因为PE⊥AD，所以∠APE＝90°，又∠PAE＝∠PAC＝(180°-∠BAC)/2＝60°，所以∠APE＝30°，因此∠E＝∠B-∠APE＝35°-30°＝5°.(2)当点P在线段AD上运动时，设∠B＝α，∠ACB＝β（β＞α），求∠E的大小。（用含α、β的代数式表示）解：同理可得∠BAD＝(180°-β-α)/2，∠BAC＝2∠BAD＝180°-β-α，∠PAE＝(180°-β-α)/2，∠APE＝90°-∠PAE＝(β+α)/2，∠E＝∠B-∠APE＝α-(β+α)/2＝(α-β)/2.因此，∠E＝(α-β)/2.3.已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．(1)当α＝40°时，∠BPC＝？，∠BQC＝？；解：由BP、CP分别是∠CBD、∠BCE的角平分线，可得∠PBC＝∠PBD，∠PCB＝∠PCE，又因为BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，所以BQ＝BP，CQ＝CP.又因为BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，所以∠MBP＝∠PBC/2＝∠PBD/2＝∠MBQ，∠NCQ＝∠PCB/2＝∠PCE/2＝∠NCB.因此，△MBP≌△MBQ，△NCQ≌△NCB，所以MP＝MQ，NQ＝NC，MB＝NB，NC＝NC.又因为BP、CP是△ABC的外角平分线，所以∠BPC＝180°-∠A，∠BQC＝180°-∠A，因此当α＝40°时，∠BPC＝140°，∠BQC＝140°.(2)当α＝60°时，BM∥CN；解：由BP、CP分别是∠CBD、∠BCE的角平分线，可得∠PBC＝∠PBD，∠PCB＝∠PCE，又因为BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，所以∠MBP＝∠PBC/2＝∠PBD/2＝∠MBQ，∠NCQ＝∠PCB/2＝∠PCE/2＝∠NCB.因此，△MBP≌△MBQ，△NCQ≌△NCB，所以MP＝MQ，NQ＝NC，MB＝NB，NC＝NC.又因为BP、CP是△ABC的外角平分线，所以∠BPC＝180°-∠A，∠BQC＝180°-∠A，因此∠BPC＝∠BQC，即BPQC为平行四边形，所以BM∥CN.(3)如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；解：同理可得，△MBP≌△MBQ，△NCQ≌△NCB，所以MP＝MQ，NQ＝NC，MB＝NB，NC＝NC.又因为BP、CP是△ABC的外角平分线，所以∠BPC＝180°-∠A，∠BQC＝180°-∠A，因此∠BPC＝∠BQC，即BPQC为平行四边形，所以BM∥CN.又因为BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，所以∠PBM＝∠PBD/2＝∠PCE/2＝∠PCN，因此BPNC为圆周上的四边形，所以∠BOC＝∠BPC＝60°.(4)在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC＝∠BQC＝180°-α/2，∠BOC＝90°-α/2.4.“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；解：把星形图（1）中的五边形分成三个三角形，如图所示：则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.(2)若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；解：把星形图（2）中的六边形分成四个三角形，如图所示：则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.(3)若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程。解：由题（2）可知，无论如何截去角，星形图的内角和都为180°，因此，图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数也为180°.5.直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．(1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；解：由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，可得∠BAE＝∠EAO，∠ABE＝∠OBE，又因为∠ABO＝60°，所以∠BAE＝∠EAO＝30°，∠ABE＝∠OBE＝60°-30°＝30°，因此∠AEB＝∠BAE+∠ABE＝60°.(2)点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小不会发生变化，因为∠BAO和∠ABO都是定值，所以∠AEB也是定值，即∠AEB＝60°.2.如图2，已知延长BA至G，∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线相交于E、F。在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数。延长BA至G后，连接OG。由角平分线定理可知，∠BAE=∠EAG，∠OAF=∠FAG，∠ABO=∠OBC，∠BOQ=2∠BCO。在△AEF中，设∠EAF=x，则∠AEF=2x，∠AFE=180°-3x。由角度和为180°可得，∠A=90°-x。又因为∠ABO=∠OBC，所以∠OBC=45°-0.5x。又∠BOQ=2∠BCO，所以∠BOQ=90°-x。由此得到x=30°，代入可得∠ABO=60°。6.如图，点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动（不与点O重合）。射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部，延长EC与DF交于点F。(1)若∠AOB=90°，CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，猜想：∠F的度数是否随C、D的运动发生变化？请说明理由。答：∠F的度数不随C、D的运动发生变化。因为∠ACD和∠CDO的平分线相交于点O，所以∠FOD=90°，又因为CE和DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，所以∠FOD=2∠FCD=2∠FCE，因此∠FCE=∠FCD=45°，即∠F=90°。(2)若∠AOB=α°（＜α＜180），∠ECD=θ°。∠ACD，∠CDF=∠CDO，则∠F=？∠ACD=180°-α-θ，∠CDF=180°-α-θ，∠CDO=α-θ，∠ECF=2θ，∠FCD=0.5(∠CDF-∠ECF)=0.5(α-2θ)，∠FCE=0.5(∠ACD-∠ECF)=90°-α+θ，∠F=∠FCE+∠FCD=90°-θ。7.在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC。(1)如图，点D在线段BC上。①若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠DAE＝40°；②若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝0.5(180°-α-β)。(2)如图2，若点D在边CB的延长线上时，若∠ABC＝α，∠C＝β，则∠DAE=0.5(α+β)。22.阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题。