第二章 函数 第8节 函数与方程

第8节函数与方程考试要求1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.1.函数的零点知

识

梳

理(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有_____.f(x)＝0x轴零点(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②_____________；则函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.f(a)·f(b)<02.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点________________________无交点零点个数210(x1，0)，(x2，0)(x1，0)[常用结论与微点提醒]1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝lgx的零点是(1，0).(

)(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(

)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(

)解析

(1)f(x)＝lgx的零点是1，故(1)错.(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案

(1)×

(2)×

(3)√2.(老教材必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(

)A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)解析由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点.答案Bx12345f(x)－4－21473.(新教材必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(

) A.0 B.1 C.2 D.3答案B4.(2020·石家庄模拟)f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间必有零点(

) A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)答案C5.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为(

) A.2 B.3 C.4 D.5

解析2sinx－sin2x＝0，得sinx＝0或cosx＝1.

又x∈[0，2π]，由sinx＝0，得x＝0，π，2π.

由cosx＝1，得x＝0，2π. ∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.

答案B6.(2020·日照调研)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________.

解析m＝－x2＋2x在(0，4)上有解，

又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0，4)上的值域为(－8，1]，

∴－8<m≤1.

答案(－8，1]考点一函数零点所在区间的判定所以g(2)·g(3)<0.故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1，2).答案(1)C

(2)(1，2)规律方法1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.又f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，∴f(1)·f(2)<0.故函数f(x)的零点所在的区间为(1，2).答案BA.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)考点二确定函数零点的个数(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝lnx(x>0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.答案(1)C

(2)C解析(1)当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2.当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.∴函数f(x)的零点为x＝1与x＝2，有2个零点.规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.法二函数f(x)的图象如所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点.答案(1)B

(2)B角度1根据函数零点个数求参数考点三函数零点的应用多维探究当x>1时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，∴当x＝2时，f(x)有最大值f(2)＝2.解析依题意直线y＝a与y＝f(x)的图象有两个交点.作出y＝a，y＝f(x)的图象，如图所示.此时，方程a＝f(x)有两个不同实根.答案B角度2根据零点的范围求参数【例3－2】(1)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________. (2)(2020·合肥模拟)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(

) A.a>c>d>b B.a>b>c>d C.c>d>a>b D.c>a>b>d

解析(1)令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.

又当f(1)＝0时，k＝5.

综上，实数k的取值范围是[5，10).(2)根据题意，设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)＋2020，令g(x)＝0，则x＝a或x＝b，则函数g(x)的图象与x轴的交点为(a，0)和(b，0)，如图.令f(x)＝2020＋(x－a)(x－b)＝0，即g(x)＝－2020，因为f(x)＝2020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，所以g(x)的图象与直线y＝－2020的交点为(c，－2020)和(d，－2020)，则有a>c>d>b.答案(1)[5，10)

(2)A规律方法1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.或：作出y＝a(ex－1＋e－x＋1)与y＝－x2＋2x的图象.结合函数的最值求解(读者自行完成).直观想象——解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.类型1嵌套函数零点个数的判断作出函数y＝f(x)的图象如图所示.因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个.答案

5答案A由图②，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解.思维升华1.上述两个题目涉及嵌套函数零点个数的判断.求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点.(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数.2.抓住两点：(1)转化换元.(2)充分利用函数的图象与性质.类型2求嵌套函数零点中的参数解析设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).答案[－1，＋∞)当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t