（Ⅰ）问题引入：如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝70°，则∠BOC＝40°；若∠A＝α，则∠BOC＝（180°-α）/2；（Ⅱ）类比探究：如图②，在△ABC中，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α。试探究：∠BOC与∠A的数量关系（用含α的代数式表示），并说明理由。由图①可得，∠BOC=180°-∠A-2∠BAC=180°-∠A-2∠ABC=180°-∠A-2(180°-∠A)/3=40°+(2/3)∠A。由此得到∠BOC=(180°-α)/2=90°-0.5α，所以0.5α=90°-∠BOC，即α=180°-2∠BOC。（Ⅲ）知识拓展：如图③，BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，求∠BOC的度数（用含α、n的代数式表示）。由图③可得，∠BOC=∠DBC+∠ECB=(n+1)∠ABC/n+∠A=α+(n+1)∠ABC/n。1.【探究】(1)在三角形ABC中，BD和BE均平分∠ABC，CD和CE均平分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC=60°-a/2。(2)在三角形ABC中，O是∠ABC和∠ACD的平分线的交点，因此∠BOC=2∠A。(3)在三角形ABC中，O是∠DBC和∠BCE的平分线的交点，因此∠BOC=180°-∠A。2.【解答】在平面直角坐标系中，线段AB的端点A在y轴上，端点B在x轴上，BF平分∠ABO并与三角形ABO的外角平分线AE所在的直线交于点F。由于∠ABO=60°，因此∠B=120°。根据三角形ABO的角度和为180°，得到∠A=60°。由于AE是∠ABO的外角平分线，因此∠BAE=30°。由于BF是∠ABO的平分线，因此∠FBO=30°，∠ABF=60°。因此三角形ABF是等边三角形，∠F=60°。同时剩下的角度为360°-180×5°=90°，即剩下一个角。（4）∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C=180°，可得∠B+∠C+∠D+∠E=180°-∠A。同理，∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，可得∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°-∠A。将两式相减，得∠F=180°，即F为直角。（5）∵∠B+∠C+∠D+∠E=180°-∠A，又∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°-∠A，∴∠F=180°，即F为直角。∠BAE＝∠CAE＝40°，∴∠BEA＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝100°．答：∠BEA的度数是100°．②如图，∵∠A＝60°，∠C＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵BE垂直AC，∴∠EBC＝∠ACB＝15°，∴∠BCE＝∠BEC＝75°，∴∠CEB＝180°﹣∠BCE﹣∠EBC＝90°．答：∠CEB的度数是90°．（2）如图，∵∠BAC＝80°，∠CAB＝50°，∴∠ABC＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∴∠BCA＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝50°，∴∠ACB＝80°﹣50°＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝40°，∴∠BEA＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝100°．答：∠BEA的度数是100°．在△ACD中，根据角度和为180度的性质，可以得到∠ACB=∠CAD+∠D=∠DAE-∠CAE+90°。因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE。将此代入上式，得到∠CAE=∠DAE+90°-∠ACB。进一步化简可得∠ACB=∠B+2∠DAE，即∠DAE=(∠ACB-∠B)，所以∠DAE=(β-α)。11．【解答】已知∠A=82°，根据角度和为180度的性质，可以得到∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°。因为BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，所以∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB。将此代入上式，得到∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=98°，因此∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=131°。又因为BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，所以∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB。将此代入三角形的内角和定理，可得∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=180°-a°，因此∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=90°+a°。所以答案为：131°，90°+a°。探究：（1）同样根据三角形的内角和定理，可以得到∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-a°。因为BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，所以∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB。将此代入三角形的内角和定理，可得∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=180°-a°，因此∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=60°+a°。所以答案为：60°+a°。（2）因为O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，所以根据平分线定理可得∠BOC=∠A/2=41°。（3）因为O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，所以根据平分线定理可得∠OBC=(180°-∠ABC)=90°-a°，∠OCB=(180°-∠ACB)=90°-b°。将此代入∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，可得∠BOC=90°-∠A。因此∠BOC=90°-∠A。在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(90°-∠ABC)-(90°-∠ACB)=(∠ABC+∠ACB)，根据三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，所以∠BOC=(180°-∠A)=90°-∠A。